Энергия затухающих колебаний

 

Энергия затухающих колебаний складывается из потенциальной и кинетической: Ε = kx ²/2 + т /2. После подстановки в предыдущую формулу выражений x (t)и (t), соответствующих затухающим колебаниям (8), получим зависимость E (t), которая графически представлена на рис. 4. Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы определяется как

– r · = – r ,

 

тогда

= – r .

Таким образом, <0, кроме тех случаев, когда =0. При малом затухании (β<<ω₀) зависимость E (t)становится практически экспоненциальной:

, (11)

 

отсюда можно определить убыль энергии в единицу времени:

 

– =2β E (12)

Характеристики затухания

 

Кроме коэффициента β затухание характеризуют и другими величинами:

 

1. Время релаксации τ — это промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. Из выражения а = а ₀е^{-β t} вид­но, что

 

= (13)

 

Интервал времени τназывают также постояннойвремениосциллятора. Это оценка времени, в течение которого продолжается процесс свободных колебаний осциллятора, выведенного из положения равновесия. Разумеется, по истечении времени τколебания продолжаются, но амплитуда, спадая по экспоненциальному закону, становится столь малой, что практически можно полагать, что колебания прекратились (скажем, через промежуток времени 5/βамплитуда падает более чем в 100 раз).

2. Логарифмический декремент затухания. Его определяюткак

 

, (14)

 

Где: Т — период затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания λ показывает, насколько изменяется амплитуда колебаний за один период. Например, при λ = 0,01 амплитуда ко­лебаний изменяется за 1 период приблизительно на 1%. Из формул (13) и (14) следует, что

 

λ= = , (15)

 

где N _e — число колебаний за время τ, в течение которого амп­литуда уменьшается в е раз.

 

3. Добротность осциллятора. По определениюпри малых значениях логарифмического декремента:

Q = =π N _e (16)

 

Эту величину применяют для характеристики чувствительности колебательной системы к резонансным воздействиям. Из (16) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N _e, совершаемых системой за время релаксации.

В заключение отметим, что анализ формулы (10) приводит к выводу: затухающие колебания возможны при условии β < ω₀. Хотелось бы обратить внимание, что при увеличении коэффициента затуха­ния β период затухающих колебаний будет расти, и при β = ω₀ система будет совершать апериодическое движение: выведенная из положения равновесия, она возвращается в это поло­жение, не совершая колебаний.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом

1. С помощью крепежного винта подвесьте пружину вертикально к горизонтальному стержню. К пружине уже прикреплен небольшой груз. Получившаяся конструкция представляет собой пружинный маятник.

2. На стенде, расположенном напротив пружины, установите линейку, которая будет необходима для определения удлинений пружины в ходе работы. Зафиксируйте координату нижней плоскости груза в положении равновесия (от этой точки далее будет производиться отсчет координаты x).

3. Проведите последовательно прямые измерения координаты x относительно начального положения для грузиков различных масс (пять опытов с грузиками, отличающимися по массе!).

4. Считая условием равновесия mg = kx, постройте график зависимости mg (x) (значение ускорения свободного падения g принимайте равным 9.81 м/с² без погрешности). Если деформации пружины упругие, т. е. после прекращения действия силы пружина восстанавливает первоначальные геометрические параметры (на практике это условие выполняется при малых удлинениях пружины), то закон Гука справедлив (k = const) и график будет линейным. Тангенс угла наклона полученной прямой дает среднее значение коэффициента жесткости k. Таким образом, для произвольной точки прямой .

5. Погрешностью отдельного прямого измерения величин, отложенных на осях, считают отклонение экспериментального значения рассматриваемой величины от значения, даваемого графиком. Установив таким образом относительные погрешности всех отдельных прямых измерений для m и x, усредните их по пяти измерениям.Таким образом, погрешность k будет определяться выражениями , .

6. Заполните таблицу, используя полученные данные:

 

№ измерения	m, г	ε m		x, мм	ε x		, н/м	ε k, %	Δ k, н/м

7. Представьте конечный результат в виде: , .

 

Задание 2. Определение коэффициента жесткости пружины динамическим методом

1. Для пяти различных масс найдите время t двадцати полных колебаний. Груз от положения равновесия необходимо отклонять строго вертикально. Отклонение от положения равновесия не должно быть более 20 мм.

2. Вычислите период T по формуле: T = t / n, где n = 20 – число колебаний (в этом задании затуханием колебаний необходимо пренебречь).

3. Т. к. , то . Ввиду того, что , зависимость T ²(m) получается линейной, и ее график должен представлять собой прямую. Постройте его. По углу наклона прямойопределите = 4π² ctgα.

4. С помощью графика установите относительные погрешности всех отдельных прямых измерений m и T ² , а такжеусредните их по пяти измерениям (см. п.5 предыдущего задания).Таким образом, погрешность k будет определяться выражениями , .

5. Заполните таблицу, используя полученные данные:

 

№ измерения

m, г

ε m

t, с

n

T, с

T 2, с2

, н/м

ε k, %

Δ k, н/м

6. Представьте конечный результат в виде: , .

 

Задание 3. Определение характеристик затухания

1. Отклоните строго вертикально груз определенной массы m от положения равновесия, растягивая пружину на а ₀ = 27 мм. Зафиксируйте положение амплитуды, меньшей в е раз: а ≈ 10 мм.

2. Отпустите пружину, включив секундомер, и считайте колебания до тех пор, пока нижняя плоскость груза не перестанет пересекать отметку, сигнализирующую об уменьшении амплитуды в е раз. По достижении упомянутого момента выключите секундомер, зафиксировав время t и число N _еколебаний.

3. Повторите опыт еще 2 раза и занесите экспериментальные данные в таблицу:

 

№ опыта	а 0, мм	а, мм	t, с	N е	T, с

4. Оцените абсолютные и относительные погрешности а ₀, а, t, T.

5. Рассчитайте значения и оцените погрешности следующих величин:

логарифмического декремента затухани я λ, воспользовавшись формулой (15);

времени релаксации 𝜏, преобразовав формулу (15);

коэффициента затухания β, преобразовав формулу(13);

добротности осциллятора Q, воспользовавшись формулой (16).

6.Данные, полученные в п. 4, п. 5 представьте в виде таблицы. Вид таблицы выберите самостоятельно.

7. Представьте окончательные результаты в виде:

, ;

, ;

, ;

, .

 

8. Сделайте выводпо проделанной работе.

 

Контрольные вопросы

1. Что такое деформация? Какие виды деформаций вы знаете? Чем они отличаются друг от друга? При каких условиях на практике деформации можно принять упругими?

2. Сформулируйте закон Гука. Укажите границы применимости этого закона.

3. Какие колебания называются незатухающими? Выведите дифференциальное уравнение, описывающее незатухающие колебания.

4. Какие колебания называются затухающими? Выведите дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания.

5. Можно ли назвать затухающие колебания строго периодическими? Почему?

6. Как зависит от времени энергия затухающих колебаний?

7. Что такое коэффициент затухания, время релаксации, логарифмический декремент затухания, добротность осциллятора?

8. В чем заключается сущность статического метода определения коэффициента жесткости?

9. В чем состоит сущность динамического метода определения коэффициента жесткости?

 

Литература

а) основная литература:

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учебн. пособие для студентов втузов. - 8-е изд., стер.- М.: Академия, 2009. - 720 с.

1. Савельев И.В. Курс физики: учеб.пособие для вузов. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. — 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2008. — 352 с.

3. Трофимова Т.И. Физика: учебник для высшего проф. образования. - М.: Академия, 2012. - 320 с.

4. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для инженерно - техн. спец. вузов. - 18-е изд,, стер. - М.: Академия, 2010. – 560 с.

 

б) дополнительная литература:

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. – 8-е изд., стер. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 309 с.

 

в) ресурсы информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:

1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математическогофакультета Московского государственного университета.- [Электронный ресурс]. Систем.требования: AdobeAcrobatReader. – URL: http://lib.mexmat.ru/books/6791

2. Электронная библиотека РГБ. -[Электронный ресурс]. Систем.требования: AdobeAcrobatReader. – URL: http://elibrary.rsl.ru

3. Электронная научная библиотека Астраханскргогсударственного технического университета - [Электронный ресурс]. Систем.требования: AdobeAcrobatReader. – URL: http://library.astu.org

 

г) методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля):

1. Быкова В.П., Ревина А.В. Методическое пособие для подготовки студентов к Интернет-экзамену по физике. Часть I. Механика. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2009. - 20 с.

2. Быкова В.П., Березина И.С., Ревина А.В. Сборник вопросов и задач для контроля качества знаний студент (для бакалавров). - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2011. – 35 с.

3. Селиванов Н.В., Неупокоева И.В. Физический практикум «Механика» (Часть II):

учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических специальностей. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2007. - 36 с.

 

Лабораторная работа № 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ КРУЧЕНИЯ ТЕЛ

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

Цель работы: освоить метод крутильных колебаний для измерения момента инерции тела, измерить момент инерции тела с осевой симметрией.

Оборудование: проволока, цилиндрическое тело, тело сложной формы с осевой симметрией, масштабная линейка, штангенциркуль, микрометр, секундомер.

 

Теоретическое введение

 

Момент инерции J твердого тела относительно неподвижной оси называется физическая величина, характеризующая способность данного тела запасать количество вращательного движения (т. е. момента импульса ):

, (1)

где w - угловая скорость. Момент инерции - мера инертности вращательного движения. Это величина, аналогичная массе в поступательном движении.

Момент инерции J материальной точки относительно оси вращения равен произведению m массы точки на квадрат расстояния r от этой точки до оси вращения:

. (2)

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения зависит от распределения массы данного тела вокруг выбранной оси и может быть рассчитан по формуле:

 

, (3)

где r_i – расстояние элемента массы от оси вращения. То же в интегральной форме:

. (4)

 

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему V, то:

. (5)

 

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

 

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню
Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания
Однородный шар массой m и радиуса R	Проходит через центр шара

 

Теорема Штейнера. Момент инерции J тела относительно произвольной оси определяется по формуле:

, (6)

где J₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; - расстояние между осями; m – масса тела.

Рассмотрим несколько примеров расчета момента инерции для тел правильной геометрической формы.

Пример 1. Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.

Разобьем мысленно цилиндр на очень большое число соосных тонкостенных цилиндров. Пусть r – радиус какого-либо из них, а толщина его стенки dr<<r (рис.1). Тогда момент инерции этого элемента сплошного цилиндра равен

,

 

 

 

так как все малые элементы его находятся на одном и том же расстоянии R от его оси.

где Н – высота цилиндра; - его плотность. Искомый момент инерции сплошного цилиндра находим, суммируя моменты инерции всех его малых элементов, т.е. интегрируя выражение (*) по r от 0 до R:

 

 

, (7)

 

так как масса цилиндра .

Пример 2. Момент инерции однородного тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его середину.

	Рис.2. Однородный тонкий стержень

 

Разобьем мысленно стержень на малые отрезки. Пусть x – расстояние от одного из таких элементов до оси, а dx – его длина. Тогда момент инерции этого элемента

 

,

 

где S – площадь поперечного сечения стержня (); r - его плотность. Момент инерции одной половины стержня находим интегрируя выражение (**) от 0 до , а искомый момент всего стержня вдвое больше:

 

, (8)

 

так как масса стержня m = rlS.

Однако если тело имеет сложную форму, то расчёт его момента инерции по формуле (4) становится трудным и в ряде случаев его проще определить опытным способом. Одним из методов опытного экспериментального определения момента инерции тела является метод крутильных колебаний. Схема крутильного маятника изображена на рис. 3.

 

 

Он представляет собой упругую проволоку с закреплённым верхним концом, к нижнему концу которой жёстко присоединено изучаемое тело. Поворачивая тело на угол j, мы создаём в проволоке вращающий момент упругой силы М_упр, который по закону Гука пропорционален деформации кручения j:

. (9)

 

Коэффициент пропорциональности в законе Гука называется модулем кручения и зависит от параметров проволоки:

, (10)

 

где d – диаметр проволоки, l – длина проволоки, N – модуль сдвига материала проволоки.

По второму закону Ньютона, момент упругой силы создаёт угловое ускорение, пропорциональное этому моменту:

 

. (11)

 

Таким образом, свободное вращение крутильного маятника при пренебрежении силами трения, будет описываться дифференциальными уравнениями, объединяющими второй закон Ньютона и Гука:

. (12)

 

Интегрируя это выражение получим его решение

 

. (13)

 

Следовательно, при допустимости сделанных нами упрощений, маятник будет совершать гармонические колебания с периодом

. (14)

Задание 1. Определение модуля кручения и модуля сдвига проволоки

1. Закрепить эталон (цилиндрическое тело) на проволоке (рис.3).

2. Повернуть тело на небольшой угол вокруг оси и отпустить его. Тело будет совершать колебания.

3. Измерить (не менее 3 раз) время t 20 колебаний (n - число колебаний).

4. Рассчитать период колебаний эталона по формуле T_э = t / n, найти его среднее значение и среднюю абсолютную погрешность.

5. Результаты занести в таблицу1.

Таблица 1

N	n	t	Tэ	DTэ
	c	с	c
1.
2.
3.
Среднее значение

 

6. Содержание последней строки таблицы 1 занести в таблицу 2.

7. Записать в таблицу 2 массу эталона, с указанием максимальной абсолютной погрешности.

8. Измерить радиус R эталона штангенциркулем и, оценив абсолютную и относительную погрешность данного прямого измерения, записать полученные результаты в таблицу 2.

9. Используя формулу (7), рассчитать момент инерции эталона I_э. Относительную погрешность косвенного измерения момента инерции эталона ε_I рассчитать по формуле:

.

Абсолютную погрешность оценить из соотношения:

.

Результаты занести в таблицу 2.

10. Из формулы (14) следует, что модуль кручения проволоки f можно рассчитать, зная I_э и Т_э. Рассчитать f, его относительную ε_f и абсолютную Df погрешности, используя формулы, приведенные ниже. Записать результаты в таблицу 2.

 

,

.

 

11. Измерить длину проволоки l линейкой, а ее диаметр d при помощи микрометра. Оценить абсолютную и относительную погрешности прямого измерения. Результат занести в таблицу 2.

Таблица 2

a	Единицы измерения	a ± D a	%
m
R
Iэ
Тэ
f
l
d
N

 

12. Рассчитать по формуле (10) модуль сдвига N материала проволоки. Относительную ε_N и абсолютную Δ N погрешности косвенного измерения модуля сдвига рассчитать по формулам:

 

,

.

 

Результаты занести в таблицу 2.

13. Определить материал проволоки по модулю сдвига, сравнивая полученный результат с данными справочника.

Задание 2. Определение момента инерции тела сложной формы.

1. Собрать тело сложной формы путем закрепления дополнительного элемента на эталоне. Заставить тело сложной формы совершать крутильные колебания. Измерить время t 20 колебаний не менее 3 раз. Рассчитать период колебаний по формуле T = t / n, найти его среднее значение и среднюю абсолютную погрешность. Результаты занести в таблицу 3.

Таблица 3

 

N п/п	n	t	T	DT
	с	с	c
1.
2.
3.
Среднее значение

2. Получить выражение для момента инерции из формулы (14). Вычислить момент инерции тела сложной формы, используя значение модуля кручения проволоки f, найденное в первом задании, и среднее значение периода крутильных колебаний для тела сложной формы (таблица 3).

3. Самостоятельно получить формулу для расчета относительной погрешности ε_I косвенных измерений момента инерции тела сложной формы. Рассчитать относительную погрешность ε_I и абсолютную погрешность косвенных измерений момента инерции тела сложной формы.

4. Выписать окончательные результаты в таблицу 4.

5. Сделать вывод о проделанной работе.

Таблица 4

а	Единица измерения	a ± D а	%
f
N
I

 

Контрольные вопросы.

1. Назовите и запишите основные динамические характеристики вращательного движения. Покажите аналогию между основными динамическими характеристиками поступательного и вращательного движения.

2. Дайте определение момента инерции твердого тела. Назовите единицы измерения этой физической величины.

3. Как рассчитать момент инерции материальной точки и твердого тела?

4. Используя формулу (4) получите выражения для моментов инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы:

а) однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести стержня перпендикулярно ему;

б) однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему;

в) кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания;

г) диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания;

д) шара относительно оси, проходящей через его центр.

5. Покажите на примере, как, используя теорему Штейнера, найти момент инерции тела относительно произвольной оси.

6. Вычислите момент инерции медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска и отстоящей от его центра на расстояние 2R, если его толщина b=2 мм и радиус R=100 мм.

7. Сформулируйте второй закон Ньютона для вращательного движения. Приведите примеры его выполнения.

8. Выведите формулу периода для крутильного маятника.

9. Запишите закон Гука для деформации кручения.

10. Объясните физический смысл модуля кручения и модуль сдвига. В каких единицах измеряются эти величины?

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова Т.И. Физика: учебник для высшего проф. образования - М.: Академия, 2012. -320с.

2. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета.- [Электронный ресурс]. Систем. требования: AdobeAcrobatReader. – URL: http://lib.mexmat.ru/books/6791

3. Электронная научная библиотека Астраханского государственного технического университета - [Электронный ресурс]. Систем. требования: AdobeAcrobatReader. – URL: http://library.astu.org