К курсовой работе по Математическому Моделированию Экономических Процессов (ММЭП)

Калининградский Государственный Технический Университет

Кафедра СУиВТ

 

 

Рекомендована к защите: Защищена с оценкой:

____________________ ___________________

Дата, подпись дата, подпись

 

Пояснительная записка

К курсовой работе по Математическому Моделированию Экономических Процессов (ММЭП)

 

 

Вариант 15

 

 

Работу выполнил:

студент группы 05-ИЭ-2

Лебедев П.А.

Работу проверил:

К.т.н., профессор

Арунянц Г.Г.

 

Калининград

Аннотация

 

В данной курсовой работе мы рассматриваем пример решения задачи линейного программирования “Увеличение выпуска продукции за счет приобретения нового оборудования и сверхурочных часов работы” с использованием базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2003. В курсовой работе подробно рассмотрены этапы построения модели с использованием табличного процессора EXCEL.

Бланк задания

Разработать математическую модель предприятия, выпускающего два вида продукции из двух видов сырья с целью решения задачи увеличения выпуска продукции как за счет приобретения нового оборудования и сверхурочных часов работы

 

1. Исходные данные

На предприятии производятся два вида продукции из двух видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, а производство единицы продукта 2 (второго вида) - доход в 8 единиц. Переработка сырья производится аппаратами двух типов, которые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами. На переработке сырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия не допускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало 40 ч (за некоторый период). На переработке сырья второго вида занято 25 агрегатов; суммарное время их использования в течение того же периода не должно превышать 200 ч. При производстве единицы продукта 1 на переработку сырья первого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида - 9 ч, в то время как производство единицы продукта 2 требует затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья.

На предприятии принимается решение увеличить выпуск продукции как за счет приобретения нового оборудования тех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы.

Максимальное число сверхурочных часов, приходящихся на период, равно восьми, причем эти часы должны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно. Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырья одинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам. Повышение затрат за период, связанный с приобретением одной машины, перерабатывающей сырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырье второго вида, дополнительно не приобретаются.

 

1. Задача

Необходимо максимизировать доход от выпуска продукции.

 

 

1. Порядок решения:

Задачу максимизации дохода от выпуска продукции можно записать как задачу математического программирования:

Здесь через и обозначены соответственно искомые количества производимых продуктов первого и второго видов, через - количество приобретаемых дополнительных машин для переработки сырья первого вида и через - число часов сверхурочной работы. Целевая функция представляет собой величину суммарного дохода. Первое ограничение связано с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья первого вида, второе - с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья второго вида, третье ограничение и условие неотрицательности переменных самоочевидны.

 

1. Задания для самостоятельной работы

4.1. Сформировать блок-схему алгоритма решения поставленной задачи.

4.2. Разработать программу решения поставленной задачи в средеVisual Basic 6.0 или в любой другой среде (по выбору студента).

4.3. С использованием базовой технологии Excel 2000 сформировать таблицу исходных данных (взамен выполнения п. 4.2)

4.4. С использованием встроенных функций Excel 2000 произвести расчет и решение поставленной задачи оптимизации для пяти различных вариантов набора исходных данных с учетом поставленных ограничений

4.5. Представить полученные результаты в виде графиков и диаграмм.

 

Содержание

Содержание. 5

Введение. 6

Описание и построение модели. 8

Целочисленное линейное программирование. 8

Обоснование выбранного подхода к моделированию.. 8

Описание концептуальной модели. 9

Описание элементов и ограничений решаемой задачи. 10

Решение задачи. 11

Блок-схема алгоритма решения задачи. 11

Ввод данных. 12

Установка ограничений. 12

Ввод целевой функции. 13

Поиск решения. 14

Построение графиков. 19

Анализ полученных данных. 21

Заключение. 22

Список используемой литературы.. 23

Введение

Численные экономические задачи ещё с давних времён были направлены на максимизацию прибыли при минимуме затрат. Задачи такого типа направлены, как правило, на максимальную прибыль от реализации товаров, работ, услуг(ТУР) или же, как в “транспортной задаче“– минимизации издержек. В любом случае нужно найти max или min, или так называемый экстремум. Задачи такого рода называют задачами линейного программирования, которые весьма широко применяются в экономических расчетах, а также в принятии управленческих решений.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

 

Цели выполняемой работы:

1. Получить практические знания, при применении методов решения задач линейного программирования.

2. Построение модели.

3. Решение задачи методом линейного программирования.

4. Анализ модели.

 

Для решения задач линейного программирования используются методы:

1. Графический метод решения задачи линейного программирования.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

2.1. Отыскание базисного решения – некой точки А(рис.2) лежащей на функции;

2.2. Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями;

2.3. Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

3. Метод полного перебора базисных решений задачи линейного программирования.

4. Нецелочисленное линейное программирование.

5. Целочисленное линейное программирование.

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.

 

Для решения данной задачи необходимо применить ЦЛП-метод, т.к. при расчётах используются только целочисленные переменные.

 

Используемые источники:

• Различная литература, затрагивающая проблему (указана в списке литературы);
• Конспект лекций по курсу экономико-математического моделирования;
• Теоретический базис лабораторного практикума;
• Интернет ресурсы.

Словесное описание:

1. Предприятие располагает двумя видами ресурсов, из которых производится два вида продукции (с различными затратами сырья).
2. Сырье перерабатывается аппаратами двух типов, условно называемыми машинами и агрегатами; каждый тип имеет ограничение по времени работы за некоторый период.
3. На рынке определяется стоимость продукта 1 и продукта 2.
4. Увеличение объема выпуска продукции за счет приобретения нового оборудования и за счет сверхурочных часов работы.
5. Запуск процесса производства с использованием технологических процессов.
6. Реализация продукции, получение прибыли.

 

Решение задачи

Ввод данных

1. Ввод значений «Доход от единицы продукции» (для продуктов 1 и 2).
2. Ввод значения «Дополнительные затраты, связанные с приобретением одной машины».
3. Ввод значения «Доплата за час сверхурочной работы».
4. Ввод значения «Время на переработку сырья» (каждого из двух видов сырья для производства продуктов 1 и 2 соответственно).
5. Ввод значений «Количество аппаратов для переработки сырья» (количество «машин» и «агрегатов»).

 

Установка ограничений

Ограничения устанавливаются на основании введенных исходных данных. Например, для данных:

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

устанавливаются следующие ограничения:

 

1. Математическая запись

 

1.1. 4*x1 + 3*x2 – 8*y1 – (5 + y1)*y2 ≤ 40 – ограничение по времени на переработку сырья первого вида.

1.2. 9*x1 + 3*x2 – 25*y2 ≤ 200 – ограничение по времени на переработку сырья второго вида

1.3. y2 ≤ 8 – ограничение по количеству часов сверхурочной работы

 

2. Запись в EXCEL

 

Ограничения
	Время на переработку (ч)		Лимит времени (ч)	Резерв времени (ч)
Сырье первого вида			≤
Сырье второго вида			≤
Максимальное число сверхурочных часов
	≤

 

 

Ввод целевой функции

 

Коэффициенты целевой функции представлены исходными данными задачи

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции

 

Целевая функция имеет следующий вид:

 

 

где мах – направление расчёта, поиск максимально оптимального решения.

 

 

Поиск решения

 

Производится оптимальный расчет целевой функции и ее параметров на основе исходных данных и заданных ограничений, используя базовую технологию EXCEL «Поиск решений».

 

Цикл ввода исходных данных и поиска решения повторяется для 5 вариантов исходных данных.

Изменяется исходное значение «Количество имеющихся агрегатов», чтобы выявить зависимости результатов от этого значения.

 

Исходные данные и результаты.

 

Вариант №1

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

Вариант №2

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

Вариант №3

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

 

Вариант №4

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

Вариант №5

 

Исходные данные

 

Исходные данные

 

Исходные данные
	Продукт1	Продукт2		Стоимость приобретения машины	Доплата за час сверхурочной работы
Доход от единицы продукции
Время на переработку сырья (ч)
Сырье первого вида				Количество машин	Количество агрегатов
Сырье второго вида

 

Результат

 

Переменные
	Продукт1	Продукт2		Количество приобретаемых машин	Количество часов сверхурочной работы
Объем производства
Прибыль

 

Построение графиков

 

На основе полученных результатов для 5 вариантов исходных данных строятся графики зависимости различных результирующих значений от количества имеющихся агрегатов:

 

Количество имеющихся агрегатов	Объем производства продукта 1	Объем производства продукта 2	Количество приобретаемых машин	Количество сверхурочных часов	Общая прибыль

 

Рисунок 3. Зависимость объемов производства.

 

Рисунок 4. Зависимость общей прибыли.

 

Рисунок 5. Зависимость количества новых машин и сверхурочных часов.

 

Анализ полученных данных

Зависимость общей прибыли

Данная зависимость линейна, и вполне логично, что при увеличении количества имеющихся на предприятии агрегатов общая прибыль растет, что и видно на графике.

 

Зависимость количества новых машин и сверхурочных часов

Как и в случае с объемами производства, зависимость количества приобретаемых машин нелинейная, и в зависимости от количества имеющихся агрегатов то увеличивается, то уменьшается. Для данного искомого значения также необходимо более детальное исследование.

Количество часов сверхурочной работы не зависит от количества имеющихся агрегатов, этот метод максимизации прибыли одинаково эффективен и всегда равен максимально допустимому (8 часов).

 

 

Заключение

 

В результате проведенного исследования, было получено подтверждение о выгодности использования метода целочисленного линейного программирования при решении задач оптимизации. Данный метод оказался простым в изучении и реализации в соответствии с поставленной задачей. Также был проведён анализ выходных параметров, что показало высокую эффективность применения данного метода.

Список используемой литературы

 

1. О.В. Ефимова, М.В.Моисеева, Ю.А.Шафрин. Практикум по компьютерной технологии. – М.: изд-во «ABF», 2005.
2. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. – СПб.: БХВ – Санкт-Петербург, 1999. – 336 с., ил.
3. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 2003. – СПб.: BHV – Санкт-Петербург, 2005. – 384 с., ил.
4. Конспект лекций по курсу экономико-математического моделирования.
5. Теоретический материал лабораторного практикума.

 

Калининградский Государственный Технический Университет

Кафедра СУиВТ

 

 

Рекомендована к защите: Защищена с оценкой:

____________________ ___________________

Дата, подпись дата, подпись

 

Пояснительная записка

к курсовой работе по Математическому Моделированию Экономических Процессов (ММЭП)

 

 

Вариант 15

 

 

Работу выполнил:

студент группы 05-ИЭ-2

Лебедев П.А.

Работу проверил:

К.т.н., профессор

Арунянц Г.Г.

 

Калининград

Аннотация

 

В данной курсовой работе мы рассматриваем пример решения задачи линейного программирования “Увеличение выпуска продукции за счет приобретения нового оборудования и сверхурочных часов работы” с использованием базовой технологии и встроенных функций EXCEL 2003. В курсовой работе подробно рассмотрены этапы построения модели с использованием табличного процессора EXCEL.

Бланк задания

Разработать математическую модель предприятия, выпускающего два вида продукции из двух видов сырья с целью решения задачи увеличения выпуска продукции как за счет приобретения нового оборудования и сверхурочных часов работы

 

1. Исходные данные

На предприятии производятся два вида продукции из двух видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, а производство единицы продукта 2 (второго вида) - доход в 8 единиц. Переработка сырья производится аппаратами двух типов, которые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами. На переработке сырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия не допускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало 40 ч (за некоторый период). На переработке сырья второго вида занято 25 агрегатов; суммарное время их использования в течение того же периода не должно превышать 200 ч. При производстве единицы продукта 1 на переработку сырья первого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида - 9 ч, в то время как производство единицы продукта 2 требует затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья.

На предприятии принимается решение увеличить выпуск продукции как за счет приобретения нового оборудования тех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы.

Максимальное число сверхурочных часов, приходящихся на период, равно восьми, причем эти часы должны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно. Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырья одинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам. Повышение затрат за период, связанный с приобретением одной машины, перерабатывающей сырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырье второго вида, дополнительно не приобретаются.

 

1. Задача

Необходимо максимизировать доход от выпуска продукции.

 

 

1. Порядок решения:

Задачу максимизации дохода от выпуска продукции можно записать как задачу математического программирования:

Здесь через и обозначены соответственно искомые количества производимых продуктов первого и второго видов, через - количество приобретаемых дополнительных машин для переработки сырья первого вида и через - число часов сверхурочной работы. Целевая функция представляет собой величину суммарного дохода. Первое ограничение связано с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья первого вида, второе - с невозможностью превысить лимит времени на переработку сырья второго вида, третье ограничение и условие неотрицательности переменных самоочевидны.

 

1. Задания для самостоятельной работы

4.1. Сформировать блок-схему алгоритма решения поставленной задачи.

4.2. Разработать программу решения поставленной задачи в средеVisual Basic 6.0 или в любой другой среде (по выбору студента).

4.3. С использованием базовой технологии Excel 2000 сформировать таблицу исходных данных (взамен выполнения п. 4.2)

4.4. С использованием встроенных функций Excel 2000 произвести расчет и решение поставленной задачи оптимизации для пяти различных вариантов набора исходных данных с учетом поставленных ограничений

4.5. Представить полученные результаты в виде графиков и диаграмм.

 

Содержание

Содержание. 5

Введение. 6

Описание и построение модели. 8

Целочисленное линейное программирование. 8

Обоснование выбранного подхода к моделированию.. 8

Описание концептуальной модели. 9

Описание элементов и ограничений решаемой задачи. 10

Решение задачи. 11

Блок-схема алгоритма решения задачи. 11

Ввод данных. 12

Установка ограничений. 12

Ввод целевой функции. 13

Поиск решения. 14

Построение графиков. 19

Анализ полученных данных. 21

Заключение. 22

Список используемой литературы.. 23

Введение

Численные экономические задачи ещё с давних времён были направлены на максимизацию прибыли при минимуме затрат. Задачи такого типа направлены, как правило, на максимальную прибыль от реализации товаров, работ, услуг(ТУР) или же, как в “транспортной задаче“– минимизации издержек. В любом случае нужно найти max или min, или так называемый экстремум. Задачи такого рода называют задачами линейного программирования, которые весьма широко применяются в экономических расчетах, а также в принятии управленческих решений.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

 

Цели выполняемой работы:

1. Получить практические знания, при применении методов решения задач линейного программирования.

2. Построение модели.

3. Решение задачи методом линейного программирования.

4. Анализ модели.

 

Для решения задач линейного программирования используются методы:

1. Графический метод решения задачи линейного программирования.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.

2.1. Отыскание базисного решения – некой точки А(рис.2) лежащей на функции;

2.2. Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями;

2.3. Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.

3. Метод полного перебора базисных решений задачи линейного программирования.

4. Нецелочисленное линейное программирование.

5. Целочисленное линейное программирование.

При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.

Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.

Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.

 

Для решения данной задачи необходимо применить ЦЛП-метод, т.к. при расчётах используются только целочисленные переменные.

 

Используемые источники:

• Различная литература, затрагивающая проблему (указана в списке литературы);
• Конспект лекций по курсу экономико-математического моделирования;
• Теоретический базис лабораторного практикума;
• Интернет ресурсы.