Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2020-05-07 | 127 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Платёжная матрица, чистые стратегии, цена игры
В матричной игре её правила определяет платёжная матрица.
Рассмотрим игру, в которой имеются два участника: первый игрок и второй игрок. Пусть в распоряжении первого игрока имеется m чистых стратегий, а в распоряжении второго игрока - n чистых стратегий. Поскольку рассматривается игра, естественно, что в этой игре есть выигрыши и есть проигрыши.
В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.
Составим платёжную матрицу:
.
Если первый игрок выбирает i -ю чистую стратегию, а второй игрок - j -ю чистую стратегию, то выигрыш первого игрока составит a ij единиц, а проигрыш второго игрока - также a ij единиц.
Так как a ij + (- a ij) = 0, то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.
Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает "орёл" или "решка". Если одновременно выпали "орёл" и "орёл" или "решка" или "решка", то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:
.
Задача теории игр - определить выбор стратегии первого игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний выигрыш, а также выбор стратегии второго игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний проигрыш.
Игры с матрицей 2 Х 2
Пусть дана игра с платёжной матрицей
|
Если эта матричная игра имеет седловую точку, то она имеет решение в чистых стратегиях, как показано в параграфах 1 и 2.
Если же игра не имеет седловой точки, то она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для этого простейшего случая матричной игры при её решениях путём сведения к задаче линейного программирования были найдены формулы стратегий игроков и цены игры, благодаря которым такая игра решается менее трудоёмким способом.
Формула для нахождения оптимальной смешанной стратегии первого игрока:
.
Формула для нахождения оптимальной смешанной стратегии второго игрока:
.
Формула для нахождения цены игры:
.
Пример 6. Дана матричная игра с платёжной матрицей
.
Найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.
Решение. Оптимальные смешанные стратегии первого игрока получаем по соответствующей из приведённых формул:
.
Оптимальные смешанные стратегии второго игрока получаем также по соответствующей формуле:
.
Цена игры:
.
Составление матричной игры
Матричная игра, седловая точка, чистые стратегии, смешанные стратегии... А для чего всё это? Рассмотрим на примере, как с помощью матричных игр решаются экономические задачи.
Пример 7. Составить матричную игру для следующей задачи.
Предприятие может выпускать три вида продукции (A 1, A 2, A 3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырёх состояний (B 1, B 2, B 3, B 4). Дана матрица, элементы которой a ij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i -й продукции с j -м состоянием спроса.
B 1 | B 2 | B 3 | B 1 | |
A 1 | 3 | 3 | 6 | 8 |
A 2 | 9 | 10 | 4 | 2 |
A 3 | 7 | 7 | 5 | 4 |
Решение. Задача сводится к матричной игре предприятия A против спроса B.
Прежде чем решать задачу, можно упростить игру, проведя анализ платёжной матрицы и отбросив стратегии, заведомо невыгодные или дублирующие. Вторая стратегия (второй столбец матрицы) является явно невыгодной для игрока B по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока B - уменьшить выигрыш игрока A. Поэтому второй столбец можно отбросить. Получим следующую матрицу:
|
.
Далее составляется и решается задача линейного программирования. Это мы уже умеем.
Платёжная матрица, чистые стратегии, цена игры
В матричной игре её правила определяет платёжная матрица.
Рассмотрим игру, в которой имеются два участника: первый игрок и второй игрок. Пусть в распоряжении первого игрока имеется m чистых стратегий, а в распоряжении второго игрока - n чистых стратегий. Поскольку рассматривается игра, естественно, что в этой игре есть выигрыши и есть проигрыши.
В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.
Составим платёжную матрицу:
.
Если первый игрок выбирает i -ю чистую стратегию, а второй игрок - j -ю чистую стратегию, то выигрыш первого игрока составит a ij единиц, а проигрыш второго игрока - также a ij единиц.
Так как a ij + (- a ij) = 0, то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.
Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает "орёл" или "решка". Если одновременно выпали "орёл" и "орёл" или "решка" или "решка", то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:
.
Задача теории игр - определить выбор стратегии первого игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний выигрыш, а также выбор стратегии второго игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний проигрыш.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!