Классическая и неклассическая логика

Не успела в начале ХХ в. классическая математическая логика сложиться и окрепнуть, как началась энергичная ее критика. Эта критика велась с разных направлений. Результатом ее явилось возникновение целого ряда новых разделов современной логики, составивших в совокупности неклассическую логику. В ряде случаев оказалось, что реализованные при этом идеи активно обсуждались еще в античной и средневековой логике, но были основательно забыты в Новое время.

Несмотря на свои очевидные недостатки, классическая логика высказываний и логика предикатов остаются тем не менее ядром современной логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость. Явившись тем образцом, от которого отталкивались разнообразные неклассические системы, классическая логика, как правило, оказывается в определенном смысле предельным и притом наиболее простым случаем последних. Многие из них могут быть представлены как расширения классической логики, обогащающие ее выразительные средства.

Неклассическая логика представляет собой совокупность достаточно разнородных логических теорий, возникших в известной оппозиции к классической логике и являющихся во многом не только критикой последней и попыткой ее усовершенствования, но также ее дополнением и дальнейшим развитием идей, лежащих в основе современной логики.

В 1908 г. голландский математик Л. Брауэр подверг сомнению неограниченную применимость в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства. Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г.

учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов.

Еще в 1912 г. американский логик К. И. Льюис обратил внимание на так называемые «парадоксы импликации», характерные для формального аналога условного высказывания в классической логике — материальной импликации. В дальнейшем Льюис разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие строгой импликации, определявшееся в терминах логической невозможности.

К настоящему времени предложен целый ряд теорий, претендующих на более адекватное, чем даваемое классической логикой описание логического следования и условной связи. Наибольшую известность из них получила релевантная логика, развитая А. Р. Андерсоном и Н. Д. Белнапом.

На рубеже 20­х гг. Льюисом и Я. Лукасевичем были построены первые модальные логики, рассматривающие понятия необходимости, возможности, случайности и т. п. Тем самым в современной логике была возрождена тема модальностей, которой активно занимались еще Аристотель и средневековые логики.

В 20­е гг. начали складываться также многозначная логика, предполагающая, что утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинностные значения; деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных высказываний; логика абсолютных оценок, исследующая логическую структуру и логические связи оценочных высказываний; вероятностная логика, попытавшаяся, но безуспешно, использовать теорию вероятностей для анализа индуктивных рассуждений, и др.

Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные, социальные и гуманитарные науки.

В дальнейшем сложились и нашли интересное применение логика времени, описывающая логические связи высказываний, у которых временно´й параметр включается в логическую форму; паранепротиворечивая логика, не позволяющая выводить из противоречий все, что угодно; эпистемическая логика, изучающая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т. п.; логика предпочтений, имеющая дело с высказываниями, содержащими понятия «лучше», «хуже», «равноценно»; логика абсолютных оценок, описывающая логические связи высказываний с абсолютными оценочными понятиями «хорошо», «плохо» и «безразлично»; логика изменения, говорящая об изменении и становлении; логика причинности, изучающая логические связи утверждений о причинности, и др.

Экстенсивный рост логики не завершился и сейчас.

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

Глава

Модальные понятия

Непосредственным результатом революции, произошедшей в логике в конце ХIХ — начале ХХ в., было возникновение теории, получившей со временем название «классическая логика». В ней впервые была реализована идея перенесения в логику тех методов, которые обычно применяются в математике, и прежде всего методов символизации, аксиоматизации и формализации.

Классическая логика является, таким образом, исторически первым этапом в развитии современной логики.

Классическая логика ориентировалась главным образом на анализ математических рассуждений. С этим связаны некоторые ее особенности, нередко оценивающиеся теперь как ее недостатки. В процессе развития она оказалась одной из многих логических теорий. Но это не означает, что ей принадлежит теперь только исторический интерес. Классическая логика по­прежнему остается ядром современной логики, сохраняющим как теоретическую, так и практическую ценность.

Разнообразные направления в логике, возникшие позднее, составляют то довольно неопределенное и разнородное целое, которое получило название неклассическая логика.

Различие между классическими и неклассическими логическими системами не сводится к чисто историческим моментам. Вторыми принимается во внимание, как правило, большее число факторов, определяющих логическую форму рассуждений. Результатом этого являются теории, дающие более полное и детализированное описание процессов мышления.

В числе неклассических логических теорий — интуиционистская логика, многозначная логика, модальная логика и др. Далее рассматривается только модальная логика.

Модальные высказывания — это высказывания, в которые входят модальные понятия, или модальности (от лат. modus — мера, образ, способ).

Модальная логика — раздел современной (неклассической) логики, занимающийся рассуждениями, в которые входят модальные высказывания.

Примеры модальных понятий: «возможно», «необходимо», «случайно», «убежден», «знает», «полагает», «обязательно», «разрешено», «запрещено», «хорошо», «безразлично», «плохо», «лучше», «хуже» и др.

Никакого точного и полного перечня модальных понятий не существует. Их круг широк, в языке они могут выражаться в разных контекстах разными словами.

Для логики, имеющей дело только с немодальными высказываниями, вещь существует или не существует, и нет никаких иных вариантов. Но как в обычной жизни, так и в науке постоянно приходится говорить не только о том, что есть в действительности и чего нет, но и о том, что должно быть или не должно быть, может быть или не может быть, чему хорошо быть, а чему плохо быть и т. д.

Действительный ход событий, в котором есть только «да» и «нет», можно рассматривать как реализацию одной из многих мыслимых возможностей, а действительный мир, в котором мы находимся, — как один из бесчисленного множества возможных, постепенно реализующихся миров.

Русский логик Н. А. Васильев, писавший также стихи, так выразил эту мысль:

«…В возможного безбрежном океане

Действительное — маленький Гольфстрим».

Язык немодальных высказываний слишком беден, чтобы на нем удалось передать рассуждения не только о реальных событиях (имеющих место в действительном мире), но и о возможных событиях (происходящих в каких­то возможных мирах) или о необходимых событиях (наступающих во всех таких мирах). На этом языке невозможно говорить об обязательном и разрешенном, доказанном или только предполагаемом, хорошем или безразличном и т. д.

Стремление обогатить язык логики и расширить ее выразительные возможности привело к возникновению модальной логики.

Еще Аристотель начал изучение таких наиболее часто встречающихся модальных понятий, как «необходимо», «возможно», «случайно». В Средние века круг модальностей был существенно расширен, и в него вошли также «знает», «полагает», «было», «будет», «обязательно», «разрешено» и др. В XX в., когда модальная логика начала развиваться особенно бурно, к числу модальных понятий были отнесены «доказуемо», «опровержимо», «лучше», «хуже», «безразлично», «убежден», «сомневается», «отвергает» и пр.

В принципе число групп модальных понятий и выражаемых ими точек зрения не ограничено. Современная логика выделяет наиболее важные из этих групп и делает их предметом специального исследования. Она

Модальные понятия

изучает также общие принципы модальной оценки, справедливые для всех групп модальных понятий.

Таким образом, модальные понятия, или модальности, служат для оценки высказываний, данной с той или иной точки зрения.

К модальным высказываниям относятся все высказывания, содержащие хотя бы одно из модальных понятий.

Модальные понятия, как нетрудно заметить, очень различаются по своему содержанию. Казалось бы, что есть общего между понятиями «доказуемо» и «хорошо», «убежден» и «обязательно»?

Общей для всех модальных понятий является та роль, какую они играют в высказываниях. С помощью данных понятий конкретизируется фиксируемая в высказывании связь, уточняется ее характер.

Возьмем, для примера, высказывание «Преступник всегда оставляет следы». Оно допускает двоякое уточнение: количественное и качественное. Можно воспользоваться какими­то из слов «все», «некоторые», «большинство» и т. п. и уточнить, обо всех преступниках идет речь или же только о некоторых. Это будет количественная конкретизация высказывания. Можно также попытаться уточнить качественный характер установленной в нем связи. Для этого используются модальные понятия. Результатом их применения будут высказывания: «Предполагается, что преступники всегда оставляют следы», «Доказано, что преступники всегда оставляют следы», «Возможно, что преступники всегда оставляют следы» и т. п.

Модальные понятия — понятия, конкретизирующие качественный характер связи, установленной в высказывании.

Каждая группа модальных понятий дает характеристику устанавливаемой в высказывании связи с некоторой единой точки зрения.

Так, для теоретико-познавательной конкретизации утверждений используются понятия «доказуемо», «опровержимо» и «неразрешимо», для нормативной — понятия «обязательно», «разрешено» и «запрещено», для оценочной — понятия «хорошо», «плохо» и «безразлично» или понятия «лучше», «хуже» и «равноценно».

Модальная логика исследует наиболее интересные из групп модальных понятий и распространяет затем полученные результаты на другие их группы.

Еще раз подчеркнем, что модальные понятия разных групп выполняют одну и ту же функцию: уточняют устанавливаемую в высказывании связь, конкретизируют ее. Правила их употребления определяются преимущественно этой функцией и не зависят от содержания включающих их высказываний. Поэтому данные правила являются сходными для всех групп понятий и имеют формальный характер. По своим логическим характеристикам понятие «обязательно» мало чем отличается от понятия «убежден», «нормативно безразлично» — от «случайно».

Логическая необходимость

Остановимся вкратце на логических и физических модальностях, а также на модальностях, связанных с ценностями.

К логическим модальным понятиям относятся «(логически) необходимо», «(логически) возможно», «(логически) невозможно» и «(логически) случайно».

Логическая необходимость — характеристика высказывания, отрицание которого представляет собой логическое противоречие.

Логически необходимым являются, в частности, высказывание «Неверно, что неон — инертный газ и вместе с тем не инертный газ», поскольку отрицание этого высказывания («Неон — инертный газ и неон не является инертным газом») внутренне противоречиво (оно представляет собой отрицание закона противоречия). Логически необходимо высказывание «Трава зеленая или она не зеленая», так как его отрицание («Неверно, что трава зеленая или она не зеленая») противоречиво (отрицание закона исключенного третьего). Логически необходимым является также высказывание «Все холостяки не женаты», поскольку его отрицание («Есть холостяки, являющиеся женатыми») противоречиво.

Истинность логически необходимого высказывания может быть установлена независимо от опыта, на основе простого анализа значений слов, входящих в это высказывание. К примеру, высказывание «Снег бел» фактически истинно, для подтверждения его истинности требуется эмпирическое наблюдение. Высказывания же «Снег есть снег», «Белое есть белое», «Всякий холостяк не является женатым» и т. п. необходимо истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов.

Понятие логической необходимости связано с понятием логического закона: логически необходимы законы логики и все, что вытекает из них.

Логическая возможность — характеристика внутренне непротиворечивого высказывания.

Например, высказывание «КПД паровой машины равен 100%» является, очевидно, ложным, но оно внутренне непротиворечиво и, значит, логически возможно. Но высказывание «КПД паровой машины выше 100%» противоречиво и потому логически невозможно.

Логическая возможность может быть разъяснена через понятие логического закона: логически возможно всякое высказывание, не противоречащее законам логики. Скажем, высказывание «Вирусы — живые организмы» совместимо с законами логики и, следовательно, логически возможно. Высказывание же «Неверно, что если человек — юрист, то он

Физическая необходимость

юрист» противоречит логическому закону тождества и потому является невозможным.

Логическая случайность — «двусторонняя возможность», или логическая возможность как высказывания, так и его отрицания.

Случайно то, что может быть, но может и не быть. С точки зрения логики случайно, например, что все многоклеточные существа смертны: ни утверждение этого факта, ни его отрицание не содержат внутреннего (логического) противоречия.

Логическая невозможность — внутренняя противоречивость высказывания. Логически невозможны, например, высказывания: «Растения дышат и растения не дышат», «Неверно, что если Вселенная бесконечна, то она бесконечна», «Некоторые жены не состоят в браке» и т. п.

Логические модальности можно определить друг через друга.

«Высказывание А логически необходимо» означает «Отрицание А не является логически возможным».

Например, «Необходимо, что холод есть холод» означает «Невозможно, чтобы холод не был холодом».

«Высказывание А логически возможно» означает «Отрицание А не является логически необходимым».

Например, «Возможно, что кадмий — металл» означает «Неверно, что необходимо, что кадмий — не металл».

Физическая необходимость

Смысл логических модальностей легче понять, сопоставляя их с физическими, или онтологическими (бытийственными), модальностями.

Физические модальности — понятия, используемые для формулировки высказываний о необходимом, возможном, случайном и невозможном не в мышлении, а в природе.

Например: «Необходимо, что действие равно противодействию», «Случайно, что стекло разбилось», «Невозможно, чтобы дождь лил сорок дней и ночей подряд» и т. п. Логические модальные понятия связаны с «механикой» человеческого мышления и используются для характеристики существенных ее моментов. Физические модальные понятия касаются устройства самого реального мира.

Физическая необходимость — характеристика высказывания, отрицание которого несовместимо с законами природы.

Физически необходимыми являются, к примеру, высказывания: «Все планеты вращаются вокруг своей оси» и «Электрон, движущийся по стационарной орбите, не излучает энергию». Отрицания этих высказываний противоречили бы законам физики: отрицание первого высказывания несовместимо с законами небесной механики, отрицание второго — с законами квантовой механики.

Физическая возможность — характеристика высказывания, не противоречащего законам природы.

Например, высказывание «КПД двигателя внутреннего сгорания равен 100%» противоречит законам термодинамики и, значит, физически невозможно. Высказывание же «КПД двигателя внутреннего сгорания превышает 20%» не противоречит ограничениям, устанавливаемым термодинамикой, и является физически возможным.

Физически случайно, к примеру, что автомобиль выкрашен в зеленый цвет: нет законов природы, которые предписывали бы ему быть зеленым или, скажем, синим.

Логическая необходимость сильнее физической: все логически необходимое является также необходимым физически, но не наоборот. Иначе говоря, законы логики есть также законы природы, но не наоборот. Если, например, планета вращается, то она вращается, — это следствие закона логики и вместе с тем необходимая истина физики. Но то, что у планет эллиптические орбиты, — закон физики, но не логики: логически возможно, чтобы орбиты планет были круговыми.

Физическая необходимость не сводится к логической. Нельзя, скажем, принципы механики свести к законам логики.

Логическая возможность шире физической возможности: возможное физически является возможным и логически, но не наоборот. К примеру, абсолютно чистое, не содержащее примесей золото возможно логически, но физически невозможно. Круговые орбиты планет возможны логически, но невозможны физически.

Самой широкой категорией является, таким образом, логическая возможность. Она включает физическую возможность и далее физическую необходимость и логическую необходимость. Последняя является самой узкой категорией.