Буфуркации. Динамический хаос.

Теория катастроф задает статистическую картину, определяя область существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения динамики системы Т.К. необходимо дополнить положениями о том, каким именно образом новые решения от некоторого известного при изменении параметра. Это предмет теории буфуркаций. Буфуркация — процесс возникновения нового решения уравнения при некотором критическом значении параметра.

Изменения управляющих параметров могут вызвать большие изменения (катастрофический скачок) переменных состояния. Происходит резкий скачок переменных состояния в сверхбыстрой временной шкале, что соответствует переходу из одного локального минимума в другой.

Состояние физической системы, описываемой потенциалом U (xi, c_) задается точкой { x₁ }, в которой потенциал имеет минимум. Изменение внешних условий приводит к изменениям управляющих параметров, что в свою очередь, влияет на вид потенциальной функции U (xi, c_). Глобальный минимум, определявший состояние системы, может стать метастабильным локальным минимумом или даже совсем исчезнуть. Система должна перескочить из одного локального минимума в другой. Момент перехода зависит от свойств системы и уровня флуктуаций. В предельных случаях могут быть использованы два принципа.

 

Принцип максимального промедления определяется существование устойчивого или метастабильного уровня. Принцип Максвелла — состояние системы определяется глобальным минимумом. Моменты перехода показаны стрелкой. Реальный момент перехода между значениями, определяемыми этими двумя принципами, каждому из которых соответствует свое множество точек в пространстве управляющих параметров, в которых происходит переход из одного локального минимума в другой (буфуркационное множество).

В большом числе случаев система может быть описана вероятностной функцией распределения, связанной с потенциальной функцией.

 

 

 

 

(информация после достижения ЗАДАННОГО состояния равного нулю)

 

 

 

(КОНЕЧНОЕ состояние не задано, переход от одного относительно устойчивого состояния к другому полуслучаен — зависит от внешних влияний)

Таким образом, все траектории притягиваются к предельному множеству (аттрактору). Структура последнего может быть довольно сложной, начиная от точки покоя или предельного цикла (регулярные аттракторы) и кончая полным перемешиванием траекторий (странный аттрактор). Размерность странного аттрактора всегда меньше размерности фазового пространства. Это, действительно, довольно странные объекты: ни точки, ни линии, ни поверхности, ни объемы, а что-то промежуточное, имеющее дробную (фрактальную) размерность.

Проследим математические закономерности эволюции и перехода порядка в хаос на конкретном примере. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью х_j и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью х_j+1. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения х_j+1= сх_j(1–х_j), а убыль – вторым. Параметр роста с является аналогом числа Re в уравнениях гидродинамики, результаты расчета показаны на рис., где линии отражают численность популяции при больших значениях j.

При с 1 популяция при увеличении j вымирает и исчезает. В области 1 с 3 численность приближается к значению х=1–(1/с), которое получается при подстановке в уравнение вместо х_j+1 и х_j их предельных значений; эта область стационарного состояния. Следующий диапазон 3 с  3,4 соответствует двум ветвям решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения, и откладывает много яиц. Но перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в следующем году до малого значения, так что период колебаний численности равен двум годам. Далее, при 3,4  с  3,54 имеем уже четыре ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64... ветвей.

Таким образом, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядоченно и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем: химических, электрических, гидродинамических, механических и т. д. В 1978 г. М. Фейнбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Движение становится апериодическим при больших значениях n, (с_j–c) порядка ^-n, где n =4,66 для всех систем. Если выбрать соседние значения х_j в 2ⁿ цикле, то разность между ними убывает с ростом n как ⁿ, где  =2,5 и тоже является универсальным.

Законы Фейгенбаума подтверждены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума (рис.).

 

 

 

 

 

Рис. Зависимость стационарной численности популяции от параметра скорости роста.

 

При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится апериодическим, поведение системы – хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных процессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.

 

1. Значение разработки “теориикатастроф” приравнивают кзначению создания интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном, так как разработанные методы позволяют быстро, наглядно и достаточно точно проводить анализ самых разнообразных явлений — от абстрактной физики до социальных явлений..

1. В окрестностях некритической точки приращение функции почти пропорционально приращению аргумента — то есть на ограниченном участке кривую зависимости интересующей нас величины от изучаемого параметра можно представить линейной зависимостью — увеличение параметра пропорционально увеличивает зависимую величину (например, увеличение зарплаты стимулирует старательность работников).

2. В окрестностях максимума или минимума (экстремума) приращение типичной функции почти пропорционально квадрату приращения аргумента. Так, небольшое увеличение параметра почти не влияет на изучаемую величину, а большое ведет к снижению.

3. Типичная плоская кривая касается прямой не более чем в двух точках (от других касаний можно избавиться “малым шевелением” кривой).

 

 

 

 

 

 

общая модель глобальных перестроек

любых систем

4. Типичная поверхность не касается прямой более чем в четырех точках. Особенными, “нетипичными” являются простые объекты — плоскость и цилиндр — поверхности, “типичные” для ранее абстрактной математики, но не для реальной жизни.

При плавном переходе от одного режима к другому необходимо временное ухудшение — это хорошо известно в социологии на примере революций и больших экономических потрясений. Однако, как будет видно ниже, возможно перейти к новому режиму без катастроф, если “обойти” точку снижения. Это возможно, так как сама приведенная выше кривая является, по существу, проекцией на плоскость трехмерной фигуры, включающей как новый, так и старый режимы. В общем случае, таким образом, для исключения катастроф следует избрать иной путь, стабилизировав исходный параметр и изменяя исследуемую величину по другому параметру — в “другом измерении”. В трехмерном пространстве существует небольшое число типичных поверхностей-моделей универсального перехода для двухпараметрических функций наиболее частые: (ласточкин хвост” и “зонтик Уитни” — универсальные поверхности, отражающие зависимость оптимальных значений от параметров; трехмерные модели для двух параметров).

5. Еще более простые картины получаются при проектировании поверхностей на плоскость. Так, в общем случае проекция представляет собой “сборку” — треугольник, или, для “нетипичной” поверхности — шара, “складку” — окружность. Граничные точки таких поверхностей являются проекциями на одну точку двух с проектируемой модели, т.е. являются “линиями катастроф”.

6. Расстояние от исчезающего локально-оптимального режима до движущейся ему навстречу локально-минимального порядка квадратного корня из отличия параметров от катастрофического значения. Этот закон описывает момент катастрофы — смену критических режимов. Видно, что в момент катастрофы оба режима — старый и новый — сближаются с бесконечной скоростью. Поэтому, в частности, трудно бороться с надвигающейся катастрофой, когда появились ее первые признаки. Лучше обойти катастрофический режим, для чего следует изменить набор параметров, вводя новый параметр и перейдя на более высокий уровень — на большую размерность.