Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-06-25 | 355 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если справедливо равенство F’(x)=f(x).
В общем случает, если для функции f(x) есть первообразная F(x), для которой выполняется равенство, то f(x) +с так же первообразная для функции f(x), где с – произвольная константа.
Функция вида F(x)+c – семейство первообразных.
(О бесконечном множестве первообразных для функции)
Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.
(Об общем виде первообразной для функции)
Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть
Теорема 1. Пусть F(x) некоторая первообразная для f(x), тогда все первообразные представлены в виде семейства f(x)+с, где с – константа.
Док-во. Пусть F(x) –первообразная для f(x).
Фи(х)= f(x)
По условию теоремы F(x) так же первообразная f(x)= F(x)
Вычтем: фи(х)- f(x)=0
По св-ву производной:
(фи(х)- f(x))’=0
Следовательно:
фи(х)- f(x)=с
фи(х)- f(x)+с
Следствие: любые две первообразные для одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное число.
Семейство первообразных f(x)+c функции f(x) называют неопределенными интегралами и обозначают значком интеграла.
Теорема 2 (без док-ва).
Если f(x) подинтегральная функция непрерывная на некотором промежутке, то для нее существет первообразная и неопределенный интеграл.
|
Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть
Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Т. о. с геометрической точки зрения неопределенный интеграл есть семейство интегралов кривых, полученных х в результате сдвига интегральной кривой у= f(x) в направлении оси ОУ вверх/вниз на отрезок произвольной длины с.
Теорема о среднем.
Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка , такая что .
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [ a, b ] и высотой f (c) (на рисунке выделен цветом).
Важное следствие
Утверждение: |
Пусть — непрерывна на . Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл. |
В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу — одна из первообразных. Значит, неопределённый интеграл существует. |
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема (формула Ньютона-Лейбница): |
Пусть дифференцируема на , её производная интегрируема на этом же отрезке. Тогда |
Доказательство: |
Так как — интегрируема, то равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для . Поэтому, если — разбиение , то . Так как дифференцируема, то, применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим: , следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая — постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу. |
Следствие
|
Объединяя эту теорему со следствием к теореме Барроу получаем следующий факт:
Утверждение: |
Пусть — непрерывна на , — одна из первообразных. Тогда |
Формулы
]Вычисление определенного интеграла по частям
Формула Ньютона-Лейбница.
Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], и F (x) - некоторая первообразная функции , то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f (x). Так как F (x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F (x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x, верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .
Первообразная и неопределенный интеграл.
Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если справедливо равенство F’(x)=f(x).
В общем случает, если для функции f(x) есть первообразная F(x), для которой выполняется равенство, то f(x) +с так же первообразная для функции f(x), где с – произвольная константа.
Функция вида F(x)+c – семейство первообразных.
(О бесконечном множестве первообразных для функции)
Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.
(Об общем виде первообразной для функции)
Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть
Теорема 1. Пусть F(x) некоторая первообразная для f(x), тогда все первообразные представлены в виде семейства f(x)+с, где с – константа.
|
Док-во. Пусть F(x) –первообразная для f(x).
Фи(х)= f(x)
По условию теоремы F(x) так же первообразная f(x)= F(x)
Вычтем: фи(х)- f(x)=0
По св-ву производной:
(фи(х)- f(x))’=0
Следовательно:
фи(х)- f(x)=с
фи(х)- f(x)+с
Следствие: любые две первообразные для одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное число.
Семейство первообразных f(x)+c функции f(x) называют неопределенными интегралами и обозначают значком интеграла.
Теорема 2 (без док-ва).
Если f(x) подинтегральная функция непрерывная на некотором промежутке, то для нее существет первообразная и неопределенный интеграл.
Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть
Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Т. о. с геометрической точки зрения неопределенный интеграл есть семейство интегралов кривых, полученных х в результате сдвига интегральной кривой у= f(x) в направлении оси ОУ вверх/вниз на отрезок произвольной длины с.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!