Описание и построение модели

Целочисленное линейное программирование

 

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

В некоторых задачах целочисленные значения могут быть равны только 0 или 1, тогда такие задачи называются задачами с булевыми переменными.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения.

Обоснование выбранного подхода к моделированию

 

В соответствии с заданием был выбран подход ЦЛП – целочисленное линейное программирование, т.к. задача сводится к нахождению экстремума целевой функции(ЦФ) при целочисленных коэффициентах ЦФ, констант и переменных ограничений. В задаче возможно использование и нецелочисленного метода, но тем самым усложняется процесс вычисления, т.к. возникает необходимость их округления. Причём округление необходимо производить в сторону целого числа вниз, т.е. такое значение 3,5 будет округляться до 3,0. Если же округление производить вверх, то возможно нарушение ограничений ЦФ и выход за рамки её вычисления. Поэтому был выбран целочисленный метод.

 

Описание концептуальной модели

Модель работы предприятия можно представить в виде следующей схемы:

 

Рисунок 1. Концептуальная модель предприятия.

 

Словесное описание:

1. Предприятие располагает двумя видами ресурсов, из которых производится два вида продукции (с различными затратами сырья).
2. Сырье перерабатывается аппаратами двух типов, условно называемыми машинами и агрегатами; каждый тип имеет ограничение по времени работы за некоторый период.
3. На рынке определяется стоимость продукта 1 и продукта 2.
4. Увеличение объема выпуска продукции за счет приобретения нового оборудования и за счет сверхурочных часов работы.
5. Запуск процесса производства с использованием технологических процессов.
6. Реализация продукции, получение прибыли.

 

Описание элементов и ограничений решаемой задачи

 

Основные элементы при решении задачи:

1. х₁ – объем производства продукта 1, целочисленное
2. х₂ – объем производства продукта 2, целочисленное
3. y₁ – количество приобретаемых машин, целочисленное
4. y₂ – количество часов сверхурочной работы, целочисленное
5. 10*x₁ + 8*x₂ – 10*y₁ – 2*y₂ – целевая функция

 

Ограничения при решении задачи:

1. 4*x1 + 3*x2 – 8*y1 – (5 + y1)*y2 ≤ 40 – ограничение по времени на переработку сырья первого вида.
2. 9*x1 + 3*x2 – 25*y2 ≤ 200 – ограничение по времени на переработку сырья второго вида
3. y2 ≤ 8 – ограничение по количеству часов сверхурочной работы
4. x1, x2, y1, y2 ≥ 0 – искомые значения неотрицательны

Решение задачи

Блок-схема алгоритма решения задачи

Рисунок 2. Блок-схема алгоритма решения задачи.

Ввод данных

1. Ввод значений «Доход от единицы продукции» (для продуктов 1 и 2).
2. Ввод значения «Дополнительные затраты, связанные с приобретением одной машины».
3. Ввод значения «Доплата за час сверхурочной работы».
4. Ввод значения «Время на переработку сырья» (каждого из двух видов сырья для производства продуктов 1 и 2 соответственно).
5. Ввод значений «Количество аппаратов для переработки сырья» (количество «машин» и «агрегатов»).

 

Установка ограничений

Ограничения устанавливаются на основании введенных исходных данных. Например, для данных:

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

устанавливаются следующие ограничения:

 

1. Математическая запись

 

1.1. 4*x1 + 3*x2 – 8*y1 – (5 + y1)*y2 ≤ 40 – ограничение по времени на переработку сырья первого вида.

1.2. 9*x1 + 3*x2 – 25*y2 ≤ 200 – ограничение по времени на переработку сырья второго вида

1.3. y2 ≤ 8 – ограничение по количеству часов сверхурочной работы

 

2. Запись в EXCEL

 

Ограничения
	Время на переработку (ч)		Лимит времени (ч)	Резерв времени (ч)
Сырье первого вида			≤
Сырье второго вида			≤
Максимальное число сверхурочных часов
	≤

 

 

Ввод целевой функции

 

Коэффициенты целевой функции представлены исходными данными задачи

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции

 

Целевая функция имеет следующий вид:

 

 

где мах – направление расчёта, поиск максимально оптимального решения.

 

 

Поиск решения

 

Производится оптимальный расчет целевой функции и ее параметров на основе исходных данных и заданных ограничений, используя базовую технологию EXCEL «Поиск решений».

 

Цикл ввода исходных данных и поиска решения повторяется для 5 вариантов исходных данных.

Изменяется исходное значение «Количество имеющихся агрегатов», чтобы выявить зависимости результатов от этого значения.

 

Исходные данные и результаты.

 

Вариант №1

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

Вариант №2

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

Вариант №3

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

 

Вариант №4

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

Вариант №5

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

Построение графиков

 

На основе полученных результатов для 5 вариантов исходных данных строятся графики зависимости различных результирующих значений от количества имеющихся агрегатов:

 

Количество имеющихся агрегатов	Объем производства продукта 1	Объем производства продукта 2	Количество приобретаемых машин	Количество сверхурочных часов	Общая прибыль

 

Рисунок 3. Зависимость объемов производства.

 

Рисунок 4. Зависимость общей прибыли.

 

Рисунок 5. Зависимость количества новых машин и сверхурочных часов.

 

Анализ полученных данных