История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-10-08 | 312 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
,
Где p и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решений, образующих фундаментальную систему.
Будем искать частные решения уравнения в виде
,
где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию 2 раза и подставляя выражения для у, у’ и у’’ в уравнение , получим: , т.е.
, или =0 ().
Уравнение =0 () называется характеристическим уравнением ДУ .
При его решении возможны следующие три случая
Случай 1: Корни уравнения и уравнения =0 (). Действительные и различные: (D = - q > 0).
В этом случае частными решениями уравнения являются функции =
и = . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан
W(x) = =
Следовательно, общее решение уравнения ,
Случай 2: Корни и характеристического уравнения =0 (), действительные равные: .
В этом случае имеем лишь одно частное решение .
Покажем, что наряду с решением уравнения будет и .
Действительно, подставим функцию в уравнение . Имеем: +
Но , т.к. есть корень уравнения =0 (); , т.к. по условию .
Поэтому , т.е. функция является решением уравнения .
Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: . Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид
Случай 3: Корни и уравнения =0 () комплексные: ,
В этом случае частными решениями уравнения являются функции и .
По формулам Эйлера:
,
Имеем
,
.
Найдем два действительных частных решения уравнения . Для этого составим две линейные комбинации решений для и :
|
и .
Функции и являются решениями уравнения , что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения и образуют фундаментальную систему решений, т.к. . Поэтому общее решение данного уравнения запишется в виде или
Экономические приложения интегралов
Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.
Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю.
Потребительский излишек
Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике. Начнем с широко используемого в рыночной экономике понятия потребительского излишка (CS–consumer’s surplus). Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.
Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.
Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.
|
Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом
И, наконец, введем еще одно понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2.2), E*(p*; q*) – точка равновесия.
Рис.2.2 Точка рыночного равновесия
В дальнейшем для удобства анализа мы будем рассматривать не зависимость Q = f(P), а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость P = f(Q), тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.
Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка [5]. Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис.2.3).
Рис.2.3. График рыночного равновесия
Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A (рис.2.4).
Рис.2.4. Общие расходы на покупку товара
Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2.1–2.4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше. определенный интеграл экономический смысл
|
Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q1 = D Q (рис.2.5), который продается по цене P1 = f(Q1). Так как по предположению величина Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P1, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P1D Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S1 (рис.2.5) [5].
Рис.2.5. Затраты покупателя
Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P2 = f(Q2), где Q2 = Q1 + D Q – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P2D Q, что соответствует площади прямоугольника S2.
Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина DQ для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:
В результате получим, что цена n-й партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят PnD Q, или площадь прямоугольника Sn.
Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны:
Так как величина D Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис.2.6) [5].
Рис.2.6. Суммарные затраты потребителей
Площадь фигуры B при малых приращениях аргумента D Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что:
(2.1)
Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2,..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 2.7).
|
Рис.2.7. Потребительский излишек
Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле:
, (2.2)
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!