Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-09 | 271 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Применение общего интеграла к решению некоторых задач
Математической физики
Задано волновое уравнение
обозначим
уравнение примет вид:
общий интеграл волнового уравнения
волна распространяющаяся вправо от начала координат-
волна распространяющаяся влево от начала координат-
Рассмотрим трехмерное волновое уравнение
предположим инвариантность решения от угловых координат θ и φ
замена переменной u=w/r
в результате получим уравнение
общий интеграл волнового уравнения
волна распространяющаяся из бесконечности в точку
волна распространяющаяся из точки в бесконечность
получим окончательно .
Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)
Постановка задачи
Пусть — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида
и пусть — оператор краевых условий
Пусть — непрерывная функция на промежутке . Предположим также, что задача
регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.
Теорема Грина
Тогда существует единственное решение , удовлетворяющее системе
которое задаётся выражением
,
где — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):
1. непрерывна по и .
2. Для , .
3. Для , .
4. Скачок производной: .
5. Симметрична: .
Нахождение функции Грина
В виде ряда через собственные функции оператора
Если множество собственных векторов (собственных функций) дифференциального оператора
(то есть набор функций , таких, что для каждой найдётся число , что )
полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов и собственных значений .
|
Под полнотой системы функций подразумевается выполнение соотношения:
.
Можно показать, что
.
Действительно, подействовав оператором на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).
(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если — вещественные функции, его можно не делать).
Функции Бесселя и Вебера. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя.
Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
где — произвольное комплексное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых и полуцелых порядков.
Хотя и порождают одинаковые уравнения для вещественных , обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Гипергеометрический ряд
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
.
Применение общего интеграла к решению некоторых задач
Математической физики
Задано волновое уравнение
обозначим
уравнение примет вид:
общий интеграл волнового уравнения
волна распространяющаяся вправо от начала координат-
волна распространяющаяся влево от начала координат-
Рассмотрим трехмерное волновое уравнение
предположим инвариантность решения от угловых координат θ и φ
замена переменной u=w/r
в результате получим уравнение
общий интеграл волнового уравнения
|
волна распространяющаяся из бесконечности в точку
волна распространяющаяся из точки в бесконечность
получим окончательно .
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!