Нахождение разрешающих элементов

Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца. Разрешающая строка указывает на базисную переменную, переходящую в свободную. Разрешающий столбец указывает на свободную переменную, переходящую в базисную.

1. Разрешается столбец.

a) решение недопустимое: в любой строке, имеющей отрицательный свободный член, находится отрицательный элемент. Этот элемент находится в разрешающем столбце.

b) решение допустимое, неоптимальное: любой столбец, не удовлетворяющий признаку оптимальности, является разрешающим столбцом.

2. Разрешающая строка.

Находятся положительные отношения свободных членов к элементам разрешающего столбца. Минимальное отношение соответствует разрешающей строке.

 

Правила преобразования симплекс-таблицы

1. В новой таблице меняются местами по разрешающему элементу свободные и базисные переменные:

 

2.Ячейка разрешающего элемента заполняется обратным знаком:

 

 

3. Разрешающая строка делится на разрешающий элемент:

 

 

4. Элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент с противоположным знаком:

 

 

5. Из остальных ячеек вычисляется произведение элементов, стоящего на соответствующем разрешающем столбце и соответствующей разрешающей строке, деленные на разрешающий элемент:

 

 

Динамическое программирование

 

Динамическое программирование используется для исследования многоэтапных процессов. Состояние управляемой системы характеризуется определенным набором параметров (фазовыми координатами). Процесс перемещения в фазовом пространстве разделяют на ряд последовательных этапов и производят последовательную оптимизацию каждого из них, начиная с последнего. На каждом этапе находят условное оптимальное управление при всевозможных предположениях о результатах предыдущего шага. Когда процесс доходит до исходного состояния, снова проходят все этапы, но уже из множества условных оптимальных управлений выбирается одно наилучшее. Получается, что однократное решение сложной задачи заменяется многократным решением простой. Важно, что значения критерия – сумма частных значений, достигнутых на отдельных шагах, и предыстория не имеют значения при определении будущих действий.

 

Особенности методов и моделей динамического программирования

1. Принятие оптимального решения рассматривается как процесс многоэтапный.

2. Показатель эффективности всего процесса управления является аддитивной функцией показателей эффективности каждого шага.

 

 

3. Выбор управления на k-том шаге зависит только от состояния системы к этому шагу и не влияет на предшествующие шаги.

4. Состояние S_k зависит только от состояния предшествующего шага и управления x_k.

5. На каждом шаге управление зависит от конечного числа переменных, а состояние системы от конечного числа параметров.

 

Принцип оптимальности Беллмана

Свойства динамического программирования являются следствием общего принципа, сформулированного Р. Беллманом и называемого принципом оптимальности: оптимальная политика обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальные состояния и первоначальные решения, последующие решения должны основывать оптимальную политику относительно состояния, полученного в результате полученного решения.

Знание принципа оптимальности полезно уже хотя бы потому, что формирует правильную профессиональную психологию. Но, конечно, не только поэтому: решение многих задач базируется на нем.

 

Формулы Беллмана для динамического программирования