Group of transformations, continuous group, Lie group

 

Часто бывает полезно рассматривать преобразования, в результате которых некоторая структура остается в целом неизменной, или инвариантной, тогда как ее части обычно перемещаются – другими словами, преобразования симметрии или просто симметрии этой структуры – не только по отдельности, но и все вместе. Такие совокупности преобразований симметрии называются группами преобразований.

Группы преобразований бывают очень разнообразны. К примеру, некоторые позволяют плавное изменение, некоторые дискретны. (См. Непрерывная симметрия.) Но все группы объединяет несколько важных свойств:

• Мы можем комбинировать два преобразования симметрии, производя сначала одно, а затем другое. В результате такого объединенного преобразования структура также останется инвариантной, следовательно, оно тоже задает преобразование симметрии.

• Для каждого преобразования симметрии существует противоположное ему, или (как обычно говорят) обратное, преобразование. Если исходное преобразование превращает x в x', то обратное ему преобразование превращает x' в x.

• Если мы скомбинируем некоторое преобразование с обратным ему преобразованием (в любом порядке), следуя нашему первому правилу, то результатом будет тривиальное тождественное преобразование, которое «превращает» любой x в себя же.

 

Норвежский математик Софус Ли начиная с конца XIX в. глубоко изучал группы преобразований, которые позволяют плавное изменение и могут быть исследованы методами дифференциального и интегрального исчисления. В его честь эти группы симметрий называют группами Ли. Группы симметрий для кругов, сфер и их обобщений на случай большего числа измерений, состоящие из всех преобразований, которые мы можем получить путем комбинации вращений вокруг всех возможных осей и на все возможные углы, называются группами Ли.

Эти группы вращений, так же как и другие группы Ли, находят большое применение в современной квантовой физике. Прежде всего группы симметрий пространств свойств, основанных на различных видах зарядов, которые являются краеугольными для наших Главных теорий сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий, являются группами Ли – так же как и более обширные группы симметрии, на которые мы рассчитываем в нашей попытке объединить эти теории. См. также Локальная симметрия.

 

Давление

Pressure

 

Это понятие возникает, когда мы обсуждаем силы применительно к непрерывным средам (в противоположность частицам). Каждая часть сплошной среды прилагает силы к ее соседним частям, действуя на разделяющих их поверхностях. (Эти поверхности вводятся как воображаемые объекты и не обязаны быть реальными границами.) Давление определяется в таких случаях как сила, действующая на единичную площадь.

 

Дальнодействие

Action at a distance

 

Дальнодействие – это особенность ньютоновской теории гравитации: тела гравитационно воздействуют на другие, даже сильно удаленные тела, мгновенно через пустое пространство. Самому Ньютону не нравилась эта особенность его теории, но математические выкладки привели его именно к этому. Успех теории Ньютона, основанной на принципе дальнодействия, был столь абсолютным, что эта идея была молчаливо принята и первыми исследователями электричества и магнетизма.

Фарадей разработал альтернативный взгляд, согласно которому электрические и магнитные силы передаются как давление посредством заполняющих пространство флюидов. Максвелл развил интуитивные догадки Фарадея математически и таким образом пришел к флюидной или, иначе, полевой теории электромагнетизма, которой мы пользуемся по сей день.

Астрология постулирует мощное дальнодействие, но, мягко выражаясь, нет никаких достоверных свидетельств ее правомерности.

 

Действительные числа

Real numbers

 

На интуитивном уровне действительные числа – это числа, которые допускают непрерывное изменение. Подобно тому, как натуральные числа естественно возникают в процессе счета предметов, действительные числа действительно возникают в процессе измерения длины.

Длины могут быть разделены на очень маленькие кусочки. Поскольку не существует очевидного предела этому процессу деления, математики предполагают в качестве рабочей гипотезы, что никакого предела нет. Как эта гипотеза отражена в числах? Поскольку каждая последующая цифра в десятичной дроби по мере движения направо отвечает все более мелкому разбиению величины, напрашивается мысль, что нам следует допустить бесконечные десятичные дроби.

Ньютон был чрезвычайно впечатлен бесконечными десятичными дробями, которые в его время были свежим изобретением. Они послужили прямым источником вдохновения для его работ с бесконечными рядами и в исчислении бесконечно малых величин:

 

Меня удивляет поэтому, что никто… не направил своего внимания на приложение к буквам принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям. В самом деле, это учение о буквенных выражениях находится в таком же отношении к алгебре, как учение о десятичных дробях к обычной арифметике, и кто учитывает аналогию, существующую между десятичными числами и бесконечно продолжающимися алгебраическими выражениями, сможет тогда легко изучить сложение, вычитание, деление, умножение и извлечение корней[98].

 

Другими словами, Ньютон считал своим основным нововведением то, что он решился использовать вместо конкретных чисел неизвестное x алгебры в таких же разложениях, как и для десятичных дробей. Самые глубокие достижения гения часто кажутся выросшими, как в данном случае, из детской непосредственности и желания позабавиться.

«Десятичные числа, которые продолжаются бесконечно» – отличное описание действительных чисел, и оно соответствует тому, как большинство математиков и по существу все физики обычно думают о них. Но это не строгое определение. Проблема создания точного определения состоит в том, чтобы зафиксировать главную идею о том, что нечто «продолжается бесконечно», используя предложения, которые бесконечно не продолжаются. На самом деле довольно трудно дать строгое определение действительных чисел. Это удалось сделать только в конце XIX в., хотя люди использовали действительные числа в течение сотен лет до того.

В современной физике благодаря открытию атомов и странностям квантовой теории корректность гипотезы о том, что не существует предела для деления отрезка, совсем не очевидна. Однако действительные числа продолжают обеспечивать интеллектуальный материал, из которого отчеканены наши Главные теории. Почему? Это кажется очень странным, по крайней мере мне. (См., чтобы узнать об этом, Бесконечно малые.)