Цилиндрическая система координат. — КиберПедия 

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Цилиндрическая система координат.



 

 

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

 

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

 

 

 

Итого:

 

 

Билет № 26. Сферическая система координат.

 

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

 

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

 

 


Билет 27 _Геометрические приложения кратных интегралов

Двойной интеграл.

1. Площадь плоской области.Из формулы 7.1 следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной суммы при равен площади области интегрирования S, то есть (1)

2. Объем цилиндроида.Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S ( z = f(x,y) ), ограниченной контуром L, проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллель-ными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (7.1) и (7.2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области S: (2)

3. Площадь криволинейной поверхности.Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз (см. лекцию 12), что площадь элемента поверхности ΔSi равна

где ΔDi – проекция ΔSi на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и нормалью к ΔSi в некоторой ее точке Составив интегральную сумму

и устремив ее к пределу при , получим формулу для площади поверхности:

Тройной интеграл.

Объем тела.

Из определения 7.3 следует, что при f(x, y, z) ≡ 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:

(1)

Масса тела.

Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

(2)

 


Билет 28 Механические приложения кратных интегралов

Двойной интеграл

Момент инерции плоской фигуры.Вспомним определение момента инерции

а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от М до О);

б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:

Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.



 

 

 

у

ΔSi D

ηi Pi

ri

O ξi x

Рис. 1.

Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ΔSi (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку Pii, ηi). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔSi выражение вида ΔIi = (ξi² + ηi²)ΔSi и составим интегральную сумму

(1)

для функции f(x, y) = x² + y² по области D.

О:.Предел интегральной суммы (14.4) при называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:

(2)

 

О:.Интегралы

(3)

называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.

Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функци-ей γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляет-ся по формуле (4)

Координаты центра масс плоской фигуры.

Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с масса-ми т1, т2,…, тп определяются по формулам

.

Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса эле-ментарной площадки ΔSi сосредоточена в какой-либо ее точке Pii, ηi). Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами

.

Переходя к пределу при , получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:

. (5)

В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти формулы примут вид

.

 

Тройной интеграл

1. Момент инерции тела.

Используя формулы для моментов инерции точки М(x, y, z) массы т относительно координатных осей:

и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:

 

(6)

где γ (х, y, z) – плотность вещества.



2. Координаты центра масс тела.

Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:

(7)

 

 

Билет № 29. Криволинейные интегралы первого и второго рода, его приложения(длина дуги, масса кривой, моменты инерции кривой, координаты центра масс кривой)

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

 

Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого родаот функции f по кривой L и обозначается

. (10.1)

 






Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.009 с.