Частотная (или статистическая) интерпретация

Частотная, или статистическая, интерпретация вероятности уходит своими корнями еще в античную науку, хотя в явном виде эта концепция была разработана впервые в 1866 г. английским ученым Дж. Венном. Начиная с его работы «Логика случая», частотная интерпретация приобретает большую популярность среди статистиков. Что и не удивительно, так как большинство задач статистики нельзя свести к схеме равновозможных случаев, и, следовательно, использовать классическое определение вероятности.

Согласно частотной интерпретации, вероятность определяется через относительную частоту событий непосредственно, либо косвенным путем. Сам Венн определял вероятность как предел относительной частоты события при большом числе испытаний.

В качестве исходного понятия при этом берется относительная частота. Поскольку относительная частота определяется с помощью некоторой процедуры, то указанную вероятность нередко называют эмпирической.

Дальнейшее развитие эта интерпретация получила в 20-х годах в работах Р. Мизеса. Он существенно дополнил и изменил теорию Венна, и рассматривал теорию вероятностей как дисциплину, имеющую дело с бесконечными последовательностями результатов испытаний, удовлетворяющими специальным свойствам.

Сразу следует отметить, что никакого операционального определения для статистической вероятности дать нельзя, ибо помимо эмпирической процедуры при ее определении мы обращаемся к теоретическим допущениям.

Схематически процедура вычисления относительной частоты, служащей базой для статистической вероятности, такова: сначала очерчивают класс явлений, обладающих определенным свойством. Произведя опыты или наблюдая явление, мы можем подсчитать, сколько раз интересующее нас событие встречается в данной серии. Полученную относительную частоту можно считать оценкой истинной вероятности. Саму же вероятность подсчитать не удастся, так как она является пределом бесконечной последовательности относительных частот при увеличении объема выборки. Однако при достаточно большом объеме выборки считается, что относительная частота является хорошей оценкой вероятности.

Здесь справедлива аналогия с мгновенной скоростью. Мы не можем посчитать мгновенную скорость тела, мы не в состоянии ее даже оценить. Тем не менее, считается, что мгновенная скорость тела равна (или очень близка к) средней скорости тела за очень маленький промежуток времени. Однако, вполне вероятно, что движение тела состоит из крохотных квантов времени, в одни из которых тело стоит неподвижно, а в другие имеет сколь угодно большую (или даже бесконечную) скорость. В этом смысле определение мгновенной скорости является не более чем удобной договоренностью. Существует ли мгновенная скорость как метафизический объект и можно ли ее измерить - открытый вопрос.

Выше мы увидели, что вероятность является пределом последовательности относительных частот, однако существование этого предела теоретически не доказуемо и составляет серьезную проблему. На практике было установлено, что для многих массовых явлений относительная частота при большем числе наблюдений имеет тенденцию к устойчивости. Эта устойчивость частот массовых явлений представляет объективную закономерность, и поэтому она не зависит от воли и желания человека. Явления, обладающие устойчивой частотой, были известны еще в древнем мире и сейчас встречаются на каждом шагу - в вопросах страхования, демографии, в физической, биологической и социальной статистиках.

Практика показывает, что в случае возможности вычисления вероятности событий из соображений симметрии, то их относительная частота является весьма хорошей оценкой этой вероятности.

В общем же случае, когда точное значение вероятности из подобных соображений вычислить не удается, мы делаем индуктивное предположение о том, что относительная частота таких массовых, повторяющихся событий весьма близка к некоторому числу, которое и называют вероятностью. Таким образом, индукция совершенно необходима для частотной интерпретации, но поскольку всякая индукция есть выход за пределы известного, то этот шаг сопряжен с теоретическими трудностями.

Самая главная проблема частотной интерпретации - проблема тестификации. Как проверить, верно или не верно наше вероятностное суждение? В общем случае ни процедура верификации, ни процедура фальсификации здесь не работают.

Если рассматривать классы событий как множества конечной мощности, то тогда вероятностное суждение прямо бы говорило об арифметическом отношении мощностей двух классов. В таком случае вероятностное суждение верифицировалось бы простым предъявлением всех членов обоих классов и простым подсчетом.

Если же мы будем рассматривать бесконечные классы, либо бесконечное количество конечных статистических серий, то ни одно конечное число экспериментов не в состоянии ни окончательно подтвердить, ни окончательно фальсифицировать вероятностное суждение. Ибо нельзя теоретически исключать факта, что данная конечная серия произведенных экспериментов является флуктуацией, большим отклонением относительной частоты в данной серии от относительной частоты во всем бесконечном классе.

Единственным способом хоть какой-нибудь проверки правильности вычисления относительной частоты является неравенство Чебышева. Эта формула позволяет определить вероятность (опять-таки!) отклонения относительной частоты вычисленной по конечной серии от истинной. Причем это уже будет третья вероятность, вычисленная по аксиоматической интерпретаци и служащая нам в качестве четвертой - вероятности как степени разумной веры. Как видно, конструкция усложняется прямо на глазах…

Вторая важная проблема, связанная с частотной вероятностью, имеет логический характер. Очень трудно сформулировать условия, которым должны удовлетворять серии событий, чтобы к ним можно было применить частотную интерпретацию. Любые попытки сделать это приводили к жаркой полемике и вопрос этот и поныне открыт.

Разберем следующий пример. Каков шанс, что выбранное наудачу целое число окажется простым? Если мы возьмем все числа в порядке их следования в натуральном ряде, то шанс, в соответствии с его определением, равен нулю, так как число простых чисел меньших, либо равных n есть приблизительно n/log n, таким образом, относительная частота будет стремиться вместе с 1/log n к нулю. Но допустим теперь, что мы расставили целые числа в следующем порядке: сначала первые девять простых чисел, затем первое составное, затем вторые девять простых чисел, затем второе составное и т.д. Когда целые числа будут расставлены в такой последовательности, то шанс, что выбранное наудачу целое число - простое, будет равен 0.9. Можно расставить числа даже так, что бы этот шанс был равен 0.

Из этого примера можно сделать вывод, что частотная интерпретация должна применяться отнюдь не классам событий, а к их последовательностям.

В-третьих, нужно заметить, что частотная вероятность является характеристикой отношения между двумя классами событий и ни в коем случае не подходит в ситуации, когда мы имеем дело с неповторяющимися, единичными событиями. При таком истолковании теория вероятностей превращается в науку о количественных закономерностях массовых случайных явлений.