Что такое математическая структура? — КиберПедия 

Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...

Что такое математическая структура?

2017-06-19 668
Что такое математическая структура? 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

 

«Подожди-ка!» – обычно восклицает мой друг Джастин Бендих, когда физическое утверждение наводит на важный вопрос, на который нет ответа. А гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три таких вопроса:

 

1. Что в точности является математической структурой?

2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?

3. Дает ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?

 

Мы займемся вторым из этих вопросов в гл. 11, а третьим – в гл. 12. Начнем мы с первого и вернемся к нему в гл. 12.

 

«Багаж» и эквивалентные описания

 

Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути. Рассмотрим конкретную последовательность шахматных ходов, известную как Бессмертная партия. В ней белые впечатляюще жертвуют обеими ладьями, слоном и ферзем, чтобы поставить мат тремя оставшимися легкими фигурами (рис. 10.6). Здесь, на Земле, эта партия впервые была сыграна в 1851 году Адольфом Андерсеном и Лионелем Кизерицким. Ее ежегодно воспроизводят в итальянском городке Маростика живые игроки, одетые шахматными фигурами, и она регулярно повторяется множеством любителей шахмат по всему миру. Некоторые игроки (включая моего брата Пера, его сына Симона и моего сына Александра; рис. 10.6) пользуются деревянными фигурами, другие – фигурами из мрамора или пластмассы. Некоторые доски выкрашены в коричневый и бежевый цвета, другие в черный и белый, а некоторые являются виртуальными, нарисованными с помощью трехмерной или двумерной компьютерной графики (рис. 10.6). И все же в некотором смысле ни одна из этих деталей не важна: когда любители шахмат называют Бессмертную партию красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более умозрительную сущность, которую можно назвать абстракцией партии или последовательностью ходов.

 

Рис. 10.6. Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации – это все равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для ее описания.

 

Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в Соединенных Штатах шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, мы называем bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть его не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски. Можно, однако, согласовать уникальность Бессмертной партии с множественностью ее возможных описаний, используя сильную идею эквивалентности:

 

1. Мы определим, что имеется в виду под эквивалентностью двух описаний.

2. Мы будем говорить, что если два описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.

 

Любые слова, понятия или символы, которые появляются в некоторых, но не во всех эквивалентных описаниях, очевидно, являются необязательными, а значит, относятся к «багажу». Но если мы хотим определить сущность Бессмертной партии, сколько «багажа» мы можем выбросить? Очевидно, много: компьютеры способны играть в шахматы, не имея никакого представления о человеческом языке или понятиях вроде цвета, текстуры, размеров и названий фигур. Чтобы до конца понять, как далеко мы можем зайти, необходимо дать более строгое определение эквивалентности:

 

Два описания эквивалентны, если между ними существует соответствие, которое сохраняет все отношения.

 

В шахматах используются абстрактные сущности (фигуры и поля на доске) и отношения между ними. Одно из отношений, которое фигура может иметь с полем, заключается в том, что первая стоит на втором. Другое отношение, которое фигура может иметь к полю, состоит в том, что ей позволено на него переместиться. Две центральные иллюстрации на рис. 10.6, согласно нашему определению, эквивалентны: между трехмерными и двумерными фигурами и досками существует соответствие, так что любой трехмерной фигуре, стоящей на определенном поле, соответствует двумерная фигура на соответствующем поле. Аналогично, описание шахматной позиции, выраженное лишь в словах английского языка, эквивалентно описанию, выраженному лишь в словах испанского языка, если имеется словарь, описывающий соответствие между английскими и испанскими словами, и если его применение при переводе описания на испанском дает описание на английском.

Когда газеты или веб-сайты публикуют шахматные партии, они обычно используют еще одну эквивалентную форму описания – так называемую алгебраическую шахматную нотацию (рис. 10.6, справа). Здесь фигуры обозначены не предметами или словами, а буквами (слон, например, эквивалентен «С»), а поля представляются буквой, задающей вертикаль, и цифрой, указывающей горизонталь. Поскольку абстрактное описание партии на рис. 10.6 (справа) эквивалентно ее описанию в форме видеозаписи игры на физической доске, все, что есть в последней форме описания, но не имеет соответствия в первой, является «багажом» – от физического существования доски до формы, цвета и названий фигур. Даже особенности алгебраической шахматной нотации выступают «багажом»: когда в шахматы играют компьютеры, они обычно пользуются иными абстрактными описаниями позиций, представляющими собой схемы из нулей и единиц в памяти. Так что остается после того, как мы избавляемся от «багажа»? Что именно описывается эквивалентными описаниями? Бессмертная партия, на 100 % очищенная.

 

«Багаж» и математические структуры

 

Разобранный случай с абстрактными шахматными фигурами, полями на доске и отношениями между ними – это пример гораздо более общего понятия – математической структуры. Это стандартное понятие в современной математической логике. В гл. 12 я приведу более строгое описание, а пока вполне достаточно неформального определения:

 

Рис. 10.7. Три эквивалентных описания одной и той же математической структуры, которую математики назвали бы ориентированным графом с четырьмя элементами. Каждое описание содержит некий произвольный «багаж», но структура, которую все они описывают, на 100 % свободна от «багажа»: ее четыре сущности не имеют свойств, кроме отношений между ними, а эти отношения не имеют свойств, кроме информации о том, какие элементы они связывают.

 

Математическая структура – это набор абстрактных сущностей с отношениями между ними.

 

Рассмотрим несколько примеров. На рис. 10.7 (слева) описываются математические структуры с четырьмя сущностями, связанными между собой отношением нравится. Сущность Филипп представлена изображением с множеством внутренних свойств, таких, например, как цвет волос. Напротив, сущности математических структур совершенно абстрактны, что предполагает отсутствие у них каких бы то ни было внутренних свойств. Это значит, что какие бы символы мы ни использовали для их представления, это будут лишь метки, свойства которых не имеют отношения к делу: во избежание ошибочного приписывания свойств этих символов абстрактным сущностям, обозначением которых они являются, рассмотрим более аскетичное описание, представленное на среднем рисунке. Оно эквивалентно первому, поскольку, если установить соответствие согласно следующему словарю: Филипп = 1, Александр = 2, лыжи = 3, скейтборд = 4, нравится = R, все отношения сохранятся. Так, «Александру нравится скейтборд» превратится в «2 R 4», а такое отношение на среднем рисунке действительно есть.

Математические структуры можно описывать точно так же, как шахматные партии, лишь при помощи символов. Так, в правой части рис. 10.7 представлено третье эквивалентное описание нашей математической структуры с помощью числовой таблицы четыре на четыре. В таблице значение 1 указывает, что отношение (нравится) имеет место между элементом, соответствующим данной строке, и элементом, соответствующим данному столбцу. Скажем, тот факт, что в третьей колонке первой строки стоит 1, означает, что «Филиппу нравятся лыжи». Очевидно, что существует гораздо больше эквивалентных способов описания математической структуры. Но есть лишь одна уникальная математическая структура, которая описывается всеми этими способами. Итак, любое конкретное описание математической структуры несет «багаж», но сама структура его не содержит. Важно не путать описание с тем, что именно описывается: даже кажущееся наиболее абстрактным описание математической структуры не является самой этой структурой. Правильнее сказать, что структуре соответствует класс всех эквивалентных ее описаний. В табл. 10.2 дана сводка отношений между этими и иными ключевыми понятиями, связанными с идеей математической Вселенной.

 


Поделиться с друзьями:

Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.019 с.