Проекция типичных поверхностей на плоскость

 

 

 

 

Понятие фрактала. Мы рассматриваем природные явления, основываясь на линейном приближении. Любой нелинейный процесс приводит к ветвлению. Система осуществляет выбор при каждом ветвлении, последствия этого выбора предсказать невозможно, т. к. существует усиление. хотя в каждый момент причинная связь сохраняется, но после ряда ветвлений начальная информация становится бесполезной.

Понятие фрактала введено Б. Мандельбротом. Этим словом обозначен широкий класс естественных и искусственных топологических форм, главной особенностью которой является самоподобная, иерархически организованная структура.

Самоподобие подразумевает, что внешние, с точки зрения формы, фрактальные объекты состоят из большого числа точечных статистических копий самих себя, которые последовательно обнаруживаются на все более подробных масштабных шкалах. Геометрическая модель фрактала ассоциируется с утонченным узором и может проявлять удивительное разнообразие, несмотря на простейший алгоритм образования.

 

 

 

Фрактальным строением обладает большое количество природных объектов (крона дерева, облака, вихри в атмосфере, в воде). Наиболее отчетливо фрактальные структуры наблюдаются при рассмотрении береговой линии морей.

 

 

 

 

Кровеносная система обладает фрактальной структурой: 2 < D < 3.

С точки зрения математики, фрактал – непрерывная, но бесконечная изрезанная функция, не имеющая ни в одной точке производной (Веерштрасс).

Выделяются также фрактальные процессы. Для оценки фрактальных стохастических процессов пользуются спектральной зависимостью I  f^- D=(5-)/2 или скейлинговым соотношением (среднеквадратичных отклонений) V(t²)  t^2H.

Фрактальные представления позволяют оценить переходы хаоса в порядок и наоборот.

Элементы синергетики.

Возникла в 70-е годы 20 века, в 1972 году, когда прошел первый международный конгресс по синергетике.

Основная цель синергетики – проследить переходы от плавного развития через катастрофы к качественно новым изменениям. Наряду с адаптационными процессами происходят резкие изменения, приводящие к разрушению старых систем и появлению на их оболочках новых. Моменты или условия гибели старого можно предсказать, но процессы нового не представляют возможности описать в рамках как динамических, так статических закономерностей. В условиях катастрофы перестают действовать причинно-следственные связи, привычные обычной логике. Все макроскопические параметры совершают флуктуации от положительного равновесия, в обычной положительной флуктуации не оказывая влияния на эволюцию в системе. Анализ показывает, что шумовая окружающая среда, вызывающая флуктуации увеличивает информационную избыточность системы и вызывает организацию.

Самоорганизация - появление макроскопических упорядоченных структур в первоначально бесструктурной среде, причем под структурой понимаются не только статичные неподвижные образования, но и процессы (упорядоченные движения, автоколебания или вихри).

Синергетика - метод формального описания явлений становления сложных систем, выделяющихся самопроизвольно из окружающей среды.

Сложная система - составной объект, части которого можно рассматривать как отдельные системы, объединенные в единое целое в соответствии с отдельными признаками и связанные между собой заданными отношениями.

Вся природа подчиняется синергетическим принципам.

Синергетика- это теория самоорганизации, формальное учение о самоорганизации сложных систем, превращении хаоса в порядок.

Развитие синергетики идет по нескольким направлениям:

1.Неравновесная термодинамика.

Термодинамика изучает открытые системы в состояниях далеких от равновесия. Основной задачей является доказательство того факта, что неравновесие может быть причиной порядка, система неравновесной термодинамики должна быть открытой и иметь приток вещества и энергии извне, а также поддерживать упорядоченность.

Условие формирование новых структур - это открытость системы, ее нахождение вдали от точки равновесия и наличие флуктуаций. Развитие систем протекает по единому алгоритму. В основе его – самоорганизация, протекающая в критических точках систем.

2. Синергетика.

Процессы эволюции и деградации. Хаос не только разрушителен, но и сознателен. Развитие происходит через неустойчивость (хаотичность).

Процессы упорядоченности имеют единственный алгоритм независимо от природы, специфики и характера систем. Эволюция большинства сложных систем имеет нелинейный характер, т.е. существует несколько возможных вариантов развития. Возникновение структур, возрастание сложности – закономерность, т.е. случайность, встроена в механизм эволюции.

Синергетика является составной частью научного образа мира, потому что сформулировала основную тенденцию развития в природе: создание сложных систем из более простых и определила основные принципы эволюции материальных систем, тем самым идеи синергетики приобрели междисциплинарный, общенаучный характер. Они являются основой глобального синтеза знаний в науке, основанного на нелинейном мышлении.

Условия, необходимые для появления структур.

Систем должна быть открытой.

Обмениваться с окружающей средой веществом, энергией. Энтропия и негэнтропия.

Микроскопические процессы (на уровне элемента системы) происходят согласованно (имеет место синергия).

Существуют отклонения от равновесного состояния.

Процесс рассматривается в таком диапазоне параметров, когда для их описания приходится использовать нелинейные материальные модели.

Система термодинамики замкнута:

 

Т1>Т2 Т1=Т2

S>=0 S/ t >=0

 

В необратимых процессах энтропия всегда возрастает. Это количественная мера хаоса. В замкнутых системах процессы в сторону возрастания хаоса. Стрела времени в замкнутых системах направлена вверх энтропии.

 

Теория катастроф.

Теория катастроф – математическое обобщение анализа сложных процессов самоорганизации. Методы ТК позволяют быстро, наглядно, достаточно точно проводить анализ самых различных явлений от физических до социальных.

Математически ТК является обобщением методов исследования функций на экстремум. Точка особенности функций, где наблюдается катастрофа, связана с резким изменения режима функционирования системы, где она перестаёт подчиняться обычным законам, и проявляется её связь с параметрами, т.е. резко отличное от предшествующих поведения, следствия. Катастрофа является следствием нелинейности систем, описывающих развитие. ТК исследуются динамичные системы, сопоставляющие широкий класс нелинейных систем, описываемых уравнением вида: dXi/di=f(Xi;Ca)

Xi-переменная, характеризующая состояние.

Ca-параметр.

Т.к. предполагает существование потенциальной функции, производная от которой по соответствующей переменной и будет вот этой функцией. F(Xi,Ca)=dU(Xi,Ca)/dXi. В состоянии равновесия функция обращается в ноль.

Задача сводится к исследованию изменений состояния равновесия потенциальной функции U при изменении Ca, т.е. нахождению точки дифференциала функции, которая может быть представлена как функция катастроф.

В зависимости от числа параметров можно провести классификацию катастроф.

1. Катастрофа складки.

Cat(x,c)=1/3x³+cx

 

2.Катастрофа сборки

cat(x,a,b)=1/4x³+ax²/2+bx

 

Теория катастроф задает статическую картину, определяет область изменения или существования различных структур и границы их устойчивости для изучения динамики системы.

Необходимо дополнить информацией о том, какие новые вершины появляются при изменении параметров (метод бифуркаций)- процесс возникновения нового решения при критическом значении параметра, когда изменения управляемых параметров могут вызывать качественно новый скачок переменных состояний.

Бифуркационный анализ позволяет говорить о динамическом Хаосе, т.е. реальный момент перехода хаоса в порядок может быть определён.

Лекция 9.Масштабно-структурная лестница мироздания

 

Основными способами метафизического познания являются философия и религия. В недрах философии разработаны свои методы.

Системный подход в познании – это представление объекта познания системы элементов и дальнейшее рассмотрение их внутренних и внешних связей, обеспечивающих его целостность. Структурно-функциональный подход – это вариант системного подхода, предполагающий познание объекта путем анализа структуры его элементов и их собственных взаимосвязанных функций. Вселенная – это мегасистема, которая имеет в своей структуре такие элементы, как системы. Кибернетический подход – вариант системного подхода, при котором познание материального объекта с неизвестной внутренней структурой, сводится к анализу связей между входными воздействиями и выходящими сигналами. В этой системе рассматривается управляющий объект, объекты управления, прямая связь и обратная связь, основными понятиями в этом подходе является понятие управления и информации. Синергетический подход- вариант системного подхода, которого в качестве основного условия принимается то, что в некоторых системах возможна самоорганизация, т. е. структура системного исследования. Эволюционный подход- вариант системного подхода, рассматривает изменения в обществе и в природе, как результат длительного изменения, предшествующего состояния какой- либо системы. В рамках общей теории систем, любая система может быть представлена в виде совокупности трёх функциональных уровней (планов): вещественного, энергетического и информационного, причём с точки зрения принципа подобия, каждый из этих планов в свою очередь обладает такой структурой. В сложной системе воздействие информационного плана на вещественный происходит опосредованно через информационный план. Теория систем привела к применению общего системного подхода, согласно которому Вселенная в пределах космического горизонта (самая крупная из систем), в процессе развития создаёт определённую систему, характеризующуюся различными масштабами, открытостью и неравновесностью. Внешней средой Вселенной, в которую она погружена, всеобъемлющим является физический вакуум. Системный подход является промежуточным между редукционизмом и холизмом; система сводится к фундаментальным неделимым частям. Изучение сложных систем производят с помощью системного анализа. Более высоким методологическим уровнем рассмотрения является концептуальный подход.

Понятие структуры материи выражает упорядоченность существования материи. Под структурой материи обычно понимается ее строение в микромире, существование в виде молекул, атомов, элементарных частиц и т. д. Но к структуре относятся и всевозможные макроскопические тела, все космические системы мегамира, причем в любых, сколь угодно больших пространственно-временных масштабах.

Структура неисчерпаема и бесконечна в количественном и качественном отношениях.