Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-25 | 327 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть дана функция двух переменных f (x, y) и ограничения для D: D = {(x; y) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d }, означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху - прямые y = c и y = d. Здесь a, b, c, d - числа.
Пусть для такой функции существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Здесь пределы интегрирования a, b, c, d - числа, о которых только что упоминалось.
Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем - внешний (левый) определённый интеграл.
Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).
24)
Пусть снова дана функция двух переменных f (x, y), а ограничения для D: уже несколько другого вида:
.
Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области - прямые x = a и x = b, но снизу и сверху - кривые, которые заданы уравнениями и . Иными словами, и - функции.
Пусть для такой функции также существует двойной интеграл
.
Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид
.
Здесь пределы интегрирования a и b - числа, а и - функции. В случае треугольной области одна из функций или - это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.
Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем - левый определённый интеграл.
Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид
.
Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала - внутренний (правый) интеграл, затем - внешний (левый).
25)
26)
27) Тройным интегралом от функции f(x, y, z ) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):
Свойство 1 (линейность тройного интеграла по подынтегральной функции)
,
где — постоянные множители по x, y, z.
Свойство 2 (аддитивность тройного интеграла по области интегрирования)
Если V = V 1 È V 2, то .
Свойство 3 (о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице)
Если подынтегральная функция f (x, y, z) º 1 для , то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:
(здесь область V и её объём V обозначены одной буквой).
Свойство 4 (оценки значения тройного интеграла)
Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f (x, y, z) в замкнутой области V, то
Если | f (x, y, z)| при "(x, y, z)Î V, то
Свойство 5 (теорема о среднем значении подынтегральной функции)
Если функция f (x, y, z) непрерывна в области V, то существует хотя бы одна точка P 0(x 0; y 0; z 0)Î V такая, что
При этом число называется средним значением
функции f(x,y,z) по области V.
28) Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.
В декартовых координатах область V, правильная в направлении оси OZ, записывается системой неравенств
,
где D – это проекция области V на плоскость XOY, а поверхности и ограничивают область V соответственно снизу и сверху (Рис. 6).
Если двумерную область D также записать системой неравенств , то трехмерная область V запишется системой трех неравенств
Тогда тройной интеграл сводится сначала к двойному, а затем к трёхкратному с учётом того, что в декартовых координатах dV = dx × dy × dz;
формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу имеет следующий вид:
29) Замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам
Если выполняются условия
1?. Отображение (6) взаимно однозначно;
2?. Функции в (6) непрерывно - дифференцируемы в области
3?. Якобиан отображения
то имеет место формула
Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
30) Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел , где r - расстояние точки M до точки 0, - угол между лучами OM и OZ, - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.
Они связаны с прямоугольными формулами
Якобиан отображения . Иногда используются обобщённые сферические координаты.
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
31) 1. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла.
1.1. Пусть -неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области . Если - тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу - областью , а сбоку - соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси OZ и направляющей, совпадающей с границей области , то объем этого тела равен
(1)
1.2. Пусть - тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу - поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на плоскость служит область , в которой функции и непрерывны (и ), то объем этого тела равен
(2)
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!