Алгоритм БПФ с прореживанием по времени

Чтобы достичь существенного улучшения эффективности необходимо разложить вычисления ДПФ на набор ДПФ меньшего порядка. Алгоритмы, в которых это разложение основано на разложении последовательности на меньшие подпоследовательности, называются алгоритмами с прореживанием по времени.

Рассмотрим частный случай . , . Разделим на четные и нечетные точки: , или, заменяя индексы суммирования на при четном n и при нечетном, получим = , т.к. , то

=

(1.54)

 

Каждая из сумм является N/2 точечным ДПФ. Первая сумма N/2 точечное ДПФ четных точек исходных последовательностей, а вторая – N/2 точечное ДПФ нечетных точек исходных последовательностей. Хотя индекс k простирается на N значений, k=0,1,…,N-1, каждая из сумм требует вычислений только для k от 0 до N/2-1, т.к. G(k) и H(k) периодичны по k с периодом N/2.

После того, как ДПФ, соответствующие двум суммам в (1.54), вычислены, они объединяются и дают N-точечное ДПФ .

Рис. 1.4. Разложение 8-точечного ДПФ

 

 

Рис. 1.5.
Разложение 4-точечного ДПФ.

 

Рис. 1.6. 2-х точечное ДПФ.

 

Проведя разложение максимально возможное число раз, получим общее число комплексных умножений и сложений, равное .

Вычисления с замещением

Направленный граф для полного разложения восьмиточечного ДПФ в алгоритме с прореживанием по времени изображен на Рис. 1.7. На каждой ступени вычислений происходит преобразование множества из N комплексных чисел в другое множество из N комплексных чисел. Этот процесс повторяется раз, определяя в результате дискретное преобразование Фурье. Обозначим последовательность комплексных чисел, получающихся на m-ой ступени вычисления, через , где = и m=1,2,… . Можно считать входным массивом, а выходным массивом на m+1 ступени вычислений. Таким образом, для случая N=8:

; ; ;

; ; ;

Основным вычислением на графе является вычисление по схеме «бабочка» Рис. 1.8.

 

Рис. 1.7. Схема 8-точечного БПФ.

Рис. 1.8.

 

Рис. 1.9.

 

Уравнение, соответствующее этому графу, имеет вид:

(1.55)

Учитывая, что , получаем:

 

(1.56)

Следовательно, так как имеются N/2 бабочек вида (1.56) на каждую ступень и ступеней, общее требуемое число умножений . Ясно, что для вычисления элементов p и q m+1-го массива требуются комплексные числа, расположенные на местах p и q m-го массива. Поэтому реально необходим только один комплексный массив из N элементов.

Чтобы вычисления выполнялись так, как сказано выше, входные данные должны быть записаны в необычном порядке, который называется двоичной инверсией.

Если (n0,n1,n2) – двоичное представление номеров последовательности , то элемент последовательности x(n2n1n0) запоминается в массиве на месте X(n0n1n2).

; ; ;

; ; ;

; .

Объяснить этот факт можно с помощью следующей схемы:

Рис. 1.10.
Двоичная инверсия.

 

int math_inverse_bits(int value, int bits) // инвертируем биты для преобразования Фурье {   int result = 0; int mask = 1 << (bits-1);   for (int i=0; i<bits; i++) {   if (value & mask) result |= 1 << i;   mask = mask >> 1;   }   return (result);   }   BOOL math_fft(double* dbl_array, int* nSize) {   // определяем длину для преобразования фурье int tmp_size = *nSize; for(int M=0; tmp_size>1; tmp_size/=2,M++);   int fft_size = 1 << M; // 1<<M == 2^M   // подготавливаем массив std::complex<double>* fft_array = new std::complex<double>[ fft_size ]; ASSERT(fft_array);   // устанавливаем порядок для fft for (int i=0; i<fft_size; i++) { fft_array[ math_inverse_bits(i,M) ] = std::complex<double>(dbl_array[ i ],0.0); }   double pi = 3.141592653589793;   // M этапов for (int l=0; l<M; l++) {   int le = 1 << (l+1); // le - смещение между бабочками int le1 = le >> 1; // le1 - размер бабочки std::complex<double> U (1.0, 0.0); std::complex<double> W (cos(pi / le1), sin(pi / le1));   for (int j=0; j<le1; j++) { for (int i=j; i<fft_size; i+=le) { int ip = i + le1; std::complex<double> T = fft_array[ ip ] * U; fft_array [ ip ] = fft_array[ i ] - T; fft_array [ i ] = fft_array[ i ] + T; }   U *= W;   }   }   for (i=0; i<fft_size / 2; i++) { dbl_array[ i ] = std::abs(fft_array[ i ]); }   *nSize = fft_size / 2;   delete[] fft_array; fft_array = NULL;   return (TRUE);   }

Рис. 1.11. Пример программы БПФ на языке C++.