Граница абсолютной погрешности приближенного значения числа

Граница абсолютной погрешности приближенного значения числа

В практической деятельности людей постоянно встречаются как точные, так и приближенные значения величин. Числа, выражающие точные и приближенные значения величин, будем для краткости называть соответственно точными и приближенными числами. В математике нет определения точного и приближенного числа, но существуют критерии их распознавания. Приближенные числа получаются в результате измерений, при счете большого числа предметов. Всякий научный опыт и эксперимент, всякое измерение на местности или в лабораторных условиях порождают приближенные числа, так как показания различных приборов мы не можем определить точно. Поэтому мы должны научиться оценивать точность приближенных чисел и выполнять арифметические действия над ними. Знания и умения, полученные при изучении этой темы, могут пригодиться при выполнении лабораторных работ по физике, при выполнении практических работ по специальным дисциплинам, при разработке курсовых и дипломных проектов.

 

Буквами греческого алфавита x, y, z, … будем обозначать точные значения величин. Буквами латинского алфавита a, b, c, … будем обозначать приближенные значения величин.

x, y, z, … - точные значения величин.

a, b, c, … - приближенные значения величин.

х» a - a приближенное значение х.

Вывод: Критерии распознавания приближенных чисел: приближенные числа получаются при измерениях, при взвешиваниях, при счете большого числа предметов, при действиях с приближенными числами.

Пример:

В шестиугольнике девять диагоналей. Число 9 - точное.

Расстояние от станции Москва до станции Санкт-Петербург Октябрьской железной дороги составляет 651 км. Число 651 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные приборы не точны, с другой стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.

Тормозной путь автомобиля равен расстоянию, пройденному автомобилем с момента нажатия тормоза до полной остановки автомобиля. Тормозной путь автомобиля есть величина приближенная.

 

Не все приближенные значения обладают одинаковой близостью к точному значению величины. Для оценки точности приближенного значения величины рассматривается разность между точным и приближенным значениями этой величины.

 

Определение: Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближенного значения этой величины.

х» a - a приближенное значение х.

х - a -погрешность приближения.

Пример:

Картридж принтера рассчитан на 800 листов. При экономном режиме удалось распечатать 830 листов. Какова погрешность приближения?

х» a;

х = 800; a = 830 - приближенное значение с избытком;

х - a = 800 - 830 = - 30; х - a = - 30; х - a < 0.

В - приближенное значение напряжения с точностью до 3 B, то есть

220 - 3 £ U £ 220 + 3;

217 £ U £ 223.

Нижняя граница U; 223 - верхняя граница U.

Упражнения:

1. Определить абсолютную погрешность приближенного значения а величины х, если:

а) х = 245,2; а = 246; в) х = 0,135; а = 0,13512;

б) х = 348; а = 347,989; г) х = 854000; а = 853997.

2. Граница абсолютной погрешности приближенного значения 386 числа х равна 0,5. Указать границы, в которых заключено число х.

3. Определить точность приближенного равенства х » a, если:

х = 1,23156…; а = 1,23;

4. Граница абсолютной погрешности приближенного значения а числа х равна h. Найдите границы, в которых заключено число х, если:

а) а = 23; h = 0,5; в) а = - 2,32; h = 0, 1;

б) а = 1,5; h = 0,01; г) а = 4,55; h = 0, 05.

5. Какие из данных величин являются точными, какие приближенными:

1) Латинский алфавит содержит 26 букв.

2) Старые русские меры длины: 1 верста = 1066,7 м, 1 сажень = 2,1336 м,

1 аршин = 71,12 см, 1 вершок = 4,450 см.

3) Сумма углов треугольника равна 180º.

4) Технические данные вертолета «Ми - 8»:

а) число пассажирских мест – 28;

б) масса ненагруженного вертолета – 7,5 тонны;

в) диаметр несущего винта – 21,3 м;

г) дальность полета – 650 км;

д) число газотурбинных двигателей – 2;

е) высота вертолета – 4,7 м.

2. Относительная погрешность приближенного значения числа.

Граница относительной погрешности приближенного значения числа

 

Абсолютнаяпогрешность (граница абсолютной погрешности) недостаточно характеризует качество приближения. При сравнении двух или нескольких приближенных значений недостаточно знать их абсолютные погрешности.

 

Пример: Какое измерение выполнено лучше?

l₁ = 20 ± 0,2 см – длина тетради, h₁ = 0,2 см;

l₂ = 500 ± 0,2 см – длина комнаты, h₂ = 0,2 см.

Решение:

Относительная погрешность приближения показывает, какую часть или сколько процентов составляет абсолютная погрешность от приближенного значения числа.

Х» 950,0 (правила 1, 2)

2. х = 0,075 ± 0,000005

h = 0,000005 £ 0,00001, следовательно, в записи числа 0,075 все цифры являются верными, а так же цифры разрядов 0,0001, 0,00001 будут верными.

Х» 0,07500 (правила 1, 2)

3. х = 746000000 ± 5000

Цифра 0 в 1; h = 5000 £ 1, 0 – сомнительная цифра;

Цифра 0 в 10; h = 5000 £ 10, 0 – сомнительная цифра;

Цифра 0 в 100; h = 5000 £ 100, 0 – сомнительная цифра;

Цифра 0 в 1000; h = 5000 £ 1000, 0 – сомнительная цифра;

Цифра 0 в 10000; h = 5000 £ 10000, 0 – верная цифра.

Следовательно, 0, 6, 4, 7 – в. ц.

х» 74600 × 10 ⁴ (правила 1, 3)

 

Если приближенное значение числа дано без указания границы абсолютной погрешности, то ее можно определить по записи этого приближенного значения, используя определение верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.

 

Пример:

1. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 3,14.

Решение:

Так как в записи данного приближенного числа все цифры верные, то абсолютная погрешность не должна превосходить единицы разрядов этих цифр, то есть D х £ 1, D х £ 0,1, D х £ 0,01.

Стандартный вид числа

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа, как приближенные, так и точные, то есть отбрасывать одну или несколько последних цифр. Существует три способа округления чисел.

 

Округление с недостатком: Чтобы округлить число до единиц п -ого разряда с недостатком, отбрасывают все его цифры после п -ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра не изменяется.

 

Округление с избытком: Чтобы округлить число до единиц п -ого разряда с избытком, отбрасывают все его цифры после п -ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример:

Округлить данные числа до указанного разряда, используя способы округления с недостатком и избытком. Найти ошибку округления. Какой способ округления лучше? 1. х = 3 9,2; 2. х = 472, 3 87; 3. х = 19 2 6; 4. х = 83 5 19,4.

Решение:

1. 3 9,2» 39; D х₁ = ½3 9,2 - 39½ = 0,2;

3 9,2» 40; D х₂ = ½3 9,2 - 40½ = 0,8;

D х₁ < D х₂, следовательно, округление с недостатком числа 39,2 лучше.

2. 472, 3 87» 472,3; D х₁ = ½472,387 - 472,3½ = 0,087;

472, 3 87» 472,4; D х₂ = ½472,387 - 472,4½ = 0,013.

D х₂ < D х₁ , следовательно, округление с избытком числа 472,387 лучше.

3. 19 2 6» 1920; D х₁ = ½1926 - 1920½ = 6;

19 2 6» 1930; D х₂ = ½1926 - 1930½ = 4.

D х₂ < D х₁ , следовательно, округление с избытком числа 1926 лучше.

4. 83 5 19,4» 83500; D х₁ = ½83519,4 - 83500½ = 19,4;

83 5 19,4» 83600; D х₂ = ½83519,4 - 83600½ = 80,6.

D х₁ < D х₂, следовательно, округление с недостатком числа 83519,4 лучше.

 

Округление с наименьшей погрешностью: Чтобы округлить число до единиц п -ого разряда с наименьшей погрешностью, отбрасывают все его цифры после п -ого разряда или заменяют их нулями. При этом если первая округляемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется; а если первая округляемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Замечание:

Граница абсолютной погрешности приближенного значения числа

В практической деятельности людей постоянно встречаются как точные, так и приближенные значения величин. Числа, выражающие точные и приближенные значения величин, будем для краткости называть соответственно точными и приближенными числами. В математике нет определения точного и приближенного числа, но существуют критерии их распознавания. Приближенные числа получаются в результате измерений, при счете большого числа предметов. Всякий научный опыт и эксперимент, всякое измерение на местности или в лабораторных условиях порождают приближенные числа, так как показания различных приборов мы не можем определить точно. Поэтому мы должны научиться оценивать точность приближенных чисел и выполнять арифметические действия над ними. Знания и умения, полученные при изучении этой темы, могут пригодиться при выполнении лабораторных работ по физике, при выполнении практических работ по специальным дисциплинам, при разработке курсовых и дипломных проектов.

 

Буквами греческого алфавита x, y, z, … будем обозначать точные значения величин. Буквами латинского алфавита a, b, c, … будем обозначать приближенные значения величин.

x, y, z, … - точные значения величин.

a, b, c, … - приближенные значения величин.

х» a - a приближенное значение х.

Вывод: Критерии распознавания приближенных чисел: приближенные числа получаются при измерениях, при взвешиваниях, при счете большого числа предметов, при действиях с приближенными числами.

Пример: