Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-10-09 | 293 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Будем говорить, что переменная z есть функция аргументов x и y, если каждой паре значений x и y соответствует определенное значение z.
Тот факт, что z есть функция переменных x и y, записывают одной из формул:
, , .
Аналогично определяются и обозначаются функции трех и большего числа переменных:
, и т.д.
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, выражается формулой
.
Здесь есть функция двух переменных.
Пример 2. Температура Q нагретого тела может в данный момент t изменяться от точки к точке. Поэтому
,
т.е. Q есть функция трех аргументов (координат точки) x, y и z.
Пример 3. Если в предыдущем примере еще учитывать зависимость Q от времени t, то Q будет функцией четырех аргументов
.
Чтобы задать функцию , надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество пар значений, которые могут принимать аргументы x и y. Это множество называется областью определения функции. В случае явного аналитического задания это множество определяется самой формулой, задающей функцию. Например, функция
задана для всех возможных x и y. Пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. В связи с этим мы можем сказать, что рассматриваемая функция задана на всей плоскости.
Функция
задана лишь при , т.е. в круге радиуса R с центром в начале координат, ограниченном окружностью (включая эту окружность).
Функция
задана при , т.е. в кольце, ограниченном окружностями радиусов , , центр которого совпадает с началом координат (при этом точки, принадлежащие окружности принадлежат области определения, а точки окружности – не принадлежат).
|
Сформулируем понятие окрестности точки на плоскости.
Определение. Будем называть e - окрестностью точки открытый круг радиуса e с центром в точке , т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям
.
Прямоугольной окрестностью точки называется открытый прямоугольник с центром точке (т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям , ).
В дальнейшем, говоря «окрестность», мы будем иметь в виду окрестность одного из упомянутых видов – круговую или прямоугольную.
Функция двух переменных допускает графическую иллюстрацию. Обычно график функции есть поверхность в трехмерном пространстве (при этом область определения функции есть проекция этой поверхности на плоскость xOy).
Функции трех и большего числа переменных невозможно представить геометрически (в обычном трехмерном пространстве).
Заметим, что все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных и мы будем в основном изучать именно их.
Непрерывность
Понятие непрерывности функции нескольких переменных определяется так же, как и для функции одной переменной.
Пусть , пусть – некоторая точка. Придадим аргументам x и y приращения D x, D y (т.е. перейдем от к ). Тогда функция получит приращение D z. Если
, (1)
то говорят, что функция непрерывна в точке . Иначе говоря, функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции*.
Если учесть, что
,
и положить , , то равенство (1) можно переписать в виде
. (2)
Равенство (2) дает нам еще одно определение непрерывности: функция непрерывна, если ее предел равен ее значению от пределов аргументов.
Частные производные
Пусть . Зафиксируем точку и, не меняя значения придадим аргументу x приращение D x, т.е. перейдем от к . Если существует предел
,
то этот предел называется частной производной функции в точке и обозначается одним из символов
, , , .
|
Аналогично определяется частная производная по y:
.
Таким образом, частная производная функции двух аргументов по одному из аргументов – это обычная производная той функции одного аргумента, которая получается из данной функции при фиксированном другом аргументе. (Поэтому, вычисляя, например, , мы обращаемся с аргументом y как с константой.)
Примеры. 1) .
, ;
2) .
, .
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!