Статистическая обработка результатов прямых измерений.

Пусть проведена серия измерений величины x с общим числом измерений n. Допустим, что систематическая ошибка отсутствует.

Тогда результат отдельных измерений x_i расположатся вблизи неизвестного истинного значения X так, что отклонения от X в сторону больших и меньших значений будут равновероятны. При этом, как показывает математическая статистика, наилучшим приближением к истинному значению является среднее арифметическое отдельных измерений:

=

Насколько среднее близко к истинному X зависит, главным образом, от числа измерений и точности каждого измерения.

Результат измерения принято указывать в виде доверительного интервала:

или

 

Доверительный интервал – это интервал значений измеряемой величины, в пределах которого с определённой вероятностью истинное значение X. Для доверительного интервала обязательно указывают количественную характеристику его доверительности – доверительную вероятность α. Это вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится внутри доверительного интервала.

Пусть результат измерений, например, концентрации раствора записан в виде: x = (0,25 ± 0,02) моль/л с доверительной вероятностью (надёжностью) результат α = 0,95. Это означает, что при проведении серии измерений объёмом n = 100 раз примерно в α · n = 0,95 · 100 = 95 раз случаев результаты измерения окажутся в пределах интервала от 0,23 моль/л, а в остальных 5 случаев выйдут за пределы доверительного интервала.

 

Известно несколько способов определения доверительного интервала по данным серии измерений. Ниже описан способ определения доверительного интервала для случая нормального распределения ошибок при небольшом числе параллельных измерений (n ≤ 20).

Пример: Найти доверительный интервал, если проведено три определения концентрации раствора.

Заполним таблицу:

№	(Сн)	среднее значение измеряемой величины	ошибка результата единичного определения
	0,142	0,1416	0,0004	0,16·10-6
	0,140	-0,0016	2,56·10-6
	0,143	0,0014	1,96·10-6

Затем по формуле:

рассчитывают значение выборочной дисперсии.

 

Полученное значение используют в расчёте среднеквадратичной ошибки (стандартного отклонения ) S_X:

S_X = =1,53·10^-3

Доверительный интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины, имеет вид:

±

t_α – коэффициент распределения Стьюдента, который имеет различные значения в зависимости от доверительной вероятности α и числа n (число паралельных измерений). Коэффициент распределения Стьюдента представлен в таблице 3.

 

 

Таблица 3

Коэффициент распределения Стьюдента

α	n
0,50 0,95	1,00 12,7	0,82 4,3	0,77 3,2	0,74 2,8	0,73 2,6	0,71 2,3	0,70 2,1

 

В записи результата измерений кроме среднего арифметического измеряемой величины и доверительного интервала с указанием доверительной вероятности необходимо также приводить число параллельных измерений n. Среднее значение округляют так, чтобы его последняя цифра соответствовала по разряду значащей цифре ошибки, например:

Правильно:

С_н(H₂SO₄) = (0,105 ± 0,003) моль/л; n = 3; α = 0,95.

Неправильно:

С_н(H₂SO₄) = (0,1053 ± 0,0032) моль/л; n = 3; α = 0,95.

С_н(H₂SO₄) = (0,1053 ± 0,003) моль/л; n = 3; α = 0,95.

Находим:

Доверительный интервал: α=0,1416±0,0047

Лабораторная работа № 4