Практическое занятие 11. Расчет осредненных относительных фазовых проницаемостей.

Цель работы:Определение осредненных относительных фазовыхпроницаемостей

 

Пусть слоистая неоднородность пласта по абсолютной проницаемости задана некоторым законом распределения случайных чисел f (к). Абсолютная проницаемость меняется от 0 до ∞. Рассмотрим вертикальный разрез пласта, из которого вытеснение нефти осуществляется водой.

 

Мысленно переупакуем слои по вертикали в порядке убывания их проницаемости снизу вверх, т.е. слой с самой большой проницаемостью расположим внизу, а с самой низкой проницаемостью - вверху.

 

Принимается, что перетоки жидкости между отдельными слоями отсутствуют, вытеснение поршневое. Закачка воды производится при з д нном перепаде давлений P(t).

 

Рассмотрим некоторое поперечное сечение пласта А-А в мом нт времени t.

Отметим в нем проницаемость самого верхнего обводненного прослоя через к₀.

 

 

В сечении А-А по всем слоям с проницаемостью к> ко - течет вода, а в слоях с проницаемостью к < ко - течет нефть.

 

Задача 14. Слоисто-неоднородный по толщине пласт отличается еще и

 

т м, что абсолютная проницаемость каждого может изменяться по простиранию. Отдельные прослой могут замещаться в пространстве прослоями с иной проницаемостью, так что проницаемость прослоев изменяется не только по толщине, но и по длине. Однако при построении модели данного пласта ока-зывается возможным выделить «элементарный объем» прямолинейного пласта длиной D х, общей толщиной h и шириной b (рис. 5), состоящей из набора пропластков с абсолютной проницаемостью, распределение которой подчиняется определенному вероятностностатистическому закону.

 

 

Требуется для данной модели пласта определить модифицированные относительные проницаемости для нефти и воды, принимая, что вода, вытесняющая нефть из элемента пласта, входит в пропластки начиная с пропластка с самой большой проницаемостью. Так как ^{D x} мало по сравнению с размерами пласта в целом, можно считать, что вода последовательно и мгновенно заполняет каждый пропласток. Вытеснение нефти водой из каждого пропластка — поршневое. При этом остаточная нефтенасыщенность изменяется в зависимости от абсолютной проницаемости прослоев следующим образом:

 

_{Sн ост=} 0.68 e ^{- k / 2 k} _.

Содержание связанной воды также зависит от абсолютной про-ницаемости отдельных прослоев пласта и определяется по формуле

_Sсв= 0.32 e ^{- k / 2 k}

Принимается в виде гипотезы, что фазовая проницаемость для воды в каждом из прослоев зависит от абсолютной проница мости остаточной нефтенасыщенности и насыщенности связанной в д й следующим образом:

 

k_в = k (1- S_ност - S_cв)

 

Абсолютная проницаемость слоев неоднородного пласта в его элементарном объеме длиной ^{D x} соответствует гамма-распределению при

a = 2 _.

 

Решение. Расположим слои пласта таким образом, чтобы слой с самой

 

высокой абсолютной проницаемостью (^{k ® ¥}) находился в нижней части элемента пласта, а слой с наименьшей проницаемостью (к = 0) — в верхней. Проницаемость слоев непрерывно возрастает снизу вверх. В соответствии с условием задачи вода мг овенно вытесняет нефть из обводнившегося прослоя. Таким образом, в какой-то момент времлени оказывается, что из слоев с

 

суммарной т лщин й ^h произошло вытеснение нефти и в них фильтруется только вода. В этих слоях осталась, в соответствии с моделью поршневого

вытеснения, неизвлекаемая нефть с остаточной нефтенасыщенностью ^Sност. В остальных же слоях содержатся нефть и связанная вода.

 

В соответствии с предположением о последовательном мгновенном обводнении слоев, начиная со слоя с самой высокой проницаемостью, расход

 

воды ^{D q}в поступающей в слой элемента пласта толщиной ^{D h}, определяется следующим образом:

_{D qв =} ^kв^{b D h D p} ₌ ^{k (1- S}ност ^{- S}св ^{) b D h D p} _.

m_в D x m_в D х

 

 

Если бы слой был полностью водонасыщенным (нефтенасыщенность равна нулю), то расход воды, фильтрующейся через этот слой пласта, составил

_{D q} = ^{kb D p D h}

 

_в m_в D х

 

Однако если в некоторый момент времени обводнены слои с суммарной

 

толщиной ^h, то расход воды, поступающей в эти слои, будет выражаться интегралом;

 

h

_{m в D х} ò₀ ^{k (1- S}ност ^{- S}св ^{) dh.}

Вслучае полностью водонасыщенного пласта ^{qв = b D p}

 

b D p ^h

^{qв =} _{mв D х} ò₀ ^{kdh .}

Определим модифицированную относительную проницаемость пласта для воды

q

h

ò

- Sност - Sсв) dh

k (1

=

в

=

.

k

в

h

qв

ò kdh

Учитывая

вероятностно -стат ст ческое распределение абсолютной

проницаемости, т. е. полагая dh = hf (k) dk, из предыдущих формул имеем;

 

¥

ò (1 - S_ност - S_cв) kf (k) dk

kв =	k *
	¥
		ò kf (k) dk	(*)
где k *	— проницаемость обводнившегося в данный момент времени

слоя.

 

Счи ае ся, что в необводненной части элемента пласта происходит фильтрация только нефти, поступающей из соседнего элемента. Поэтому

 

			h	b D pkdh		b D h	k *
q	н	=		ò			=		kf (k) dk
							*
					mн D х		mн D х ò0
			h

Если бы в элементе пласта фильтровалась только нефть, то было бы;

b D p ^¥

^qн ⁼ _{mн D х} ò₀ ^{kf (k) dk}

 

Аналогично ^kв получаем формулу для модифицированной от-носительной проницаемости для нефти ^kí. Имеем

^к _ò^* kf (k) dk

k_н =_¥⁰.

ò kf (k) dk

 

0 (**)

 

Для гамма-распределения интеграл, стоящий в знаменателе формул (*) и

 

(**), известен. Он равен ^{2 k} при ^{a = 2}. Таким образом, необходимо вычислить интегралы, содержащиеся в числителе формул (*) и (**).

Обозначим в рассматриваемом случае гамма-распр д л ния при ^{a = 2}

	¥
		¥ k 2 ek / k
J 1= -	ò	kf (k) dk =	ò	k 2		dk.
k *	k *

Интегрируя это выражение по частям, получаем

J ₁= ke ^{- k} * ^{k é}_ê(^k_k ^*)²+2(^k_k ^*)+2^ù_ú.

ë û

Возьмем интеграл, содержащ йся в числителе формулы (**). Имеем

 

k *

k *

- kk

ì

é

ù

J

ò

kf (k) dk =

ò

k

e

dk = k

ï

- e

- k

h

æ k

*

ö

æ k

ö

}.

=

í

*

êç

÷

- 2ç

*

÷

+ 2ú

k 2

è

k

ø

è

k ø

ú

ï

ê

î

ë

û

Вычислим интегр л, содержащийся в числителе формулы (*), с учетом зависимостей ^Sност и ^Sñâ от проницаемости, данных в условии задачи. Имеем

¥

k *

[1- (0.68 + 0.32) e - k 2 k ]

k

e

- k / k

¥

k

e

- kk

¥

k

e

-1.5 kk

ò(1- Sност - Sсв) kf (k) dk = ò

dk =ò(1- e - k 2 k )

dk = J 1-ò

dk =

k

k

k

k *

k *

k *

éæ1.5 k

ö2

æ1.5 k

ö

ù

k

-

= J

-

e 1.5 k * k êç

*

÷

+ 2ç

*

÷

+ 2ú.

(1.5)

êè

k

ø

è

k

ø

ú

ë

û

Та им образом, для модифицированной относительной проницаемости для воды по формуле (*) имеем выражение

- k

é

æ k

ö

k

ù

é

æ1.5 k

ö

1.5 k

ù

kв = e

k

*

e

-1.5 k k

*

ê

ç

*

÷

+

+1ú

-

*

ê

ç

*

÷

-

*

+1ú.

1.53

k

k

k

ê

è

k ø

ú

ê

è

ø

ú

ë

û

ë

û

Соответственно модифицированная относительная проницаемость для нефти

- k

é

æ k

ö2

k

ù

kв =1- e

k

*

ê

ç

*

÷

+

+1ú

k ø

k

ê

è

ú

ë

û

 

 

 

Необходимо получить выражение для модифицированной

 

водонасыщенности элемента пласта ^S. Вода в элем нте пласта содержится в виде связанной воды и воды, заполнившей обводнившиеся пропластки.

Поровый объем ^{D Vв} рассматриваемого элемента пласта составит

 

D V_в = mbh D x.

 

Объем связанной воды в нео воднившихся пропластках выражается следующим образом:

 

h

h *

D Vсв = mbh D x ò Scв dh = mbh D x ò Sсв f (k) dk.

h

Для объема воды D Vâ в обводнившихся слоях имеем выражение

k *

D Vв = mbh D x ò(1- S ост) f (k) dk.

Полный бъем воды в элементе пласта

é k *

¥

ù

é¥

¥

ù

D Vв

= mbh D x ê

ò Sсв f (k) dk +

ò(1- Sност) f (k) dk ú

= mbh D x êò Sсв f (k) dk +ò

(1- Sност - Sсв) f (k) dk ú

=

ê

k

ú

ê0

k

ú

ë

*

û

ë

*

û

é

0.32

¥

ke - kk

ù

é0.32

-

k

*

-

1.5 k

ù

= mbh D x ê

- ò(1- e - k 2 k )

dk ú

= mbh D x ê

+ e

k * k (1+

) -

e 1.5 k * k (1

+

*

)ú.

1.5

k

1.5

1.5

k

ê

k

ú

ë

k

û

ë

*

û

Имеем, наконец,

D V

- k

k

æ

1.5 k

ö

x =

= 0,142 + e

k

(1+

) - 0.444 e

-1.5 k k

+

в

*

*

ç1

*

÷.

D Vв

k

è

k

ø

 

 

Рисунок 20. Зависимости фазовых проницаемостей от водонасыщенности

 

Чтобы получить зависимости k_H = k_B (s) и k_B = k_B (s), необходимо, задаваясь значением ^k *, изменяющимся от 0 до ^¥, определять ^S и при этом

_{же значении} ^{k *, kí} _и ^kв _.

Зависимости модифицированных относительных проницаемостей,

 

вычисленных по формулам, от ^S приведены на рис. 20. Как видно, модифицированная насыщенность пласта связанной водой, соответствующая

^k * ^{® ¥}, ^Sсв ^{= 0,142}. При полном же обводнении пласта, соответствующем

k *=0,

= 0.698.

S

Соответственно относительные

проницаемости

для воды и нефти

kв =0, kн =1

при

k

*

® ¥

и

k

в

= 0,704, k

в

= 0

при

k

*

= 0

.

Следует отметить, что

 

кривая модифицированной проницаемости для воды ^kв ^{= k}в ^{(S )} возрастает монотонно с увеличением ^S и является вогнутой к си абсцисс.

 

Задача 15. Требуется построить кр вые модифицированныхотносительных проницаемостей для с оисто-неоднородного пласта,

характеризующ