Сонаправленные и противоположно направленные

Сонаправленные – если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в одну сторону

Противоположно направленные – если векторы и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны

21. Правило треугольника – отложим от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС равный b. Вектор АС называется суммой векторов а и b: AC=a+b

 

22. Правило параллелограмма – сложение векторов

Задание. Найти сумму векторов , и

Решение. Для нахождения суммы векторов, сложим их соответствующие координаты

Ответ.

23. Разность векторов – это такой вектор с сумма которого равна вектору а+b

Задание. Найти разность векторов , где и

Ответ.

24. Произведение вектора на число - Произведение ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b длина которого равна |k|*|a |, причем векторы а и b сонаправленныесли k >=0 и противоположно направлены если k<0. Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевым вектором.

25. Скалярное произведение через коорд.,

и

Через cos

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Свойства скалярного произведения:

1 - симметричность.

2 . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3 Если , то

4 Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5

6

7

26. Длина вектора в координатах – длина направленного отрезка которая определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

27. Длина отрезка - Это расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

d²= (х₂— х₁)²+ (y₂— y₁)²

Извлекая квадратный корень из выражения, находим:

|AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

 

 

Уравнения прямой и кривых

(x−x_A)²+(y−y_A)²=(x−x_B)²+(y−y_B)² – уравнение прямой

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x +2a₂y +a = 0 - Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

 

Общий вид уравнения прямой

Ax + By + C = 0.

 

Уравнение прямой, проход через две точки

A(x1, y1) и B(x2, y2):

Угол между прямыми на плоскости

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

 

32. Уравнение прямых в отрезках - x/a + y/b = 1, где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

 

33. Кривые второго порядка - геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

 

 

Уравнение окружности

Мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек ∣AB∣=√(x_A−x_B)²+(y_A−y_B)², а если так, то квадрат расстояния AB²=(x_A−x_B)²+(y_A−y_B)².

 

Эллипс. Фокус Эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

 

36. Гипербола - геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F₁,F₂ (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Элементы гиперболы:
A₁A₂=2a - действительная ось
B₁B₂=2b - мнимая ось
A₁ ,A₂ - вершины
F₁(c; 0), F₂(-c; 0) - фокусы
F₁F₂=2c - фокальное расстояние (фокусное расстояние)

c²=a²+b²

Уравнение:

Парабола

Формула параболы y=ax²+bx+c если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax2+bx+c=0;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и решается по дискриминанту;

b) Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:

ax2+bx=0,

х(ax+b)=0,

х=0 и ax+b=0;

c) Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

 

38. Способы задания функции. Предел функции

Табличный способ. Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Применяется когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Пример:

 

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Чтобы графическое задание функции было корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.