Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-06-29 | 379 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим плоскую кривую, уравнение которой имеет вид
Если функция является гладкой (т.е. непрерывно дифференцируемой) на , то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле
.
Пример. Вычислить длину дуги параболы , заключенной между точками (0,0) и (4,8).
Так как кривая задана неявно, то необходимо сначала выделить явно y относительно x, получим . Отсюда . Абсцисса текущей точки параболы меняется в пределах от 0 до 4, т.е. , поэтому формула для вычисления длины дуги кривой примет вид
.
Возьмем этот определенный интеграл
Случай кривой, заданной параметрически.
Рассмотрим плоскую кривую, уравнение которой имеет вид , где функции и - непрерывно дифференцируемы на , причем . Тогда длина кривой вычисляется по формуле
Пример. Найти длину одной арки циклоиды
Найдем точки пересечения циклоиды с осью ОХ, для этого приравняем ординату y к нулю и решим уравнение . Следовательно, первой арке циклоиды соответствует изменение параметра в пределах
Найдем производные от абсциссы и ординаты этой кривой . Используя формулу вычисления длины дуги для кривой, заданной параметрически, получим
Случай кривой, заданной в полярных координатах.
Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги этой кривой определяется по формуле ,
где и - значения полярного угла в крайних точках дуги, причем .
Пример. Найти длину кривой . Текущая точка обойдет всю кривую, если полярный угол будет меняться в пределах
.
Найдем производную функции
.
Тогда подкоренное выражение примет вид:
Для вычисления длины дуги кривой, заданной в полярных координатах, применим соответствующую формулу
|
.
Вычисление объема тела.
Формула объема тела по площади параллельных сечений.
Пусть требуется найти объем тела V, причем известны площади S сечений этого тела, плоскостями, перпендикулярными координатным осям, например оси OX. Тогда площадь сечения является функцией от аргумента x: .
Искомая величина V находится путем интегрирования площади заданного сечения, т.е. .
Пример. Найти объем сферы радиуса с центром в начале координат О(0,0,0)
Рассмотрим сечение этой сферы плоскостью , перпендикулярной оси ОХ, где . Для этого подставим в уравнение сферы вместо и приведем полученное уравнение к каноническому виду:
.
Таким образом, сечения представляет собой новую окружность радиуса с центром в точке . Используя формулу площади круга, известную из школьного курса . Используя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Объем тела вращения.
Пусть задана непрерывная кривая . Рассмотрим фигуру, полученную вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ. Фигура, полученная в результате вращения кривой вокруг любой из координатных осей, называется телом вращения.
Так как сечением тела вращения вокруг оси ОХ плоскостью является окружность радиуса , то площадь этого сечения будет равна .
Для нахождения объема тела вращения применим формулу объема тела по площади параллельных сечений:
Если та же кривая вращается вокруг оси OY, то необходимо найти функцию, обратную к заданной и в качестве интервала интегрирования рассмотреть область значения исходной функции, т.е. . Тогда формула объема тела вращения вокруг оси OY примет вид: .
Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси ОХ.
Применяя соответствующую формулу, получим
Пример 2. В условиях предыдущего примера найти объем тела вращения той же кривой вокруг оси OY.
Рассмотрим ту ветвь параболы, которая располагается в первой координатной четверти, и найдем функцию, обратную к заданной. Для этого выразим через . Искомая функцию будет иметь вид , при этом, если x изменялся в пределах от 1 до 2, то y будет принимать значения из промежутка [2,8].
|
Тогда, используя формулу для вычисления объема тела вращения вокруг оси OY, получим:
.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!