Лекция 17. Деревья и поиск в деревьях

Деревьями называются структуры данных следующего вида:

Элементы дерева называются вершинами. Вершина Tree^ называется корнем дерева, а всё множество вершин, связанных с некоторой вершиной с помощью одного из указателей называется поддеревом. Вершины, у которых все указатели равны nil, иногда называют листьями.

Подробнее мы рассмотрим вариант двоичного дерева, то есть такого, в котором каждая вершина имеет два поддерева (любое из них может оказаться пустым). Такие деревья оказываются очень удобными для решения задачи поиска, когда ключи для наших данных (например фамилии при поиске телефонных номеров) можно сравнивать на "=", "<" и ">". В каждую вершину дерева заносится элемент данных, причём делается это таким образом, чтобы для любой вершины все ключи данных (или сами данные в простейшем случае) из левого поддерева были меньше ключа этой вершины, а все ключи из правого – больше. Выполнения такого требования можно достигнуть при последовательном добавлении элементов (то есть построении дерева, начиная с «нуля», точнее с nil).

При описанном построении дерева поиск оказывается довольно простым делом: сначала мы сравниваем искомый ключ с ключом корня дерева. Если эти два ключа совпадают, то элемент найден, в противном случае выполняем поиск в левом поддереве, иначе – в правом, далее в выбранном поддереве вновь выполняем сравнение его корня с искомым ключом, и т. д. Этот процесс закончится либо когда мы нашли ключ, либо когда очередное поддерево оказалось пустым (это означает, что такой ключ в дереве отсутствует).

Для реализации двоичного дерева сначала рассмотрим его описание на Паскале:

type tNodePtr = ^tNode; {указатель на вершину}

tNode = record

   data: tMyData;

   left,right: tNodePtr;

end;

tTree = tNodePtr; {для доступа к дереву достаточно хранить

                   указатель на его корень}

Под данными (tMyData) будем понимать запись, состоящую из ключа, необходимого для сравнений, и собственно данных:

type tMyData = record

   key: tKey;

   data: tData;

end;

Для того чтобы реализовать действия с двоичным дерево, нам понадобятся так называемые рекурсивные процедуры. Функция или процедура называется рекурсивной, если она вызывает сама себя. Такой вариант рекурсии называется прямым. Кроме того, бывает и косвенная рекурсия, когда одна процедура вызывает другую, а та в свою очередь вызывает первую.

В качестве примера рассмотрим функцию для вычисления факториала, в которой мы заменим цикл (или итерацию) рекурсией. Её идея проста: если аргумент равен нулю, то возвращаем значение 1, в противном случае возвращаем значение аргумента, умноженное на факториал (то есть ту же функцию) от числа, на единицу меньшего. На Паскале всё это будет выглядеть следующим образом:

function factorial(x: byte): longint;

Begin

if x=0 then factorial:=1

else factorial:=x*factorial(x-1);

end;

Подобным образом можно применить рекурсию для вычисления n-го числа Фибоначчи, хотя этот способ требует много лишних действий:

function fib(n: integer): integer;

Begin

if n<=1 then fib:=1 else fib:=fib(n-1)+fib(n-2);

end;

Косвенная рекурсия может появиться, например при проверке правильности арифметических выражений. Подробно рассматривать этот вопрос сейчас мы не будем.

Возвращаясь к деревьям, заметим, что добавление элемента является рекурсивной процедурой:

procedure InsertNode(t: tTree; key: tKey; data: tData);

Begin

if t= nil then begin

new(t);

t^.key:=key;

t^.data:=data;

End

else if key<t^.key then InsertNode(t^.left,key,data)

else InsertNode(t^.right,key,data);

end;

После того как дерево построено, можно выполнять поиск (также рекурсивный):

function Search(t: tree; key: tKey; var data: tData): boolean;

{возвращает значение найден / не найден}

Begin

if t= nil then Search:=false

else if key = t^.key then begin

data:=t^.data;

Search:=true;

End

else if key<t^.key then Search:=Search(t^.left,key,data)

   else Search:=Search(t^.right,key,data);

end;

Легко заметить, что элементы данных, «уложенные» в двоичное дерево можно выводить в отсортированном порядке:

procedure Traversal(t: tTree); { обход дерева}

Begin

if t<> nil then begin

Traversal(t^.left);

writeln('Key:',t^.key,' Data:',t^.data);

Traversal(t^.right);

end;

end;