II. Значащие и запасные цифры в числах и вычислительные операции с этими числами.

Правильная запись результатов прямых и косвенных измерений – это одна из важнейших предпосылок к последующему пониманию и трактовке полученной информации.

Число значащих цифр в промежуточном и конечном результатах определяется низшим разрядом погрешности, которая, в свою очередь не должна содержать более 2-х значащих цифр.

1. Цифры 1, 2, 3,…, 8, 9, если они приведены в записи без указания на погрешность, всегда считаются значащими;

2. Нули (“ 0 ”) в конце цифровой записи числа могут быть значимыми (такое их правило записи) и незначащими, то есть без надобности приписанными;

3. 0-и (нули) в начале числа (десятые, сотые, тысячные и другие аналоговые доли) не являются значимыми. Такого рода нули могут быть только в значении погрешности, но ни в коем случае не в результате измерений.

Примеры:

№ n/n	ед. измерения	DY ед. измерения	ед измерения
Промежуточный результат	Конечный результат
1.	71,54	0,322	74,54±0,33	74,5±0,4
2.	3728,3 или 3,7283·103	45,2 или 0,452·102	(3,728±0,046)·103 или (37,28±0,46)·102	(3,73±0,05)·103 или (37,3±0,5)·102
3.	0,37283 или 37,283·10-2	0,00452 или 0,46·10-2	(37,28±0,46)·10-2 нежелательная запись: (3,728±0,046)·10-1	(37,3±0,5)·10-2 нежелательная запись: (3,73±0,05)·10-1

Примечание: числа, подчеркнутые в примерах – это желательная запись.

При округлении чисел в них оставляют только верные (значащие) цифры:

Правило 1.

Округление числа до значащих цифр достигается простым отбрасыванием неверных цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5. Пример: 73,42Þ73,4; 73; 0,7×10²;

Правило 2.

Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя оставленная цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр – 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Пример: различные округления числа 35,856 Þ35,86; 35,9; 36.

Правило 3.

Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производит на ближайшее четное число: последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Пример: округляем до двух значащих цифр: 0,435Þ0,44; 0,465Þ0,46.

При выполнении математических операций с числами важно учитывать два обстоятельства: значащие и запасные цифры; разряды тех цифр, с которыми выполняются операции.

1. При сложении и вычитании приближенных данных измерений в окончательном результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном числе с наименьшим числом десятичных знаков:

23,2+0,442+7,247» 23,2+0,44+7,25 = 30,89» 30,9

2. При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр:

30,9 × 1,8364» 30,9 · 1,84 = 56,856» 56,9

56,9: 2,412» 56,9: 2,41 = 23,609» 23,6

3. При возведении в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число:

(11,38)² = 129,5044» 129,5

4. При извлечении корня в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число:

5. При нахождении логарифма приближенного числа нужно брать столько знаков, сколько верных знаков содержит данное число:

ln 77,23» 2,8878» 2,888

Примечание! При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем указано в правилах округления при выполнении математических операций над числами. В окончательном результате эта “запасная” цифра отбрасывается. Приведенный ниже пример пояснит сказанное: