IV. Работа и энергия. Законы сохранения

4.1. Человек, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, и вскакивает на нее. Масса человека 60 кг. С какой скоростью станет двигаться тележка? С какой скоростью стала бы двигаться тележка, если бы человек бежал навстречу тележке?

4.2. Под действием силы в 9800 Н пружина каждого из буферов вагона сжимается на 10^-2 м. С какой скоростью двигался вагон массой 20000 кг, если при ударе о стенку обоими буферами каждый буфер сжался на 0,1 м?

4.3. Снаряд в верхней точке траектории на высоте 100 м разорвался на две части: m₁=1 кг и m₂=1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке V₀=100 м/с. Скорость большего осколка оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению с V₀ и равной 250 м/с. Определить расстояние между точками падения обоих осколков. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4.4. Сила 20 Н, действовавшая в течение короткого промежутка времени 10^-2 c на покоящееся тело, сообщила ему кинетическую энергию 3 Дж. Какую энергию сообщит эта сила тому же телу за то же время, если начальная скорость тела 10 м/с, а сила действует в направлении скорости?

4.5. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, находящейся в озере. Длина лодки 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние человек передвинется относительно дна?

4.6. Тележка, масса которой 120 кг, движется по рельсам без трения со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Скорость тележки уменьшается при этом до 5 м/с. Какова была скорость человека во время прыжка относительно Земли?

4.7. Плот массой m₁ свободно скользит по поверхности воды со скоростью V₁. На плот с берега прыгает человек массой m₂. Скорость человека перпендикулярна скорости плота и равна V₂. Определить скорость V плота с человеком.

4.8. Тело массой m₁=1 кг, движущееся горизонтально со скоростью V₁=1 м/с, догоняет второе тело массой m₂=0,5 кг и неупруго соударяется с ним. Какую скорость получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью V₂=0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью V₂=0,5 м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

4.9. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m₁=5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью V₂=1 м/с. Масса конькобежца m₂=60 кг. Определить работу A, совершенную конькобежцем при бросании гири.

4.10. С какой наименьшей высоты h должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиусом R=4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.

4.11. В лодке массой m₁=240 кг стоит человек массой m₂=60 кг. Лодка плывет со скоростью V₁=2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью V=4 м/с (относительно лодки). Найти скорость движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

4.12. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью V_о, разрывается на два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоянии L м (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок.

4.13. Платформа с песком общей массой M=2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m=8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда V=450 м/с, а ее направление - сверху вниз под углом 30^о к горизонту.

4.14. Ядро атома распадается на два осколка массами m₁=1,6·10^-25 кг и m₂=2,4·10^-25 кг. Определить кинетическую энергию E₂ второго осколка, если энергия E₁ первого осколка равна 18 нДж.

4.15. На железнодорожной платформе, движущейся со скоростью V_o=3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием M=10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m=10 кг вылетает из ствола под углом 60^о к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

4.16. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием M=15 т. Орудие стреляет вверх под углом 60^о к горизонту в направлении пути. С какой скоростью V₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m=20 кг и он вылетает со скоростью V₂=600 м/с?

4.17. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом 4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

4.18. Молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в n=3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кинетические энергии E₁ и E₂ атомов, если их суммарная кинетическая энергия E=0,032 нДж.

4.19. Шар массой m₁, летящий со скоростью V₁=5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂. Удар прямой, неупругий. Определить скорость шаров после удара, а также долю кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) m₁=2 кг, m₂=8 кг; 2) m₁=8 кг, m₂=2 кг.

4.20. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Определить отношение масс шаров.

4.21. Шар массой m₁=10 кг, движущийся со скоростью V₁=4 м/с, сталкивается с шаром массой m₂=4 кг, скорость V₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

4.22. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁ =10 г со скоростью v = 300 м/с. Затвор пистолета массой m₂ =200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

4.23. Частица массой m₁=10^-24 г имеет кинетическую энергию E₁=9 нДж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m₂=4·10^-24 г она сообщает ей кинетическую энергию E₂=5 нДж. Определить угол, на который отклонится частица от своего первоначального направления.

4.24. Пуля массой 10 г попадает в деревянный брусок массой 200 г, подвешенный на нити длиной 1 м, и застревает в нем. Определить, на какой угол отклонится маятник, если скорость пули равна 100 м/с.

4.25. Доска массой m₁ свободно скользит по поверхности льда со скоростью V₁. На доску с берега прыгает человек массой m₂. Скорость человека перпендикулярна к скорости доски и равна V₂. Определить скорость V доски с человеком.

4.26. Автомобиль массой 2000 кг трогается с места и идет в гору, наклон которой 10°. Пройдя расстояние 100 м, он развивает скорость 32,4 км/ч. Коэффициент трения 0,05. Определить среднюю мощность, развиваемую двигателем автомобиля.