Рассмотрим процесс выявления модели объекта управления сложной системы.

Для сложных систем процесс выделения той части среды (явления) состояние, которой интересует субъекта с точки зрения управления, может носить многогранный и подчас плохо формализуемый характер.

Так помимо собственно сложных технических систем подлежащих управлению (атомная энергетическая установка, атомная подводная лодка и т.д.) существуют сложные системы, в которых требуется выявление той части природной среды, которой мы хотим управлять. Примерами таких сложных систем являются природно-технические системы (ПТС), многие объекты экономики и природопользования (академик Федоров М.П.). И здесь уже совершенно не очевидно как осуществлять это выделение и этот процесс требует глубокого анализа с применением средств многомерного статистического анализа и моделирования, поддержанного средствами когнитивных интеллектуальных технологий.

Методическое замечание

(К чему приводят попытки управления природно-техническми системами при неправильном выборе модели объекта управления (сложной системы) наглядно говорит пример с орошаемым земледелием в районе Аральского моря или пример с орошаемым земледелием в Месопотамской низменности. В обоих случаях управляли ирригационными системами, не учитывая что онив свою очередь являются составной частью географической системы. Где теперь Аральское море или плодоносное междуречье?).

Здесь основным подходом к моделированию является использование того факта, что объект управления (сложная система) связан со средой многочисленными и сильными многомерными корреляционными связями. В этой ситуации, можно использовать хорошо развитый и многократно опробованный на практике математический аппарат многомерного статистического анализа, который имеет в своем арсенале средства выявления и оценивания многомерных корреляционных связей. Кроме того, здесь содержатся инструменты выявления структуры этих многомерных связей с помощью регрессионных уравнений и факторного анализа. Перечисленные инструменты аппарата многомерного статистического анализа могут выступать как универсальные модели для описания объектов управления. Эти инструменты могут легко вписаться в концепцию кибернетики называемую «черный ящик». Здесь главное внимание при моделировании уделяется входным и выходным воздействиям. Такого рода модели называются кибернетическими. Эта концепция предполагает стохастический характер поведения объекта, что вполне укладывается в реальную природу объектов управления. Модель формально можно представить как: Y=F(X,Y,U,E(t)), где E(t) - случайный процесс, моделирующий неопределенность поведения объекта управления и окружающей среды. Разумеется, что все входящие в данную структуру переменные носят векторный характер, чем достигается лаконичность записи.

Однако работа подобных многомерных моделей затрудняется так называемым «проклятием размерностей». Суть проклятия состоит в том, что по мере возрастания числа параметров (переменных) возрастает вычислительная сложность алгоритмов многомерного статистического анализа. Это затрудняет задачу формирования кибернетической модели сложной системы. Здесь в качестве инструментов выступают самоорганизующиеся нейронные сетевые технологии и методы BIG DATA, которые адекватно решают задачи выбора объекта моделирования подобных сложных систем, что и позволяет решать практические задачи управления ими.

Рассмотрим (используя введенные выше концепции теории управления и теории сложных систем), как можно ввести определение модели для сложного объекта управления (рис. 4.7)

Согласно классической теории управления под моделью объекта управления будем понимать зависимость Y = F (X, V), где X – неуправляемое природное воздействие на объект (например - погода); V – управляемое воздействие. Их связь и есть модель объекта управления.

Для объективации этой модели существует широкий набор математических средств.

Рисунок 4.7

Структура модели ОУ определяет характер связей между входами и выходами, независимо от конкретных значений параметров. Формирование этой структуры называется синтезом, а измерение этих параметров называется идентификацией ОУ. Идентификация модели сводится к количественному сравнению измеренных параметров модели и реального объекта управления при подаче на вход одинаковых воздействий X. Если измеренные значения модели и реального объекта управления совпадают, то кибернетическая модель адекватна и может быть использована.

Процесс формирования модели разбивается на следующие подзадачи.

1. Выбор и синтез математической структуры для описания связей входных и выходных воздействий;

2. Декомпозиция модели;

На первом на основе принципа физичности субъект может выделить, какие параметры среды и объекта можно считать существенными. Затем субъектом выявляются связи. Перечислим основные методичесие подходы необходимые для рациональнго выбора связей.

Связи подразделяются на:

Неуправляемые связи

X - неуправляемые, но контролируемые (измеряемые) связи, характеризующие воздействие среды на объект;

Требования к неуправляемым связям.

8. Х должены влиять на реализацию целей в ОУ.

9. Х должены измеряться

Управляемые связи.

Z - управляемые связи можно целенаправленно изменять состояние объекта;

Воздействие управления на состояние объекта должно компенсировать негативные изменения этого состояния (вызванные различными факторами среды и поведением самого объекта). Управление должно обладать свойствами управляемости, т.е. имеется в виду количественное описание качества управления.

Информирующие связи

Это связи, которые позволяют измерить состояние среды и в устройстве управления сформировать управляющие воздействия, чтобы затем изменить состояние объекта. Должны содержать, нести сигналы о выполнении цели управления. Информирующие связи должны надежно и оперативно измеряться и передаваться по каналам связи

После выделения параметров среды и объекта управления, возможно перейти к выбору моделей управления. Здесь для описания моделей управления сложными системами целесообразно выделить

· традиционные математические модели,

· кибернетические модели и

· логико-онтологические модели.

Каждый из этих классов удобен для описания широкого спектра сложных систем.

Традиционные математические модели определяются физической природой объекта управления (принцип физичности) и конкретизируются за счет знания физических закономерностей описывающих эти объекты (алгебраические, дифференциальные, интегро-диффернциальные, интегральные уравнения математической физики).

Фундаментальными свойствами связей для традиционных физико-математических моделей являются: динамичность- статичность; линейность-нелинейность; стохастичность-детерминированность; стационарность - не стационарность.

Кибернетические модели (модель черного ящика) определяются как модели, описываемые на основе входных и выходных воздействий. Они используются в случае сложных систем, для которых не разработаны адекватные физико-математические модели. В настоящее время в качестве модели черного ящика часто используются модели многомерного регрессионного и факторного анализа. Эти модели могут выступать в качестве «замены» физико-математических моделей. Однако они обладают существенным недостатком. Они адекватно описывают объект управления только после практического измерения параметров (процедура идентификации) для данной конкретной сложной системы (объекта управления). Для другого конкретного объекта управления требуется снова осуществить измерения параметров (т.е. требуется настройка моделей на конкретные объекты управления).

Фундаментальными свойствами связей для кибернетических моделей являются: иерархичность, динамичность- статичность; линейность-нелинейность; стохастичность-детерминированность; стационарность - не стационарность.

Логико-онтологические модели используются в ситуациях, когда сложные системы проявляют свойства целеустремленности и уникальности. Кроме того, создание модели субъекта управления с необходимостью требует, их использования. Примерами таких моделей могут служить семиотические модели, модели эвристик, модели предметных знаний. В качестве основы этих моделей выступают нетрадиционные логики, абстрактная алгебра, топология, теория категорий

Фундаментальными свойствами связей для логико-онтологических моделей являются: транзитивность-нетранзитивность, континуальность-неконитинуальность, сепарабельность-несепарабельность.

 

Рассмотрим пример формирования логико-онтологической модели управления

В качестве примера рассмотрим формирование модели объекта управления на основе семиотической модели. Семиотические модели используются для создания модели объекта управления, в той ситуации, когда объект управления представляет сложную систему, в которой принципиальные свойства (целенаправленность, уникальность и непредсказуемость) не позволяют применять более традиционные математические модели.

Синтез всякой модели является процессом формализованного описания объекта, т.е. переходит от обыденного языка к формализованному. Для классической математики такой переход не всегда возможен. Это связано с многозначностью, размытостью понятий обыденного языка и, к сожалению, с многозначностью предметного языка многих разделов экономики, медицины, социологии. Использование специальных разделов математики (абстрактная алгебра, топология, теория категорий) помогает решать эти проблемы.

Так подобные трудности синтеза модели объекта управления можно частично устранить, если в символьной форме задать фиксированное число специально выделенных понятий. Эти понятия фиксируются в виде определенных знаков, для которых задаются строгие алгебраические правила отношений (рис. 4.8) Назовем такую систему знаков семиотической моделью.

Рисунок 4.8

1. Выделение понятий

2. Обозначение знаками и символами

3. Вводим состояние связей и отношений (алгебра)

Это позволяет достигать 2 –х целей:

1. Давать краткое описание сути явлений;

2. Преобразуя полученные знаковые констатирующие по определенным правилам или алгоритмам, можно выявить принципиально новые свойства объекта.

Простейшим математическим инструментом здесь выступает язык бинарных отношений. Он позволяет построить математическую конструкцию, которая выступает как семиотическая модель объекта управления.

Простым наглядным примером описания объекта управления (иллюстрирующем суть семиотической модели) будет являться система управления лифтом.

1. задается базовое понятие {a_i} Это символы, которым соответствуют ключевые структуры объекта.

a₁ – лифт

a₂ – кнопка лифта

a₃ – дверь лифта

2. Базовые отношения. Устанавливают физические механизмы связей между базовыми понятиями.

{p_j} – отношения.

p₁ – находиться в

р₂ – быть одновременно

Задаются ограничения на отношения.

Устанавливаются отношения только между двумя понятиями.

3. Имена. Некоторым элементам объекта можно присваивать имена {b_i}.

Введенные определения задают словарь бинарных отношений. Предметный смысл введенных понятий задает семантику бинарных отношений. Он же диктует формирование правил синтаксиса

Правилами считаются любые фразы следующего типа:

А = а_i

A=a_ir_ka_j

A=A_ir_jA_k

A=A_ir_jb_k

Фиксируются алгебраические свойства отношений присущие данной технической конструкции. Сам «арсенал» алгебраических свойств отношений содержится в современной абстрактной алгебре.

Аналогичным образом могут быть наборы широкого класса свойств, которые могут обеспечить структурное описание весьма сложных систем:

1. поведение автоматических дискретных устройств, включение ЭВМ, цифровые системы связи и передачи информации;

2. описание и выявление генетических структур в биологии и медицине;

3. когнитивная психология;

4. эргономика;

5. экономическое поведение;

6. теоретическая биология.

Благодаря четкой фиксации выявленных свойств бинарных отношений можно сформулировать правила преобразования символов, которые приводят к фиксации новых свойств.

Рисунок 4.9

Далее, используя методы современной алгебры, формируются новые интегральные фразы, которые автоматически трактуются, как новые базовые понятия. Сопоставление этих новых базовых понятий с поведением реального объекта приводит экспериментатора к открытию новых свойств.

Таким образом, функции преобразования символьного описания объекта позволяют образовывать новые понятия. Практическая полезность семиотических моделей связана с тем, что в результате серии опытов субъект усматривает эти свойства и формирует символьную структуру объекта управления. При этом появляется возможность перевода бинарных отношений в частоты и предпочтения. Частота употребления базовых понятий в эксперименте при идентификации служит практическим аргументом в пользу их использования. Особо важным является формирование структуры объекта управления по результатам группового выбора: арбитражных решений групповых решений, многоцелевой оптимизации.

Примеры базовых отношений.

a > b – отношение предпочтения

a» b –отношение эквивалентности

Рисунок 4.10

Бинарные отношения характеризуются набором свойств. Для примера рассмотрим 2 свойства

Свойство симметрии.

(отношения r₂ и r₁ симметричны)

Пример отношений r₂ и r₁: быть одновременно.

Свойство транзитивности

r₁ – находиться в ящике

A₁r₁A₂ A₁ и A₂ находятся в ящике

A₂r₁A₃ A₂ и A₃ находятся тоже в ящике

A₁r₁A₃

Частично упорядоченное множество еще одна особенность бинарных отношений.

Рисунок 4.11

Для части множеств можно установить бинарные отношения, а для других нет. Такие множества называются частично упорядоченными множествами.

Частично упорядоченными множествами называются множества, для которых можно установить попарное сравнение для ряда элементов множества.

Транзитивность предпочтения в какой–то мере выражает его конечность, согласованность, единство, однако, часто в реальных системах это условие нарушается. В этих ситуациях разработаны специальные методы принятия решений основанные на ранжировании элементов множеств. (нечисловые методы статистики Орлов В.А.)

Рассмотрим отдельные этапы синтеза модели.

 

Выбор и синтез математической структуры для описания
временных связей входных и выходных воздействий

Рассмотрим особенности выявления структур физико-математических моделей. Для выявления структуры моделей требуется, прежде всего, чтобы исходный набор X, Y и U должен быть значительно больше того количества, которое будет использовано в управлении, чтобы можно было осуществить ранжирование и окончательный выбор с помощью экспертных оценок.

Следует особо отметить, что с точки зрения системного принципа физичности структура модели, должна обладать следующими фундаментальными характеристиками, которые были уже упомянуты выше поскольку они присущи для всех традиционных физико-математических моделей:

–динамичность- статичность;

–линейность-нелинейность;

–стохастичность-детерминированность;

–не стационарность.

Рассмотрим на примерах, как фундаментальные характеристики позволяют выбирать физико-математические модели.

1.Структуру объекта будем считать динамической, если достаточно привлечь модель в которой есть переменная отражающая время и в которой связи между переменными в виде функции, оператора или функционала, который включают в себя операторы с памятью (дифференциалы, интегралы, запаздывание и др.).

Пример динамической системы, для непрерывных t объект представляется дифференциальным уравнением, где a_i b_j - параметры модели:

;

2. Под линейным объектом будем понимать объект, реакция которого на сумму любых двух внешних возмущений, равна сумме реакций на эти возмущения.

Так в качестве простейшей линейной структуры можно привести пример в виде уравнения линейной зависимости. Здесь в качестве переменных выбраны входные воздействия X на объект управления, управляющие воздействия U, а качестве зависимой переменной выбрано одно из выходных воздействий Y объекта управления (отклик). Замечательной особенностью этой модели является возможность ее распространения на случай случайных входных воздействий в виде уравнений регрессии. Уравнения регрессии служат одной из распространенных моделей кибернетических моделей.

Типичным примером нелинейной структуры является регулятор Уатта, закон Вебера-Фехнера, процессы детектирования.

Приведем уравнение модели колебаний, которое иллюстрирует, что нелинейная структура, может быть и динамической структурой:

3.Стохастичность

Непредсказуемое поведение объекта или окружающей среды, которое может быть количественно описано в рамках теории вероятности и теории случайных процессов. Стохастические имитационные модели, предлагаемые в теории вероятности и теории случайных процессов достаточно известны, активно используются в теории управления и подробно описаны в соответствующих пособиях. Отметим лишь стохастические имитационные модели управления. Под имитационными моделями будем понимать модели, в которых в фиксированные моменты времени t_1………t_n фиксируются определенные состояния моделей – это состояние объекта управления, – состояние среды, – состояние управления.

Рисунок 4.12

Фиксация параметров осуществляется во всех необходимых деталях (функциональная модель)

Имитационные модели обладают возможностью хорошо описывать неконтролируемые факторы поведения объекта, априорную неопределенность в отношение поведения объекта, его стохастичность с помощью теории случайных процессов и теории недетерминированного хаоса.

Иногда стохастической моделью служит процесс, обозначенный помехой.

4. Нестационарность

Нестационарность объекта связана с детерминированными или случайными изменениями во времени в операторах модели объекта управления F. Более просто можно сказать, что нестационарность это изменение постоянных параметров в статических моделях. В динамических моделях это изменение параметров, которые оставались постоянными при изменении параметра времени. В моделях построенных на основе теории вероятностей и теории случайных процессов нестационарность трактуется как изменение параметров распределений, которые в данных теориях выступали как постоянные константы (здесь говорят о случайных нестационарных процессах). Поскольку нестационарность может для динамических моделей развивается тоже во времени, то это требует введения специальных обозначений и формализаций.

Характер не стационарности необходимо учесть в модели объекта управления в виде зависимости F(t)

Y = Ft (X, U, C) = F (X, U, Ct), С – параметр объекта.

Простейший пример не стационарности – старение организмов-эукориотов, старение технических изделий, выраженное в виде определенных изменений параметров объекта. Кроме того, нестационарность может пониматься как изменение структуры объекта (меняется тип структуры).

 

Декомпозиция моделей.

Процедуру декомпозиции удобно рассматривать на модели черного ящика, где задаются только входы и выходы (рис.4.13).

Для сложных объектов входов и выходов может быть много, т.к. каждый вход и выход описывают принципиальные параметры системы.

Рисунок 4.13

Для такого рода черных ящиков практически не существует математических моделей, кроме матричного анализа и многомерной статистики, которые тоже практически неработоспособны при большом количестве входов и выходов (проклятие размерности). Поэтому для количественного описания такого рода ситуаций используется принцип декомпозиции сложного объекта.

Суть принципа:

a. Исходя из эмпирического и интуитивного восприятия объект разбивается на некоторые совокупности черных ящиков, у которых:

Число входов значительно меньше здесь проявляется возможность использования эмпирической интуиции субъекта.

Смысл декомпозиции заключается в том, что используются неформальные и интуитивные априорные сведения о структуре объекта, можно упростить задачу синтеза модели.

Рисунок 4.14

Упрощение идет по двум направлениям.

Математическая модель черного малого ящика может быть проще математической модели большого черного ящика.

Число входов и выходов у малого черного ящика принципиально меньше, чем у большого. Этим снимается проклятие размерностей.

b. Используя средства вычислительной математики, перейдем от математических моделей малых черных ящиков к их интегральной вычислительной реализации (программному алгоритму).

c. Реализуем эти алгоритмы в «железе», «мягком железе» и в виде инструкций, регламентов в реальных организационных системах, социальных сферах управления (инструкции, постановления, штрафы и т.д.)

Количественно оценим меру сложности «черного ящика», используя теорию сложности, ибо она определяет качество декомпозиции и ее окончательный успех, т.е. речь, идет о «трудоемкости», сложности синтеза модели. Трудоемкость синтеза модели теоретически связана с фундаментальной характеристикой – сложность алгоритма.

Мера сложности модели определяется через меру сложности алгоритма. Сложность алгоритма задается в вычислительной математике.

L = L (n, m)

n – число входов;

m – число выходов.

Сложность всей системы равна сумме сложностей подсистем.

Таким образом, процесс декомпозиции системы может рассматриваться как процесс минимизации ее сложности.

Рисунок 4.15

В настоящее время в рамках непараметрической статистики разработаны методы автоматической декомпозиции без учета априорных сведений и структуры модели. Это направление смыкается с другим направлением, которое называется теорией самоорганизующихся нейронных сетей. Оба направления оттолкнулись от статистических идей распознавания образов и идей перцептрона.

Рассмотренная концепция декомпозиции может использовать в качестве содержания черного ящика не только регрессионные схемы, но может базироваться схемах линейной алгебры, линейных дифференциальных уравнений, конечноразностных уравнений и других схемах классической математики. К сожалению, эти языки классической математики не всегда пригодны для описания моделей управления достаточно сложных систем (имеющих место быть, на практике), поэтому целесообразно использовать методы семантики и алгебраической топологии для формирования этих моделей.