Цилиндрическая нормальная равноугольная проекция Меркатора на касательном цилиндре.

В ее основе лежит условие равноугольности, когда в любой точке показатели m и n равны. Для достижения этого условия при построении картографической сетки промежутки между параллелями с удалением от экватора искус­ственно раздвигают.

Представим себе, что параллели с глобуса переносят при проектировании на касательный цилиндр. При этом каждая из них растягивается пропорционально секансу широты параллели. (Секанс – это тригонометрическое понятие, выражающее луч (радиус) круга, протянутый до конца касательной черты за окружность)

В такой же мере растет показатель искажения длин по параллелям n. Чтобы в каждой точке карты показатель искажения длин по меридиану был ему равен, нужно и дуги меридианов также растягивать на каждом участке пропорционально секансу широты.

Полученная сетка обладает следующими свойствами. В ней нет искажений углов, форм малых фигур. Линия нулевых искажений всех других видов — экватор. С удалением от него искажения возраста­ют. Так, на широтах 45°, 60° и 75° показатели искажения длин соответственно равны 1,4; 2,0 и 3,85 (как и в цилиндри­ческой квадратной проекции). Показатели искажения площадей на этих же широтах составляют квадраты приведенных чисел, т. е. равны (с округлением) 2,4 и 15.

Эту неперспективную проекцию разработал в 1569 г. фламан­дец Герард Кремер, известный под фамилией Меркатор. В проекции Меркатора на удаленных от экватора территориях сильно искажают­ся длины и площади. Несмотря на это, длительное время проекция Меркатора применялась для построения мировых карт.

Особенно широко проекция используется для создания морских карт с самым разным охватом территории — от мировых карт до карт отдельных заливов и портовых акваторий. Это связано с замечательным свойст­вом картографической сетки, построенной в проекции Меркатора, изображать прямой линией локсодромию любого направления.

Локсодромией называют линию на поверхности земного эллипсо­ида с постоянным румбом, т. е. образующую на всех участках один и тот же угол с пересекаемыми меридианами. Пользуясь картой, составленной в проекции Меркатора, штурману корабля очень легко установить направление его пути по локсодромии. Для этого до­статочно по линейке прочертить прямую линию между портами отправления и прибытия. Напомним, что кратчайшее расстояние на поверхности земного шара направлено по ортодромии. Но движение по ортодромии связано с необходимостью постоянно менять курс корабля, поэтому рассчитанный по ортодромии путь делят на участки, на каждом из которых корабль направляют по локсодромии.

Мировые карты в проекции Меркатора можно встретить в учеб­ных атласах, изданных в России до 1917 г.

 

Цилиндрическая нормальная произвольная проекция Н. А. Урмаева. Советский геодезист Н. А. Урмаев в 1949 г. разработал цилин­дрическую нормальную проекцию, у которой промежутки по меридиа­нам между параллелями, увеличиваясь от экватора, растягиваются не так сильно, как в проекции Меркатора. Этим достигают­ся меньшие искажения площадей, конечно, за счет потери свойстваравноугольности. Об этом можно судить по величине показателей искажения площадей, которые на параллелях 45°, 60° и 75° соот­ветственно равны 1,6; 2,8 и 6,5. По сумме свойств проекция яв­ляется произвольной. В ней построены карты часовых поясов в Географическом атласе для учителей средней школы и в Учебном атласе мира.

Цилиндрическая косая произвольная проекция М. Д. Соловьева. Картографическая сетка в этой проекции строится путем вычисле­ний на косом секущем цилиндре, одна из линий сечения которого с поверхностью глобуса (шара) по малому кругу касается паралле­ли 60° с.ш. в точке ее пересечения с меридианом 100° в.д. (принимае­мым за средний меридиан карты). Ось цилиндра составляет с осью глобуса угол в 15°.

На развернутом цилиндре малый круг сечения глобуса изобра­жается прямой линией, не совпадающей с параллелью. Меридианы и параллели в этой проек­ции — кривые линии; проме­жутки по среднему (прямо­му) меридиану несколько увеличиваются к северу от линии малого круга сечения и уменьшаются к югу от нее. Северный полюс изобража­ется точкой.

На линии малого круга (перпендикулярной к средне­му меридиану) искажений нет. К северу от этой линии частные масшта­бы площади больше главно­го; показатель искажения Р в районе архипелага Север­ная Земля доходит до 2,0. К югу от линии нулевых ис­кажений показатель Р мень­ше 1, у южных границ бывшего СССР равен 0,7.

Проекция была разработана в 1937 г. для карт СССР. До не­давнего времени ее применяли для карт СССР, предназначенных для работы с учениками начальных классов. Сравнительно с дру­гими проекциями для карт СССР она обладает заметными искаже­ниями, но отличается многими методическими достоинствами. Форма сетки и особая компоновка карты в проекции Соловьева создают впе­чатление сферичности поверхности СССР и окружающих частей по­верхности Земли. Кроме того, на ней изображается весь советский сектор Арктики, вплоть до точки Северного полюса. Это позволя­ет по карте определить, какие территории в СССР расположены севернее, какие южнее. В 80-х годах проекция была заменена на более современную.

Цилиндрические поперечные проекции используются преимуще­ственно для построения крупномасштабных карт. Например, для со­ветских топографических карт применяют поперечно-цилиндриче­скую равновеликую проекцию Гаусса-Крюгера.

 

 

АЗИМУТАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Рассмотрим конкретные виды азимутальных проекций с преимущественным вниманием к тем из них, которые используются в учебной картографии. Различают перспективные и неперспективные азимутальные проекции.

Внешний облик картографических сеток и распределение иска­жений в перспективных азимутальных проекциях зависят от поло­жения центра проектирования, т. е. точки пространства, от которой исходят проектирующие лучи. Рассмотрим эти различия на при­мере нормальных картографических сеток. Центр проек­тирования с поверхности шара (глобуса) на касательную плоскость Р может быть расположен в самом центре шара (К₁), на его поверх­ности, в точке, противоположной точке касания картинной плос­кости и глобуса (К₂); она может быть также вне шара, на продолже­нии полярной оси глобуса (Кз) и, наконец, на продолжении той же оси в бесконечности (К₄). Рис.

Если точка К расположена в центре шара, проекция называется центральной, а ее нормальная сетка имеет вид, изображенный в ле­вой половине рисунка. Хотя на рисунке изображена лишь 1/4 часть получаемой картографической сетки, ее особенности отчетливо видны. По значительному увеличению отрезков меридианов на этой сетке можно заключить, что показатели искажения длин по радиусам (по меридианам) m с удалением от центра сильно возрастают. Не­сколько менее, но так же интенсивно увеличиваются радиусы парал­лелей на проекции, а следовательно, и показатели искажений длин n. Эти искажения влекут за собой и очень большие искажения пло­щадей. В каждой точке карты w не равно 0°, поэтому и формы ис­кажены. Все эти виды искажения иллюстрируют эллипсы искаже­ний, а по сумме свойств проекцию относят к произвольным.

Проекция примечательна тем, что является одной из древней­ших. Впервые ее применил для карты звездного неба в IV в. до н. э. древнегреческий философ Фалес. Если с Земли рассматривать небесный свод, то кажется, что находишься в центре сфериче­ской поверхности, т. е. видишь небесные светила в центральной проекции.

Cтереографическаякартографическая сетка При проектировании из точки на поверхности шара, противоположной месту касания картинной плоскости (К₂), получается стереографическая картографическая сетка (на правой половине рис.). По своим свойствам эта сетка равноугольная, а искажения длин и площадей у нее меньше, чем в проекции центральной. В пределах карты полушария в каж­дой точке m = n, изменяясь от 1 в центре до 2 на краю. Соответ­ственно показатель искажения площадей Р увеличивается в том же направлении от 1 до 4.

Ортографическая картографическая сетка образуется при про­ектировании из бесконечности, когда проектирующие лучи парал­лельны друг другу (и полярной оси глобуса). Как видно на рисун­ке промежутки между параллелями в этой проекции сильно уменьшаются к краю карты полушария. Следовательно, показатели искажения длин по меридианам также в этом направлении уменьша­ются (теоретически они изменяются от 1 в центре до 0 на краю кар­ты). В то же время радиусы параллелей на проекции равны их радиусам на глобусе, т. е. длина параллелей при проектировании не изменяется и вдоль них нет искажения длин (n =1).

Проекция имеет искажения углов, которые сильно возрастают к кра­ям карты. По сумме свойств про­екция относится к произвольным, в частности к равнопромежуточным по направлениям, перпенди­кулярным радиусам.

Чаще других применяются поперечные и косые ортографические картографические сетки. Так, в географическом атласе для 6-го класса на схеме, показывающей различия в падении сол­нечных лучей на земную поверхность, карты земных полушарий построены в ортографической поперечной проекции; при показе годового движения Земли вокруг Солнца четыре ее изображения представлены в косой ортографической проекции.

 

Из неперспективных азимутальных проекций рассмотрим две, часто применяемые в учебной картографии, — азимутальную равно-промежуточную Постеля и азимутальную равновеликую Ламберта.

Азимутальная равнопромежуточная проекция Постеля. Нормаль­ная сетка в этой проекции имеет изображение полюса в центре карты, меридианы у нее прямые, под равными углами расходящиеся от точки полюса, а параллели — дуги концентри­ческих окружностей с центром в точке полюса. Сетку строят при условии, что главный масштаб карты должен сохраняться по всем радиусам, в данном случае — по меридианам. Это условие реали­зуется, если отрезки меридианов между соседними параллелями будут равны и представлять выпрямленные дуги меридианов. Вы­числение размеров этих отрезков выполняют по формуле:

2pR ·Dj

АА' = 360° · М

где R — средний радиус Земли (6370 км); Dj — разница широт соседних параллелей, М — знаменатель главного масштаба карты.

В этой же проекции можно построить поперечную картографическую сетка в азимутальной равнопромежуточной проекции Постеля, а также косую сетка в этой же проекции. Все три варианта проекции (нормальная, поперечная и ко­сая сетки) имеют общий характер распределения искажений. У всех точка нулевых искажений находится в центре карты. В нормальной про­екции она при этом совпадает с изоб­ражением полюса, в поперечной — |находится в точке пересечения экватора со средним меридианом карты; в косой проекции Постеля также на среднем меридиане, но в точке, расположенной между эква­тором и полюсом (обычно посереди­не карты).

В этой проекции масштабы длин по радиусам от точки нулевых иска- жений не изменяются, а по направлениям перпендикулярным радиусам, они возрастают от центра к краям карты полушария примерно в полтора раза. Указанные два на­правления и являются главными, причем по радиусам действует наименьший показатель искажения длин b = 1, а по направлениям, перпендикулярным радиусам, действует наибольший показатель а, который изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полу­шария.

Если в нормальной сетке главные направления совпадают с линиями картографической сетки (когда а — n, b = m), то в двух других вариантах этого совпадения в общем нет. Исключением слу­жит в обоих случаях лишь средний меридиан карты (вдоль него действует показатель b), а в поперечной проекции также линия экватора.

Площади и углы в проекции Постеля и скажаются. Показатель искажения площадей р = a - b изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полушария. В общем, азимутальная проекция Постеля относится к произвольным, равнопромежуточным по радиусам из центра карты.

Проекция Постеля была разработана автором в XVI в. Ее при­меняют для построения карт северного (южного) полушария или территорий с меньшим охватом, например карт Арктики и Антарк­тики. В этой проекции в географическом атласе для 8 класса построе­ны карты Антарктиды; в Географическом атласе для учителей сред­ней школы и в Учебном атласе мира (1979 г.) — карты Арктики и Антарктиды. В поперечной проекции Постеля строили в прошлом карты восточного и западного полушарий.