Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-10-09 | 210 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
. (3)
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов:
. (4)
Пример. Вычислить .
На основании свойств 1 и 2 получаем
3. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования
. (5)
Это следует из того, что
, а .
4. Теорема о среднем. Между точками a и b имеется такая точка c, что
. (6)
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница . Применим к первообразной формулу Лагранжа: . Но , следовательно . Итак,
.
5. Если и , то
. (7)
Действительно, в этом случае и , и из формулы (6) получаем
.
6. Если и , то
. (8)
Действительно,
.
По условию и по свойству 5:
.
Следовательно,
.
7. Если , то
. (9)
Это следует из того, что .
Приложения определенного интеграла
Рассмотрим приложения интеграла к вычислению площадей, объемов, механической работы.
Вычисление площадей
Пусть – непрерывная на функция, . Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху графиком функции , снизу – отрезком оси Ox, с боков – прямыми , .
Рис. 1 |
Эту фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S этой фигуры вычисляется по формуле
. (1)
Приведем обоснование этой формулы. Для того чтобы определить площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 2), изучим поведение площади переменной фигуры ABMN, заключенной между начальной ординатой и ординатой, соответствующей произвольно выбранному на значению x. Площадь этой криволинейной трапеции ABMN есть функция, зависящая от x; обозначим ее через .
Рис. 2 |
Вычислим производную этой функции . Для этого придадим x приращение D x. Тогда площадь получит приращение D S, равное площади фигуры . Если приращение D x мало, то D S приблизительно равно площади прямоугольника , равной . Рассмотрим отношение . Оно приблизительно равно . Если , то приближенное равенство перейдет в точное
|
.
Итак, переменная площадь есть первообразная для . Следовательно, если – какая-нибудь первообразная для , то
.
Положим . Очевидно, . Следовательно,
.
Поэтому
.
При получаем
.
Но это означает, что
.
Пример 1. Найти площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной параболой , прямыми , и осью Ox.
Решение.
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Решение. Очевидно, эти линии пересекаются в точках с абсциссами и . Искомая площадь есть разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно линиями и : |
.
В примере 2 рассмотрен частный случай вычисления площади фигуры, ограниченной одной кривой сверху, другой кривой – снизу.
Вообще, если фигура ограничена сверху кривой , снизу – кривой , а с боков – соответственно прямыми , , то ее площадь выражается формулой:
. (2)
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!