VI. Закон сохранения момента импульса. Теорема штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела

6.1. Человек, стоящий на краю вращающейся горизонтальной платформы, переходит от края к центру. С какой скоростью начнет вращаться платформа, если масса ее 100 кг, масса человека 60 кг и она делала 10 об/мин. Считать платформу круглым однородным диском.

6.2. Платформа в виде диска, радиус которого 1 м и массой 200 кг, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 об/с. На краю платформы стоит человек массой 50 кг. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если человек перейдет на полметра ближе к центру.

6.3. Медный шар радиусом 10 см вращается со скоростью 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое?

6.4. Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 2 об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск.

6.5. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

6.6. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 10 об/с; его кинетическая энергия 7 кДж. За какое время вращающий момент 50 Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?

6.7. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит мяч массой m=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r=0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг·м²?

6.8. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2 м стоит человек массой m₁=80 кг. Масса m₂ платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы.

6.9. Со шкива диаметром d=0,48 м через ремень передается мощность N=9 кВт. Шкив вращается с частотой n=240 мин^-1. Сила натяжения T₁ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения T₂ ведомой ветви. Найти силы натяжения обоих ветвей ремня.

6.10. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1 м.

6.11. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длинной 1 м и высотой h=10 см?

6.12. Маховик в виде диска массой m=80 кг и радиусом R= 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу A₁ нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с^-1? Какую работу A₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

6.13. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно, и, сделав N=80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения M.

6.14. Сплошной цилиндр массой m=4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию цилиндра.

6.15. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью 5 м/с. Найти кинетические энергии тел.

6.16. Тонкий прямой стержень длинной 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол 60⁰ от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

6.17. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

6.18. Платформа в виде диска радиусом R=1 м вращается по инерции с частотой n₁=6 мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен 120 кг·м². Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

6.19. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 78 кг, причем на колеса приходится 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

6.20. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длинной 2,4 м и массой 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой 1 c^-1. С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Момент инерции человека и скамьи 6 кг·м².

6.21. Пуля массой m=10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n=3000 с^-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d=8 мм, определить полную кинетическую энергию Е пули.

6.22. Маховик с моментом инерции 40 кг·м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента сил 20 Н·м. Вращение продолжалось в течение 10 с. Определить кинетическую энергию маховика.

6.23. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром d=20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен динамометр, к другому подвесили груз P. Найти мощность мотора N, если мотор вращается с частотой n=24 с^-1, масса m груза равна 1 кг и показание динамометра F=24 Н.

6.24. Якорь мотора вращается с частотой n=1500 мин^-1. Определить вращающий момент M, если мотор развивает мощность N=500 Вт.

6.25. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча 4 Дж. Найти кинетическую энергию диска.

6.26. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой 10 с^-1. Радиус колеса равен 20 см, его масса 3 кг. Определить частоту вращения скамьи, если человек повернет стержень на угол 180⁰? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг·м². Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

VII. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ

7.1. Баллон объемом 20 литров заполнен азотом при температуре 400 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на 200 кПа. Определить массу израсходованного азота. Процесс считать изотермическим.

7.2. В баллоне объемом 15 литров находится аргон под давлением 600 кПа и температуре 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до 400 кПа, а температура установилась 260 К. Определить массу аргона, взятого из баллона.

7.3. Вычислить плотность азота, находящегося в баллоне под давлением 2 МПа и имеющего температуру 400 К.

7.4. В сосуде объемом 40 литров находится кислород при температуре 300 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.

7.5. Один баллон объемом 10 л содержит кислород под давлением 1,5 МПа, а другой баллон объемом 22 л содержит азот под давлением 0,6 МПа. Когда баллоны соединили, оба газа смешались, образовав однородную смесь. Найти парциальные давления обоих газов в смеси и полное давление смеси.

7.6. Смесь водорода и азота общей массой 290 г при температуре 600 К и давлении 2,46 МПа занимает объем 30 л. Определить массу водорода и массу азота.

7.7. В баллоне объемом 22,4 л находится водород при нормальных условиях. После того как в баллон было дополнительно введено некоторое количество гелия, давление в баллоне возросло до 0,25 МПа, а температура не изменилась. Определить массу гелия, введенного в баллон.

7.8. Смесь состоит из водорода с массовой долей 1/9 и кислорода с массовой долей 8/9. Найти плотность этой смеси при температуре 300 К и давлении 0,2 МПа.

7.9. Смесь кислорода и азота находится в сосуде под давлением 1,2 МПа. Определить парциальные давления газов, если массовая доля кислорода в смеси равна 20%.

7.10. Смесь азота с массовой долей 87,5% и водорода с массовой долей 12,5% находится в сосуде объемом 20 л при температуре 560 К. Определить давление смеси, если масса смеси равна 8 г.

7.11. Манометр на баллоне со сжатым газом при температуре 291 К показывает давление 8,4 МПа. Какое давление он будет показывать, если температура понизится до 250 К? Изменением емкости баллона вследствие охлаждения пренебречь.

7.12. Газ при давлении 99 кПа и при температуре 293 К имеет объем 164 см³. Каков объем той же массы газа при нормальных условиях?

7.13. Определить удельный объем азота при температуре 300 К и давлении 49 кПа.

7.14. Из баллона со сжатым водородом емкостью 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре 280 К манометр показывал 490 кПа. Через некоторое время при температуре 290 К манометр показал такое же давление. Сколько утекло газа?

7.15. По газопроводной трубе идет углекислый газ при давлении 390 кПа и температуре 280 К. Какова скорость движения газа в трубе, если за 10 мин. протекает 2 кг углекислого газа и если площадь сечения канала трубы 5 см²?

7.16. Предположим, что температура воздуха в атмосфере зависит от высоты таким образом, что плотность воздуха по всей толще атмосферы одинакова. На каком расстоянии по вертикали разность температур равна 1 К?

7.17. В вертикальном закрытом сверху и снизу цилиндре находится движущийся с ничтожным трением поршень. Над и под поршнем находятся одинаковые массы одного и того же газа при температуре 300 К. Вес поршня уравновешивается разностью сил давлений газа, если объем нижней части цилиндра в 3 раза меньше объема верхней части. Каково будет соотношение объемов, если температура повысится до 400 К?

7.18. Три баллона емкостью 3, 7 и 5 л наполнены соответственно кислородом (200 кПа), азотом (300 кПа) и углекислым газом (60 кПа) при одной и той же температуре. Баллоны соединяют между собой, причем образуется смесь той же температуры. Каково давление смеси?

7.19. Определить молярную массу газа, свойства которого соответствуют свойствам смеси 160 г кислорода и 120 г азота.

7.20. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 280 К и давлении 89 кПа.

7.21. Топочный газ имеет следующий состав: СО₂ – 21,4%, Н₂О – 6,8%, N₂ – 71,8%. Определить удельный объем такого газа при давлении 100 кПа и температуре 500 К.

7.22. В баллоне вместимостью V=25 л находится водород при температуре T=290 K. После того, как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dp=0,4 МПа. Определить массу m израсходованного газа.

7.23. Баллон емкостью 20 л наполнен сжатым воздухом. При температуре 293 К манометр показывает давление 12 МПа. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если вытеснение производится на глубине 30 м и температура равна 278 К? Принять, что давление столба воды высотой 10 м равно 100 кПа, давление атмосферы – 100 кПа.

7.24. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление 2 МПа и температура 800 К, в другом давление 2,5 МПа и температура 200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры 200 К. Определить установившееся в сосудах давление.

7.25. 6 г углекислого газа (СО₂) и 5 г закиси азота (N₂O) заполняют сосуд объемом 2×10^-3 м. Каково общее давление в сосуде при температуре 127°С ?

7.26. Компрессор захватывает при каждом качании 4 л воздуха при нормальном атмосферном давлении и температуре 270 К и нагнетает его в резервуар емкостью 1,5 м³, причем температура воздуха в резервуаре держится около 318 К. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы давление в резервуаре увеличилось на 200 кПа?