Сопротивление материалов. Физико-механические свойства материалов. Внешние и внутренние силовые факторы. Деформации.

Лекция 5 Основные понятия сопротивления материалов

Вопросы, рассматриваемые на лекции:

Сопротивление материалов. Физико-механические свойства материалов. Внешние и внутренние силовые факторы. Деформации.

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

Понятие о сложном деформированном состоянии

Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Напряжения и деформации при растяжении-сжатии

6. Закон Гука.

7. Закон Пуассона.

Изгиб прямого бруса

Сопротивление материалов

«Сопротивление материалов» - это раздел «Технической механики», в котором излагаются теоретико-экспериментальные основы и методы расчетов наиболее распространенных элементов конструкции на прочность, жёсткость и устойчивость.

Деформацией называют изменение размеров тела под действием внешних сил. Если тело изменяет линейный размер без изменения поперечного сечения, то говорят о продольной деформации. Если под действием сил меняется площадь поперечного сечения (изменяются размеры тела в поперечном сечении), то деформация – поперечная. При изменении прямолинейности оси тела возникает деформация изгиба. Если продольные образующие тела под действием внешних нагрузок получают какой-то угол скручивания относительно исходного состояния, то возникает деформация кручения (рис. 1). Различают абсолютную δ и относительную ε = δ / L деформации, где L – размер тела до деформации.

Отношение величины действующей на тело в данном сечении силы F к его площади Р называется напряжением: σ = F / Р. Различают нормальные (действуют перпендикулярно сечению) и касательные (действуют в плоскости сечения) напряжения. Величины деформаций и действующих сил связаны между собой законом Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

Для любых малых объемов тела при растяжении и сжатии закон Гука имеет вид: σ = Еε. Здесь Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга), зависящий от физико-механических свойств материала.

 

F F L δ	F δ
a	б
F F γ φ	F y
в	г

Рис. 1 Деформации прямого бруса: продольная (а), поперечная (б), кручения (в), изгиба (г)

 

В сопротивлении материалов для упрощения расчетов применяют модель идеализированного деформируемого тела, которая основывается на следующих гипотезах и допущениях

1. Гипотеза сплошности и однородности — материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.

2. Гипотеза об изотропности материала — физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.

3. Гипотеза об идеальной упругости материала — тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.

4. Гипотеза (допущение) о малости деформаций — деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.

5. Допущение о справедливости закона Гука — перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.

6. Принцип независимости действия сил — принцип суперпозиции; результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.

7. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях — поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.

8. Принцип Сен-Венана — в сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.

Закон Гука

До тех пор, пока напряжения в теле не превышают предела пропорциональности, между напряжением и деформацией имеет место линейная зависимость, представляющая собой закон Гука:

 

σ = Еε, (1)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга);

ε – относительная деформация.

Поскольку σ =N / F, а ε = Δl / l, то из выражения (1) следует, что:

Δl = N l / E F (2)

Произведение E F представляет собой жесткость поперечного сечения при растяжении.

В общем случае стержня переменного сечения (рис. 6) выражение (2) может быть представлено в интегральной форме:

 

 

P

Рис. 6 Растяжение стержня переменного сечения

 

 

Закон Пуассона

 

Опытным путем установлено, что при простом растяжении-сжатии отношение величины поперечной деформации продольной есть величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по модулю, представляет собой коэффициент Пуассона:

 

 

где ε’ и ε – поперечная и продольная деформации (соответственно).

Коэффициент Пуассона изменяется в пределах от 0 для пробки до 0,5 для каучука и наряду с модулем Юнга является одной из важнейших механических характеристик материалов.

 

Изгиб прямого бруса

Деформация изгиба характеризуется тем, что геометрическая ось бруса (стержня) искривляется под действием поперечной (изгибающей) нагрузки (рис. 7). Изгибающая нагрузка делится на сосредоточенные силу Р [H] и момент М [Hм], распределенные силу q [Н/м] и момент m [Н.м/м]. Брус или стержень, работающий на изгиб, называют балкой, а ее изогнутую ось – упругой линией. Наибольшая изгибная деформация балки называется прогибом У.

Рис. 7 Схема действия изгибающих нагрузок на балку

 

Изгиб делится на прямой, происходящий под влиянием нагрузки, плоскость действия которой проходит через центральную ось балки и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, и косой, когда плоскость действия нагрузки проходит через геометрическую ось балки, но не совпадает ни с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения (рис. 8).

В процессе изгиба ближайшие к нагрузке волокна балки оказываются сжатыми, а наиболее удаленные – растянутыми. Граница между сжатыми и растянутыми волокнами представляет собой слой, который искривляется не растягиваясь и не сжимаясь. Этот слой называется нейтральным. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нулевой или нейтральной линией.

Балки закрепляют несколькими способами, от которых зависит жесткость заделки и количество реакций в опорах (рис. 9).

 

 

 

а б в

Рис. 8 Прямой (а) и (б) и косой (в) изгиб балки

R R

H H

M M

a б

 

R R

M H

 

в г

 

R

 

 

 

д

 

Рис. 9 Виды закрепления балок:

- жесткая неподвижная заделка (а) и (б)

- жесткая подвижная заделка (в)

- шарнирная неподвижная опора (г)

- шарнирная подвижная опора (д)

 

 

Лекция 5 Основные понятия сопротивления материалов

Вопросы, рассматриваемые на лекции:

Сопротивление материалов. Физико-механические свойства материалов. Внешние и внутренние силовые факторы. Деформации.