Решение задачи при симметричной информации об усилиях

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине:	«Методы оптимальных решений»
	(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема:	Решение задачи нелинейной оптимизации на примере модели
	агентских отношений

Автор:	студент гр.	ЭГ-18-2				/Стрельников А. И./
				(подпись)		(Ф.И.О.)
ОЦЕНКА:
Дата:

 

ПРОВЕРИЛ:
Руководитель работы:		доцент				/Чиргин А. В./
				(подпись)		(Ф.И.О.)

 

 

 

Санкт-Петербург

2020

АННОТАЦИЯ

Данная работа направлена на изучение математического программирования в рамках изучения дисциплины «Методы оптимальных решений». Для этого нам представлена задача из области теории агентских отношений. Задачу будем решать несколькими способами, в условиях и симметричной и ассиметричной информации. Способы, которые будут использованы следующие методы: графический, аналитический, с помощью теоремы Куна-Таккера и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения».

Пояснительная записка выполнена средствами текстового редактора Microsoft Word и содержит 31 страницу печатного текста, 22 рисунка, 44 формулы и 3 таблицы. Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка использованной литературы.

ABSTRACT

This work is aimed at studying mathematical programming within the framework of studying the discipline "Methods of optimal solutions." For this purpose we are presented with a task from the field of agency relations theory. The task will be solved in several ways, in conditions of both symmetrical and asymmetric information. Methods to be used include graphical, analytical, Kuhn-Tucker theorem, and MS Excel Solution Finder.

The explanatory note is made by Microsoft Word text editor and contains 31 pages of printed text, 22 figures, 44 formulas and 3 tables. The work consists of an introduction, four sections, an opinion and a list of used literature.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение4

1 Решение задачи при симметричной информации об усилиях5

2 Решение задачи при ассиметричной информации об усилиях10

3 Имитационное моделирование контракта20

3.1 Решение при стимулирующем контракте21

3.2 Решение при отсутствии стимулирующего контракта22

4 Проверка решения задачи с помощью теоремы Куна-Таккера25

Заключение30

Список использованной литературы31

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа, направленная на получение и углубление знаний в области нелинейной оптимизации на примере модели агентских отношений», позволит студентам освоить навыки математического программирования с использованием средств MS Excel. Решение задачи будет произведено несколькими способами: аналитическим, графическим и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения». Особенностью данной работы является объект изучения: нелинейная оптимизация, подразумевающая наличие нелинейной функции.

В реальной жизни подобная задача может решаться в рамках повышения мотивации персонала, определения достойного уровня вознаграждения, повышения эффективности системы премий в сфере управления персоналом [4].

Цель работы заключается в решении задачи нелинейной оптимизации в рамках теории агентских отношений, получении знаний и навыков в области нелинейного программирования.

Чтобы достичь поставленной цели, нужно решить следующие задачи:

a) найти решение задачи нелинейного программирования в условиях ассиметричной информации графическим и аналитическим способами;

b) найти решение задачи при ассиметричной информации об усилиях графическим способом и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения»;

c) провести имитационное моделирование при симметричной и ассиметричной информации об усилиях;

d) проверить решение задачи нелинейной оптимизации по теореме Куна – Таккера и сравнить полученные результаты.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе решения поставленной задачи удалось прийти к определенным выводам. Значения, полученные разными способами, сошлись, это значит, что задача решена правильно. Проверено решение с помощью теоремы Куна-Таккера.

В процессе планомерного решения представленной задачи можно прийти к следующим выводам:

a) зарплата агента составит 1,08 при минимальных усилиях и 1,398 при максимальных. Заработные платы предусмотрены при отсутствии стимулирующего контракта;

b) заработная плата агента при стимулирующем контракте составит 0,9 при максимальных усилиях в неудачном периоде и 1,6 при максимальных усилиях в удачном периоде;

c)  прибыль, которую может получить фирма при минимальных усилиях агента, равна 45,5. А при максимальных усилиях прибыль будет равна 38,9. Кроме того, при отсутствии стимулирующих выплат прибыль принципала будет меньше, что говорит о выгодности заключения стимулирующего контракта и для агента и для принципала.

Цель работы, которая заключалось в решении задачи нелинейной оптимизации в рамках теории агентских отношений, получении знаний и навыков в области нелинейного программирования, достигнута.

Задачи, которые были заявлены во введении, реализованы:

a) найдено решение задачи нелинейного программирования в условиях ассиметричной информации графическим и аналитическим способами;

b) найдено решение задачи при ассиметричной информации об усилиях графическим способом и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения»;

c) проведено имитационное моделирование при симметричной и ассиметричной информации об усилиях;

d) проверено решение задачи нелинейной оптимизации по теореме Куна – Таккера и сравнить полученные результаты.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1)  Беляев В.В., Чиргин А.В. Нелинейное программирование. Методические указания для выполнения лабораторных работ для студентов направлений подготовки бакалавриата 080100 и 080200/ НМСУ «Горный». Сост. СПб, 2013., 63с.

2)  Кузьминов Я. И., Бендукидзе К. А., Юдкевич М. М. Курс институциональной экономики: институты, сети, транзакционные издержки, контракты. Учебник для студентов ВУЗов. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. – 442 с.

3) Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL 7. 0. - СПб. 1997. - 384с.

4)  Тамбовцев В. Л. Введение в экономическую теорию контрактов: учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2004. -144с.

5)  Юдкевич М. М., Подколзина Е. А., Рябинина А. Ю. Основы теории контрактов: модели и задачи: учеб. пособие. М.: ГУ ВШЭ, 2002. 352с.

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине:	«Методы оптимальных решений»
	(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема:	Решение задачи нелинейной оптимизации на примере модели
	агентских отношений

Автор:	студент гр.	ЭГ-18-2				/Стрельников А. И./
				(подпись)		(Ф.И.О.)
ОЦЕНКА:
Дата:

 

ПРОВЕРИЛ:
Руководитель работы:		доцент				/Чиргин А. В./
				(подпись)		(Ф.И.О.)

 

 

 

Санкт-Петербург

2020

АННОТАЦИЯ

Данная работа направлена на изучение математического программирования в рамках изучения дисциплины «Методы оптимальных решений». Для этого нам представлена задача из области теории агентских отношений. Задачу будем решать несколькими способами, в условиях и симметричной и ассиметричной информации. Способы, которые будут использованы следующие методы: графический, аналитический, с помощью теоремы Куна-Таккера и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения».

Пояснительная записка выполнена средствами текстового редактора Microsoft Word и содержит 31 страницу печатного текста, 22 рисунка, 44 формулы и 3 таблицы. Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка использованной литературы.

ABSTRACT

This work is aimed at studying mathematical programming within the framework of studying the discipline "Methods of optimal solutions." For this purpose we are presented with a task from the field of agency relations theory. The task will be solved in several ways, in conditions of both symmetrical and asymmetric information. Methods to be used include graphical, analytical, Kuhn-Tucker theorem, and MS Excel Solution Finder.

The explanatory note is made by Microsoft Word text editor and contains 31 pages of printed text, 22 figures, 44 formulas and 3 tables. The work consists of an introduction, four sections, an opinion and a list of used literature.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение4

1 Решение задачи при симметричной информации об усилиях5

2 Решение задачи при ассиметричной информации об усилиях10

3 Имитационное моделирование контракта20

3.1 Решение при стимулирующем контракте21

3.2 Решение при отсутствии стимулирующего контракта22

4 Проверка решения задачи с помощью теоремы Куна-Таккера25

Заключение30

Список использованной литературы31

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа, направленная на получение и углубление знаний в области нелинейной оптимизации на примере модели агентских отношений», позволит студентам освоить навыки математического программирования с использованием средств MS Excel. Решение задачи будет произведено несколькими способами: аналитическим, графическим и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения». Особенностью данной работы является объект изучения: нелинейная оптимизация, подразумевающая наличие нелинейной функции.

В реальной жизни подобная задача может решаться в рамках повышения мотивации персонала, определения достойного уровня вознаграждения, повышения эффективности системы премий в сфере управления персоналом [4].

Цель работы заключается в решении задачи нелинейной оптимизации в рамках теории агентских отношений, получении знаний и навыков в области нелинейного программирования.

Чтобы достичь поставленной цели, нужно решить следующие задачи:

a) найти решение задачи нелинейного программирования в условиях ассиметричной информации графическим и аналитическим способами;

b) найти решение задачи при ассиметричной информации об усилиях графическим способом и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения»;

c) провести имитационное моделирование при симметричной и ассиметричной информации об усилиях;

d) проверить решение задачи нелинейной оптимизации по теореме Куна – Таккера и сравнить полученные результаты.

 

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРИ СИММЕТРИЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ УСИЛИЯХ

В первой главе будем решать задачу в условиях симметричной информации. Разберемся в теории контрактов и определимся в различиях между симметричной и асимметричной информацией.

Контракт предполагает наличие соглашение у двух (в нашем случае) сторон, в рамках которого один несет обязательства, а другой имеет определенные полномочия. Обе стороны преследуют свои цели, противоположные друг другу [5]. Таким образом, контракт выступает в качестве компромисса.

Цели агента и принципала ассиметричны, каждый стремится к своей цели. Кроме того, поступки сторон рациональны.

Стороны заключают контракт: базовый или стимулирующий. Контракт подразумевает наличие материального вознаграждения за работу агента.

Уровень усилий, прилагаемых агентом, может быть разный: низкий или высокий [3]. В условия симметричной информации агент определяет, с какими усилиями он будет работать, а принципал может этот уровень отследить.

Ассиметричная информация об усилиях предполагает, что агент устанавливает уровень усилий, а принципал не в состоянии его отследить. Принципал может предположить уровень усилий агента, исходя из удачности / неудачности периода. Так как по условию задачи это зависит от усилий агента. Таким образом, появляется стимулирующий контракт, который направлен на стремление принципала заставить агента работать с максимальной отдачей. В данном случае заработная плата агента будет зависеть от удачности / неудачности периода для компании.

У агента есть функция полезности, которая определяет, рационально ли ему выполнять работы. Минимальная полезность называется еще альтернативной. Меньше этого уровня агенту нецелесообразно работать на данной работе. Минимальная полезность работника равна 1,2.

S – уровень усилий, а w – заработная плата агента.

Функция полезности агента:

(1)

У принципала тоже есть функция, которая показывает его предрасположенность к максимизации прибыли.

Прибыль принципала зависит от уровня усилий агента. Чем усерднее работает агент, тем выше прибыль принципала.

В данном разделе я буду решать задачу при симметричной информации. Значит, агент сам выбирает свой уровень усилий, а принципал может отслеживать его. По условию задачи низкий уровень усилий , а . Альтернативная полезность работника .

Необходимо рассчитать, на какую заработную плату может рассчитывать агент в условиях симметричной информации при разном уровне усилий.

Рассчитаем заработную плату агента при минимальных усилиях:

(2)

Для того, чтобы агент не ушел на другую работу, его заработная плата должна быть не ниже 1,08. Эту ставку он получит при минимальном усердии.

Теперь рассчитаем ставку при максимальных усилиях.

(3)

Для того, чтобы агент прилагал максимальные усилия, его зарплата должна быть не ниже 1,398.

Основываясь на теории агентских отношений, усилия агента влияют на вероятность наступления удачного или неудачного периода для бизнеса. Если агент будет работать с минимальными усилиями, то с вероятностью 2/3 наступит неудачный период. Если же агент будет работать с максимальными усилиями, то вероятность наступления неудачного периода значительно уменьшится и будет равна 0,2. Данные представлены в таблице:

 

Таблица 1 - Доход принципала в зависимости от состояния рынка при низком уровне усилий агента

Период		неудачный	удачный
Доход фирмы	R	35	50
Вероятность	P	2/3	1/3

Таблица 2 - Доход принципала в зависимости от состояния рынка при высоком уровне усилий агента

Период		неудачный	удачный
Доход фирмы	R	35	50
Вероятность	P	0,2	0,8

Удачность или неудачность периода для компании может меняться в течение времени. Агент заинтересован в более высоких усилиях агента, потому что так вероятность наступления удачного периода для бизнеса будет выше.

Далее рассчитаем, какой средний доход получит фирма в зависимости от усилий агента.

(4)

Как можем видеть по расчетам, доход фирмы увеличивается при увеличении усилий агента.

Предположим, что функция полезности принципала представляет собой разность между доходом фирмы и заработной платой агенту. Тогда функция полезности принципала будет выглядеть следующим образом:

(5)

Рассчитаем прибыль фирмы при высоком и низком уровне усилий.

(6)

Таким образом, принципал заинтересован в более усердной работе агента. В условиях симметричной информации он может отслеживать качество работы агента.

Решим задачу графическим методом, чтобы убедиться в правильности нашего решения, полученного аналитическим методом. Для этого воспользуемся программой MS Excel.

Рисунок 1. Исходные данные для построения графика

В первом столбце приведены случайные значения зарплаты агента с шагом 0,3. Во втором столбце рассчитывалась полезность агента при минимальном уровне усилий, в третьем столбце приведены значения полезности агента при максимальных усилиях. В четвертом столбце показана минимальная полезность агента, которая равна 2.

Посмотрим на нашу таблицу в режиме отображения формул.

Рисунок 2. Исходные данные в режиме отображения формул

На основании этих данных был построен график, показывающий заработной платы агента от его усилий.

Рисунок 3. График соотношения заработной платы и усилий агента

После построения графика сделаю некоторые выводы:

a) значения ставок заработной платы при разных усилиях агента получились следующими: , ;

b) если ставка агента будет ниже 1,08, то агент предпочтет сменить место работы. При зарплате 1,398 и выше агент будет готов работать с высоким уровнем усилий;

c) таким образом, результаты сошлись, значит задача решена верно.

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРИ АССИМЕТРИЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ УСИЛИЯХ

В данной главе перед нами стоит задача в условиях ассиметричной информации. Это значит, что агент сам выбирает, с каким уровнем усилий он будет выполнять работу, а принципал в свою очередь не знает и не может отследить и проанализировать усилия агента.

В данной ситуации возникает необходимость заключить стимулирующий контракт, который в отличие от базового предполагает наличие премии. Принципалу выгодно заключать в данном случае стимулирующий контракт, так как путем предоставления вознаграждения агенту, он может рассчитывать на усердие работника и на максимизацию своего дохода [4].

Нам понадобятся обозначения.

Таблица 3 – Таблица условных обозначений

	функция полезности агента;
	функция полезности принципала;
	минимальный уровень функции полезности агента, при котором он не ищет новое место работы;
	уровень усилий агента;
	базовая заработная плата агента (в неудачный для фирмы период);
	доход фирмы;
	доход фирмы в удачный период при высоком уровне усилий агента;
	доход фирмы в неудачный период при высоком уровне усилий агента;
	доход фирмы в удачный период при низком уровне усилий агента;
	доход фирмы в неудачный период при низком уровне усилий агента;
	вероятность удачного периода для фирмы при высоком уровне усилий агента;
	вероятность неудачного периода для фирмы при высоком уровне усилий агента;
	вероятность удачного периода для фирмы при низком уровне усилий агента;
	вероятность неудачного периода для фирмы при низком уровне усилий агента;

Решать задача я буду двумя способами: графическим и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения».

Целевая функция:

(7)

Первое ограничение:

(8)

Будем рассматривать функцию полезности, как математическое ожидание функции полезности агента:

(9)

Выполним преобразование полученного неравенства в обобщенном виде:

(10)

Далее подставим функции полезности агента в полученное неравенство:

(11)

Примем правую часть неравенства за  и решим во втором столбце:

Рисунок 4. Выполнение вспомогательных расчетов

Тогда наше неравенство примет следующий вид:

(12)

Теперь выразим через :

(13)

 

Рисунок 5. Лист Excel расчетов по первому ограничению в режиме отображения формул

Построим график первого ограничения.

Рисунок 6. График первого ограничения

Второе ограничение примет вид:

(14)

Перейдем к математическим ожиданиям функции полезности агента при минимальном и максимальном уровне усилий агента, в удачный и неудачный период:

(15)

Переносим функцию полезности с базовой ставкой оплаты труда агента в правую часть, с премиальной ставкой – в левую часть:

(16)

Теперь раскроем правую часть неравенства:

(17)

Примем правую часть неравенства за В и рассчитаем в следующем столбце.

Рисунок 7. Расчет правой части неравенства (В)

Теперь наше неравенство выглядит следующим образом:

(18)

Вставляем в неравенство нашу функцию полезности:

(19)

Выражаем :

(20)

Теперь рассчитаем значения второго ограничения.

Рисунок 8. Расчет по второму ограничению

Далее строим график по второму ограничению.

Рисунок 9. График ограничений 1 и 2

Следующим шагом будет построение графика целевой функции. Для этого выразим целевую функцию, как функцию  от базовой ставки заработной платы агента :

(21)

Выразим , как функцию :

(22)

Теперь вводим формулу в нужный столбец и находим значения. 

Рисунок 10. Вычисление значений целевой функции

После выведения формул и расчета значений необходимо построить график целевой функции.

Рисунок 11. График решения задачи

По графику видно, что целевая функция касается ограничений в точке с координатами 0,9 и 1,6. Таким образом, решение задачи получилось следующим: , .

Теперь я решу задачу с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения». Целевая функция (функция полезности принципала):

(23)

Ограничения имеют вид:

(24)

Функция полезности агента:

(25)

Теперь решаем задачу с помощью «Поиска решений».

Рисунок 12. Данные для начала решения примера с высоким уровнем усилий агента

Посмотри на нашу таблицу в режиме отображения формул.

Рисунок 13. Таблица данных в режиме отображения формул

Целевая ячейка – Е12. Прибыль фирмы должна быть максимальной, поэтому выставляем, «равна максимальному значению». Изменяемые ячейки С3:D3.Ограничения должны быть следующими:

a) заработная плата не должна быть отрицательной;

b) полезность работника при максимальных усилиях должна быть больше полезности при минимальных;

c) полезность работника при максимальных усилиях должна быть больше минимальной полезности.

Рисунок 14. Диалоговое окно надстройки MS Excel «Поиск решения»

Решив задачу с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» результаты получились следующие: , .

Мы решили задачу двумя способами, результаты сошлись. Значения прибыли равно 45,5 при максимальных усилиях и 38,8 при минимальных.

Таким образом, найденные значения сошлись.