Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-10-08 | 371 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вычисление длин дуг кривых. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), t , и функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [ ]. Тогда кривая спрямляема, и ее длина s может быть вычислена по формуле
.
Если кривая плоская (z =0), то
.
Если кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функции y=f(x), , то
.
Если кривая задана в полярных координатах r=r(, , то
[5].
Длина дуги линии – предел периметра ломаной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев этой линии неограниченно возрастает, а длина дуги каждого звена стремится к нулю. Для непрерывных линий упомянутый предел всегда существует, конечный или бесконечный. Если этот предел конечный, то линия (дуга ее) называется спрямляемой. В зависимости от способа аналитического задания линий длина дуги вычисляется по следующим формулам:
для плоских линий:
1) = (t), ;
2) ;
3) ;
4) ;
для пространственных линий:
5) = (t), ;[5]
Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая AB задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]. Разобьем кривую AB на n произвольных частей точками в направлении от A к B. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую AB ломаную, длину которой обозначим через P (рис 17). Через обозначим длину одного звена ломаной, а через ϻ - длину наибольшего из ее звеньев: .
Рисунок. 7
Определение. Число L называется пределом длин ломаных P при , если для любого существует такое, что для всякой ломаной, у которой , выполняется неравенство
.
Если существует предел L длин P вписанных в кривую ломаных при ϻ0, то этот предел называется длиной дуги AB.
Если функция f(x) непрерывна вместе с на отрезке [a,b], то длина L дуги AB выражается формулой
|
. (1)
Доказательство. Обозначим через координаты точки , так что для абсцисс этих точек получим: . Тогда длина одного звена ломаной равна
.
По формуле Лагранжа
.
.
.
Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (1). Функция непрерывна на [a,b], поэтому предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (1). Так как , то 𝜆0 при 0. Следовательно,
.
Замечание 1. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана параметрическими уравнениями , где - значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т.е. a= , b= в формуле надо сделать замену переменной, положив . Тогда получим
. (2)
Замечание 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана полярных координатах уравнением , где имеет непрерывную производную на отрезке [ ], и точками A и B соответствуют значениям , равные , нужно перейти от полярных координат к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривой AB уравнениями ( - параметр). Так как
,
. [5]
Полярные координаты. Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), . Предположим, что r() и r () непрерывны на отрезке [ ].
Если в равенствах x = r cos , y = r sin , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически
Тогда
= =
=
Рисунок. 8
Применяя формулу
L = , получаем
L =
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!