Лабораторная работа № 14. Матричные вычисления

Цель и задачи работы

Цель работы заключается в исследовании особенности использования матричных вычислений, основные приемы и методы обработки матриц.

К задачам работы относится изучение задания матриц и операций на ними.

 

Общие положения

Матричные вычисления в MathCAD можно условно разделить на три основных типа: действия над матрицами (умножение, сложение или скалярное произведение), матричные преобразования (функция вычисления матричных норм или сортировка элементов векторов), и матричные вычисления с использованием приемов программирования.

Для задания матриц можно использовать несколько способов:

1. Задание матриц через использование меню Вставка/ Матрица или панель инструментов матрица. В появившемся окне указывается количество строк и столбов, а затем в появившемся шаблоне вводятся значение элементов матрицы. Чтобы определить значение какого-то матричного элемента, нужно ввести имя матрицы с соответствующими индексами (номер строки и столбца, на пересечении которых находится элемент) и поставить «=» (или «->»).Для задания индексов на панели Матрица имеется специальная кнопка Нижний индекс. В него через запятую нужно ввести значение индексов. Матричные индексы в MathCAD по умолчанию отсчитываются с 0. Чтобы изменить отсчет нужно открыть окно Math Option (меню Математика/ Опции) и на вкладке Встроенные переменные внести изменения в величину параметра Origin (точка отсчета).

2. Определение матрицы последовательным заданием каждого элемента. В этом случае сначала задаются отдельные элементы матрицы со знаком:=, а затем использовать панель Матрица/Вставить матрицу.

3. Задание матрицы с использованием ранжированных переменных.

В этом случае нужно знать каким выражением связать индексы и величины ее элементов. Для начала нужно ввести имя переменной (имя индексов верхнего и нижнего) и оператор присваивания. Затем выбрать команду Диапазон переменных панели Матрицы и ввести диапазон значений элементов матрицы (количество элементов по строкам и столбцам). После всего ниже ввести имя матрицы со знаком «=».

4. Задание матрицы в виде таблицы. Для этого нужно использовать меню Вставка/Компонент и выбрать из списка строку Input table. В появившемся шаблоне нужно ввести имя матрицы, а в ячейки ввести значения элементов матрицы. После ввода ниже ввести имя матрицы со знаком «=».

В MathCAD можно установить тип отображения матриц. Если нужно матрицу представить в виде обычной матрицы или в виде таблицы, то выбирается пункт меню Формат / Результат и вкладка Опции отображения окна Формат результата. В этом окне надо выбрать наиболее подходящий тип отображения и нажать Ок.

Операции с матрицами.

Для реализации действий над матрицами служат операторы двух рабочих панелей: Калькулятор и Матрица.

К матрице можно прибавлять (или отнимать) любое число. В результате получается матрица, соизмеримая исходной. Эту операцию можно производить и символьными числами, но при этом вместо знака «=» используется оператор символьного вывода «->».

Матрицу можно умножать (делить) на скаляр или выражение. Скаляр можно представить в виде буквы или в виде выражения. Однако при этом надо правильно выбрать оператор вывода.

Для сложения или вычитания матриц используются символы «+» и «-«, которые помещаются между соответствующими матрицами (или именами матриц). К каждому элементу первой матрицы прибавляется (вычитается) элемент второй матрицы. Результатом будет третья матрица, элементы которой являются суммой (разностью) соответствующих элементов суммируемых (вычитаемых) матриц.

Матричное умножение выполняется следующим образом: все элементы первой строки (нулевой, если отсчет начинается с нуля) первой матрицы умножаются на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы. Полученное значение определяется как первый элемент первой строки матрицы – результат. И так далее – до тех пор, пока не будут перемножены все строки. Так при умножении матрицы размерностью NxM на матрицу размерностью MxK будет получена матрица размерностью NxK. Умножение возможно только в том случае, если количество строк первой матрицы равно количеству столбцов второй матрицы. Перемножить матрицы можно либо используя клавишу *, или при помощи команды Умножение панели Матрица. Перемножить матрицы можно и в том случае, когда элементы представлены символами или выражением.

Транспонирование матриц (операция, переводящая матрицу размерностью MxN в матрицу размерностью NxM) осуществляется с помощью команды Транспонировать панели инструментов Матрица. Транспонирование можно провести и для матриц, элементы которой представлены символически.

 

Задание на работу

Изучить теоретические положения, алгоритмы выполнения матричных вычислений и самостоятельно выполнить задание (умножение, деление, сложение, вычитание матрицы с скаляром, умножение или сложение матриц, транспонирование матриц) в соответствии с вариантом.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Порядок выполнения работы

Представить системы уравнений в виде матриц и выполнить операций над матрицами.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА)

 

Цель и задачи работы

Цель работы заключается в исследовании метод решения задач линейного программирования на примере транспортной задачи с использованием MathCAD..

К задачам работы относится изучение семантического аппарата MathCAD при решении задач линейного программирования.

 

Общие положения

Разновидностью задача линейного программирования являются транспортные задачи. Примерами таких задач можно назвать такие как: назначение людей на работы, распределение ресурсов, составление графика движения грузов и т.д.

Решение таких задач рассмотрим на следующем примере.

Допустим, требуется транспортировать груз одного вида (песок, щебень), находящийся у двух поставщиков А₁ и А₂ в три пункта назначения В₁, В₂ и В₃. Стоимость транспортировки обозначим С₁₁, С₁₂, С₁₃, С₂₁, С₂₂, С₂₃. У каждого поставщика есть некоторый запас груза Р₁, Р₂. Каждый потребитель характеризуется своим спросом на товары, который будем называть заявкой З₁, З₂, З₃. Требуется определить, какое количество груза х₁₁, х₁₂, х₁₃ (число единиц груза, который 1-ый поставщик должен отправить 1, 2 и 3 потребителям), х₂₁, х₂₂, х₂₃ (число единиц груза, который 2-ой поставщик должен отправить 1, 2 и 3 потребителям) следует отправить от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальны.

Условие задачи сведем в таблицу.

Поставщик	Потребитель	Запасы
А	В1	В2	В3	Р
А1	С11 Х11	С12 Х12	С13 Х13	Р1
А2	С21 Х21	С22 Х22	С23 Х23	Р2
Заявки	З1	З2	З3	SЗ

 

Суммируя переменные по строкам можно записать:

Для 1-го поставщика

Для 2-го поставщика

Суммируя по столбцам, получим уравнение для потребителей

Объединяя условия для поставщиков и потребителей систему из пяти уравнений и шести неизвестных.

На основе этих данных составим математическую модель транспортной задачи: для случая, когда сумма запасов равна сумме заявок

где i – номер поставщика; j – номер потребителя; - стоимость транспортируемого груза от i-го поставщика j-му потребителю; - запасы i-го поставщика; - заявка j-го потребителя.

Такая транспортная задача, в которой сумма всех запасов равна сумме всех заявок, называют сбалансированной. Если же нет равенства запасов и заявок, то задача является несбалансированной и ее математическая модель будет иметь вид:

С помощью таких моделей можно решать не только задачи перевозки грузов, назначения людей на работы, но и задачи в которых надо распределить различные ресурсов (финансовые, материальные и др.)

Рассмотрим решение таких задач:

1. Составляется таблица, в которой неотрицательные переменные размещаются таким образом, чтобы суммы по строкам и столбцам совпадали с указанными правыми частями ограничений.

2. Применяя правило "самая дешевая продукция реализуется первой" находят наименьший коэффициент и заменяют его на значение заявки (строка) или запаса (столбца) в зависимости от того, где значение меньше.

3. Затем столбец или строку вычеркивают, уменьшая значение запасов ил резервов на значение в клетке.

4. Процедура повторяется к оставшимся клеткам, до тех пор пока значения по всем строкам и столбцам будет равна 0 (в случае сбалансированной задачи).

В результате решения получаем значения m+n-1 переменных. Подставляя значения этих переменных в целевую функцию получим оптимальное значение.

 

 

Задание на работу

Изучить теоретические положения, алгоритм решения транспортной задачи и самостоятельно выполнить задание в соответствии с вариантом.

Варианты задания.

Составить математическую модель для решения транспортной задачи и решить ее:

Вариант 1.

Фирма должна отправить некоторое количество изделий с трех складов пяти потребителям. На складах имеется соответственно 15, 25, 20 тыс. шт. изделий, а для потребителей требуется соответственно 20, 12, 5, 8, 12 тыс. шт. изделий. Стоимость перевозки одной тысячи шт. со склада потребителю приведена в таблице. Как следует спланировать перевозку изделий для минимизации стоимости.

Склад	Потребитель
С1
С2
С3

Вариант 2.

Сталеплавильная компания располагает тремя заводами, способными произвести за некоторый промежуток времени 50, 30, 20 тыс. тон стали соответственно. Свою продукцию компания поставляет четырем потребителям, потребности которых составляют 12, 15, 25, 36 тыс. т стали соответственно. Стоимость производства и транспортировки 1 тыс. т стали с различных заводов различным потребителям приведены в таблице:

Определите минимальную общую стоимость, объемы производства на каждом заводе и планы перевозок.

 

 

Потребитель	Завод
М1	М2	М3
С1
С2
С3
С4

 

Вариант 3.

Компания владеет тремя фабриками, способными произвести 50, 25, 5 тыс. изделий ежедневно. Она заключила договора с четырьмя заказчиками, которым требуется ежедневно 15, 20, 20, 30 тыс. изделий. Стоимость производства и транспортировки 1 тыс. изделий заказчикам с фабрик приведены в таблице. Определить минимальную общую стоимость, объемы производства и распределения для каждой фабрики.

Фабрика	Заказчик
С1	С2	С3	С4
F1
F2
F3

 

Вариант 4.

Компания владеет двумя фабриками, производящими электронное оборудование. Фабрики в течение некоторого периода выпускает 16 и 12 тыс. изделий соответственно. Компания снабжает трех потребителей, потребности которых в течении одного и того же периода составляют соответственно 10, 13, 7 тыс. изделий. Стоимости перевозок 1 тыс. изделий потребителю с фабрик приведены в таблице. Требуется найти оптимальный план производства и распределения.

 

Фабрики	Потребитель
С1	С2	С3
F1
F2

 

Вариант5.

Фирма предложила владельцам трех авиалиний перевозить бригады специалистов в различные части света. Стоимость перевозок приведена в таблице. Администрация фирмы решила, что индивидуальные контракты на перевозку будут заключаться с владельцами I, II, III в отношении 2:3:2 и уведомила об этом управляющего транспортными перевозками, а также известила его о том, что из 70 намеченных на следующий год перевозок 10 - в Сидней, 15 - в Калькутту, 20 - в Бейрут, 10 - в Даллас, 15 - в Сан-Паулу. Требуется найти распределение индивидуальных контрактов на перевозки для минимизации общей стоимости при условии удовлетворения запросов администрации фирмы.

Авиалиния	Города
Сидней	Калькутта	Бейрут	Даллас	Сан-Паулу
I
II
III

 

Вариант 6.

Четыре сталелитейных завода производят еженедельно 950, 300, 1350, 450 т стали определенного сорта. Стальные болванки должны быть переданы пяти потребителям, еженедельные запросы которых составляют соответственно 250, 1000, 700, 650, 450 т стали. Стоимость транспортировки от заводов к потребителям в тоннах приведена в таблице. Какой нужно составить план распределения стальных болванок, чтобы минимизировать общую стоимость.

Завод	Потребитель
I
II
III
IV

 

Вариант 7.

Компания владеет тремя заводами. Соответствующие стоимости производства равны 26, 23, 22 на единицу, объем производства 6000, 3000, 3000 единиц. Компания обязалась поставлять соответственно 1500, 2500, 2700, 3300 единиц в четыре города. При заданных стоимостях перевозок (см. таблицу) составьте оптимальные планы производства и распределения.

Город	Стоимость транспортировки
С1	С2	С3
G1
G2
G3
G4

 

Вариант 8.

Некоторый продукт производится на двух заводах и распределяется между двумя пользователями. Их потребности на ближайшие два месяца, стоимость производства единицы продукта и объем производства по плану за два месяца, стоимость транспортировки продукта с заводов потребителям приведены в таблице. Требуются оптимальные планы производства и распределения.

 

 

Пользователь	Потребитель
Август	Сентябрь

 

Завод	Пользователь
Август	Сентябрь	Август	Сентябрь
		3,6
	3,2	2,9

 

Завод	Пользователь

 

Вариант 9.

С 4 складов необходимо отправить 6-ти потребителям груз. Запас груза на 1-ом складе - 9 единиц, на 2-ом - 14 единиц, на 3-ем - 16 единиц, на 4-ом - 11. Первому потребителю требуется 6 единиц груза, 2-му - 4 единицы, 3-му - 10 единиц, 4-му - 13 единиц, 5-му 7 единиц, 6-му - 10 единиц. Стоимость транспортировки сведена в таблицу. Требуется так распределить груз, чтобы суммарные транспортные расходы были минимальны.

 

Порядок выполнения работы

Рассмотрим конкретный пример:

Поставщик	Потребитель	Запасы
Заявки

Математическая модель будет следующего вида:

искомых переменных будет 2=3-1=4

В результате получим следующие оптимальные значения переменных

а искомое значение стоимости перевозки:

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет оформляется на листах формата А4 (297х210 мм) без рамки. Текст размещается на одной стороне листа. На листе оставляют поля: слева - 30 мм, справа - 10 мм, сверху - 15 мм, снизу -20 мм. На странице должно быть не менее 30 строк. Начиная со второ­го, все листы нумеруют в правом нижнем углу арабскими цифрами без дополнительных зна­ков. На титульном листе номер не ставят. Иллюстрации и приложения также должны быть пронумерованы.

Обязательные элементы записки должны распола­гаться в такой последовательности:

а) титульный лист;

б) название лабораторной работы;

в) цель и задачи работы;

г) задание на работу;

д) результаты выполнения работы.