История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-09-30 | 253 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теория катастроф (ТК) — теория особенностей гладких отображений, сформулирована на стыке топологии и математического анализа. Первые результаты качественного изучения поведения решений систем дифференциальных уравнений получены А. Пуанкаре, А.М. Ляпуновым 100 лет тому назад. Вклад в развитие их идей внесли А.А. Андронов и Л.С. Понтрягин (понятие грубости — структурной устойчивости системы). Интенсивное развитие Т.К. началось с 50-х годов после работ Р. Тома. Математически теория катастроф является обобщением исследований функций на максимумы и минимумы. Точки “особенностей” функций, где наблюдаются “катастрофы” — резкие изменения режима функционирования систем, где она перестает подчиняться линейным законам и проявляется связь с параметрами (условиями внешней среды и пр.). Некоторые выводы теории катастроф можно сформулировать в виде универсальных законов, пригодных для анализа любых явлений нашего мира.
ТК исследует динамические системы, составляющие широкий класс нелинейных систем, описываемых уравнением вида:
где xi – переменные, характеризующие состояние системы, c набор параметров задачи (управляющие параметры)
В элементарной теории катастроф рассматривается частный случай динамических систем: предполагается, что существует потенциальная функция – аналог потенциала электрического поля fi = и что система находится в состоянии равновесия (xi =0).
Задача заключается в исследовании изменений состояний равновесия xi (c) функции U(xi,c) при изменении управляющих параметров c.
Элементарная Т.К. является в известной степени обобщением задач на экстремум в математическом анализе.
В случае одной переменной поведение функции определяется невырожденными критическими точками max и min при равенстве нулю первой производной и второй производной отличается от нуля. Сама функция в окрестности невырожденной критической точки может быть приведена к виду U= подходящей гладкой (имеющей производные любого порядка) заменой переменных .
|
Аналогично в многомерном случае для критических точек, определяемых обращением в нуль первой производной и отличным от нуля аналогом второй производной, гессианом (детерминантом набора величин, det Uij 0), существует гладкая замена переменных , в результате которой в окрестности невырожденной l переменных соответствующих нулевым собственным значениям матрицы Uij являются аргументами функции катастрофы Cat (xl, c), зависящий также от управляющих параметров. Зависимость потенциальной функции от оптимальных n-1 переменных, соответствует отличными от нуля собственным значениям, представляется, как и раньше, квадратичной формой.
Функции Cat (xl, c) можно привести к определенному каноническому виду. Классификация особенностей потенциальных функций (катастроф) была проведена В. И. Арнольдом. (Удивительно, что она совпала с классификацией точечных групп первого рода, характеризующих симметрию молекул; оказалась связанной с правильными многогранниками в эвклидовом пространстве и простыми группами. причины связи не понятны)
Для одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающего 5, имеется 7 типов элементарных катастроф. Для каждого типа катастроф рассматривается поверхность, зависящая от ni переменных состояния и nx числа управляющих параметров в пространстве ni + n измерений Cat (x, c).
Поверхность простейшей катастрофы с одной переменной и одним управляющим параметром.
C>0 C=0
C<0
C
Она имеет вид складки на ткани и называется катастрофой складки. Каноническая форма Cat (x, c)= 1/х3 + сх. При с0 все кривые качественно подобны: не имеют критических точек. Кривые с0 — подобны тем, что имеют две критические точки. Точка с=0 в пространстве управляющих параметров сепаратрисой.
|
Катастрофа сборки Cat (x, a,b)= . Одна переменная состояния и две управляющих параметра.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!