Классическая (или симметричная) интерпретация

Первоначальные понятия и методы теории вероятностей возникли из рассмотрения ситуаций, которые складываются в азартных играх. Такие игры и их правила организованы таким образом, чтобы различные исходы оказывались равновозможными. Так, например, при бросании игральной кости выпадение каждой грани является одинаково возможным. Исходя из условий равновозможности, легко подсчитать вероятность событий, встречающихся в азартных играх. Для этого нет непосредственной необходимости обращаться к непосредственному опыту. Если, например, игральная кость изготовлена тщательно, то вероятность выпадения любого числа очков от 1 до 6 равна 1/6. Такой подход к определению вероятности подробно излагается Якобом Бернулли в его работе «Искусство предложений».

Таким образом, определение вероятности, согласно классической концепции, не предполагает обращения к эмпирическому исследованию. Бросая игральную кость, мы заранее полагаем, что выпадение любой ее грани одинаково возможно. Именно в связи с этой особенностью классическую интерпретацию нередко называют априорной.

Считается, что классическая интерпретация, основанная на установлении равновозможности различных исходов событий, не свободна от логических дефектов и имеет довольно ограниченную область применения. Действительно, равновозможность событий куда как не просто гарантировать, и проверить на практике соблюдается ли условие равновозможности или нет, не представляется возможным. Понятие равновозможности относится скорее к области идеального, вымышленного.

Другим слабым местом этой теории является порочный круг в определении вероятности. Действительно, вероятность определяется через равновозможность, которая при более тщательном анализе оказывается тождественной с равновероятностью, которая в свою очередь уже предполагает наличие определения вероятности.

Чтобы справиться с этими трудностями, защитники классической концепции широко использовали принцип недостаточного основания (принцип индифференции), согласно которому два события считаются (но могут таковыми и не являться) равновероятными, если не имеется основания для предположения, что одно из них осуществляется скорее, чем другое.

Обычно исследователи считают принцип индифферентности продолжением старой классической концепции. Однако, кажется разумным все же разделить старую концепцию и концепцию с принципом индифферентности.

Получается, что если в первой интерпретации равновероятность была атрибутом самого объекта события (например, игральной кости), то в следующей она уже описывает характер нашего знания (или незнания) об объекте. То есть первая модель будет идеальной и объективной, а вторая - субъективной и гносеологичной. Этот момент почему-то обычно ускользает от критиков.

Принцип индифферентности, хотя и весьма удобен для математического подсчета вероятностей, но имеет весьма ограниченное применение. Фактически он может быть применен только к таким явлениям, которые имеют симметричные исходы. Эта симметрия может быть установлена на основании логических или физических соображений. Таким образом, хотя, как мы увидели, что две модели классической интерпретации различаются друг от друга, тем не менее, обе они имеют общую базу, под названием симметрия. Только в первой модели симметрия считается атрибутом объекта, а во второй - является нашим знанием о нем.

Считается, что применение принципа недостаточного основания для оценки гипотез может привести к противоречивым результатам. Так, вероятность того, что во Вселенной существуют живые организмы, можно оценить как 1/2, так как у нас нет достаточных свидетельств в пользу противоположной гипотезы. Руководствуясь принципом индифференции, мы должны приписать такую же вероятность гипотезе о существовании во Вселенной разумных существ. Однако считается, что вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше. Получаем парадокс.

На самом деле, против таких рассуждений можно возразить следующее.

Для простоты допустим, что мы строго определили понятия «живой организм» и «разумное существо», и доказали, что это не одно и то же.

Если судить о вероятности как о числе, равному отношению количества благоприятных исходов и количества всех исходов, то совершенно не ясно, как определять вероятность для бесконечного (пусть даже и счетного) числа исходов. Так, например, притом, что делимость на 4 является более сильным условием, чем четность, тем не менее, количество четных чисел равно количеству чисел, кратных четырем. Далее, то что «вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше» утверждение такое же спорное, как и интерпретация вероятности в качестве степени разумной веры. Если даже и принять данное утверждение как истинное, то, в силу принципа индифферентности, мы не можем таким грубым способом подсчитывать вероятности событий. Получается, что если вероятность существования живых организмов равна 1/2, то про вероятность существования разумных существ мы уже так сказать не сможем, так как уже есть некоторые основания, а именно наше утверждение («вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше»), усомниться в равновероятности исходов и мы должны полагать лишь, что вероятность второго события меньше чем 1/2. Если же мы положим вероятность второго события равным 1/2, то опять-таки для первого утверждения мы уже не можем пользоваться принципом индифферентности, так как есть основания, в виде нашего утверждения («вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше»), что сия вероятность должна быть больше, чем 1/2.

Таким образом, мы разрешаем данный парадокс, будем считать его лишь неумелым использованием принципа индифферентности.

Но тут мы приходим к новой проблеме. С какого высказывания стоит проводить рассуждения при вычислении или оценке вероятности. С более вероятного или менее вероятного?

Думается, что единственным выходом в данной интерпретации является независимое вычисление вероятности, то есть строго по своему определению, в нашем примере это будет 1/2 в обоих случаях. Утверждения же типа «вторая гипотеза сильнее первой, и потому ее вероятность должна быть меньше» в данной модели рассматриваться не должны, ибо имеют другую природу.

Попробуем еще немного прояснить принцип индифферентности и понять границы его применимости.

Рассмотрим еще один классический пример критики принципа индифферентности. «Допустим, что вы ничего не знаете о цвете какой-либо книги. Тогда шансы, что она синяя или не синяя, одинаковы и, следовательно, каждый равен 1/2. Точно так же шанс, что она черная, равен тоже 1/2. Следовательно, шанс того, что она синяя или черная, равен 1. Из этого следует, что все книги или синие, или черные, что абсурдно».

На самом деле, мы не имеем права так пользоваться принципом индифферентности. Наше знание о том, что есть и другие цвета, кроме черного и синего, а также о том, что существуют и книги других цветов, будет причиной тому, что у нас будут достаточные основания, чтобы не считать равновозможными варианты, когда книга синяя или не синяя. В действительности, согласно тому же принципу индифферентности, вероятность того, что книга окажется синей, следует подсчитывать по следующей схеме.

Необходимо подсчитать или оценить, каких цветов вообще бывают книги. Или если мы этого сделать не можем, то хотя бы подсчитать количество цветов вообще и сделать предположение, что книги могут иметь каждый из этих цветов. Далее, если у нас нет знаний о том, что какой цвет используется для книг чаще чем другие, то как раз здесь у нас и появляется возможность применить принцип индифферентности. Получаем, что искомая вероятность будет равна 1/N, где N - число цветов, которые могут иметь книги. Еще раз подчеркнем, что это всего лишь субъективная вероятность.

Если же мы не знаем вообще ничего о существовании различных цветов (то есть понятие цвета для нас будет просто непонятной функцией с неизвестной областью значений), то вопрос «А синяя ли та книга?» для нас будет эквивалентен вопросу «А глокая ли та куздра?». И совершенно очевидно, что если мы и представления не имеем ни о глокости, ни о куздрах, то вероятность (для нас) того, что эта куздра будет глокой, будет равна 1/2. Однако, специалист по глоким куздрам может знать, например, тот факт, что глокие куздры довольно редки в природе и потому оценит эту вероятность по-другому.

Из этого примера видно, насколько субъективны и неточны подобные рассуждения. Однако, в случае отсутствия любой полезной информации, нам придется иметь дело только с такой интерпретацией.

Следует сказать также пару слов о взаимосвязи классической теории вероятности и механического детерминизма, развивавшегося примерно в то же время. Характерны высказывания того же Лапласа.

«Ум, которому были бы известны для какого-либо момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверным, и будущее, так же как и прошлое, предстало бы перед его взором».

Таким образом, случайности отводится отнюдь не онтологическое место, а гносеологическое. Соответственно, вероятность события выступает не как объективная мера возможности события, а как характеристика знаний или даже веры человека.

Еще следует отметить, что классическая интерпретация говорит о вероятности отдельно взятого события (в то время как статистическая говорит о вероятности как о свойстве ряда событий).