Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2019-12-27 | 321 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Лекция 11
Обратная матрица.
Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX = B и XA = B с невырожденной матрицей А. Формулы Крамера.
п.1. Обратная матрица и ее свойства
Определение 11.1. Пусть A — квадратная матрица порядка п. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E — единичная матрица порядка п.
Обратную матрицу обозначают A-1. Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы A.
А именно, для п > 0 полагают ЕA-n = (A-1)n.
Из определения следует, что если матрица В - обратная к матрице А, то матрица А - обратная к матрице В. Поэтому А и В – взаимообратные.
Теорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.
◄ Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В1. Тогда, согласно определению 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB1 = E и BA = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB1) = (BA)B1 = EB' = B1, т.е. матрицы B и B1 совпадают. ►
Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующий критерий.
Теорема 11.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка п имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A 0.
◄ Необходимость. Дано: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A-1.
Доказать: det A 0.
Доказательство необходимости. По условию, A-1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA-1) = detE = 1. По, свойству определителей имеем:
|
det(AA-1) = det A det A-1. Поэтому det A det A-1 = 1 и, следовательно,
det A 0.
◄ Достаточность. Дано: det A 0. Доказать: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A-1.
Доказательство достаточности.
Обозначим через Aij алгебраическое дополнение матрицы А, соответствующее элементу aij, т.е. Aj = (—1)i+jMij, где Mij — минор этого же элемента.
Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенство
следовательно, матрица С' также является единичной.
Согласно определению 11.1, матрица B является обратной для A:
B = A-1. ►
Следствие 11.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то
det A-1 = (det A)-1.
◄ Действительно, det A-1 det A = det(A-1A) = det E =1. ►
Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или неособой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы A-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.
Теорема 11.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)-1 = B-1A-1.
◄ В соответствии с определением 11.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства: (AB)B-1A-1 = E, (B-1A-1)(AB) = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем
(AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E,
(B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1EB = B-1B = E. ►
Теорема 11.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица AT имеет обратную, причем (AT)-1 = (A-1)T.
Нужно убедиться, что и . Используя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем
AT(A-1)T = (A-1A)T = ET = E, (A-1)TAT = (AA-1)T = ET = E.
Лемма
1) Произведение обратимых матриц - обратимая матрица
2) Если А - обратима, то обратная к ней, , обратима, и .
3) Единичная матрица Е обратима, и .
Обозначение. Множество всех обратимых матриц порядка n над полем Р обозначается
П.2. Элементарные матрицы.
Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров.
Определение. Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы Е в результате одного из следующих элементарных преобразований:
|
1) Умножение одной строки(столбца) матрицы Е на скаляр ≠0.
2) Прибавление к какой-либо строке матрицы Е другой строки, умноженной на скаляр .
Обозначение. - элементарная матрица, полученная умножением на стоки (столбца) матрицы Е.
- элементарная матрица, полученная прибавлением к i -ой строке (столбцу) матрицы Е j -ой стоки(столбца), умноженной на .
Пример. Элементарные матрицы порядка
n=2:
Обозначение. - элементарная матрица, полученная из Е элементарным преобразованием .
Свойства обратимости
Пример 3.
Найти обратную матрицу , используя формулу:
.
Решение.
Вычислим определитель матрицы:
,
Найдем присоединенную матрицу по формуле:
, где - алгебраическое дополнение элемента .
.
Тогда
.
Пример 4. Найти обратную матрицу , используя формулу: ,
.
Решение. Найдем определитель матрицы:
;
Вычислим алгебраические дополнения:
; ;
; ;
; ;
; ;
;
Тогда
.
Следовательно
.
Пример 5. Найти обратную матрицу , используя формулу: ,
Решение. Найдем определитель матрицы:
;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
;
.
Для самостоятельного решения.
Найти обратную матрицу , используя формулу:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ;
10) 11) ;
12) ; 13) ;
Решение.
.
1)
,
,
,
.
2) .
Решение.
,
,
,
.
Для самостоятельного решения:
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
П.7. Правило Крамера.
Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)- поле скаляров.
;
;
-столбец свободных членов.
- алгебраическое дополнение .
Теорема 1. Если определитель матрицы А не равен нулю, то система (1) имеет единственное решение, которое задаётся равенствами:
|
где матрица получена из матрицы А заменой i -ого столбца столбцом свободных членов.
Доказательство. Запишем систему (1) в матричной форме:
; по условию , значит матрица А – обратима, тогда
. =
Формулы (2) называются формулами Крамера. ■
Пример 1. Найти решение системы по правилу Крамера.
, .
,
,
Ответ:
Пример 2. Решить системы уравнений по правилу Крамера:
1)
Решение.
1) Найдем определитель системы:
Вычислим определители, заменяя столбцом свободных членов поочередно столбцы основного определителя:
;
;
;
;
Получим .
Ответ:
Для самостоятельного решения 2) – 5).
2)
3)
4)
5)
Пример.
r=1:
r=2:
Теорема. Ранг ненулевой матрицы А равен наибольшему из порядков ненулевых миноров матрицы А.
Доказательство. Так как А - ненулевая матрица, А ≠0, то она имеет некоторый ранг Докажем что А имеет хотя бы один ненулевой минор порядка r. , значит матрица А имеет r линейно независимых строк. Пусть В - матрица порядка , состоящая из r ненулевых строк матрицы А. значит В имеет r линейно независимых столбцов. Пусть С - матрица, состоящая из r линейно независимых столбцов матрицы В, тогда её размерность .
По теореме 2 п.3 , так как столбцы С линейно независимы. Значит есть ненулевой минор порядка r матрицы А.
Пусть М - минор порядка матрицы А. При любые k -строк матрицы А линейно зависимы. Поэтому линейно зависимы строки любой квадратной матрицы , подматрицы матрицы А. Тогда по теореме 1 п. 3 равен нулю любой минор порядка матрицы А. ■
Лекция 11
Обратная матрица.
Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX = B и XA = B с невырожденной матрицей А. Формулы Крамера.
п.1. Обратная матрица и ее свойства
Определение 11.1. Пусть A — квадратная матрица порядка п. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E — единичная матрица порядка п.
|
Обратную матрицу обозначают A-1. Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы A.
А именно, для п > 0 полагают ЕA-n = (A-1)n.
Из определения следует, что если матрица В - обратная к матрице А, то матрица А - обратная к матрице В. Поэтому А и В – взаимообратные.
Теорема 11.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.
◄ Предположим, что матрица A имеет две обратные матрицы В и В1. Тогда, согласно определению 11.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства AB1 = E и BA = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем B = BE = В (AB1) = (BA)B1 = EB' = B1, т.е. матрицы B и B1 совпадают. ►
Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующий критерий.
Теорема 11.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка п имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A 0.
◄ Необходимость. Дано: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A-1.
Доказать: det A 0.
Доказательство необходимости. По условию, A-1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA-1) = detE = 1. По, свойству определителей имеем:
det(AA-1) = det A det A-1. Поэтому det A det A-1 = 1 и, следовательно,
det A 0.
◄ Достаточность. Дано: det A 0. Доказать: квадратная матрица A порядка п имеет обратную A-1.
Доказательство достаточности.
Обозначим через Aij алгебраическое дополнение матрицы А, соответствующее элементу aij, т.е. Aj = (—1)i+jMij, где Mij — минор этого же элемента.
Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенство
следовательно, матрица С' также является единичной.
Согласно определению 11.1, матрица B является обратной для A:
B = A-1. ►
Следствие 11.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то
det A-1 = (det A)-1.
◄ Действительно, det A-1 det A = det(A-1A) = det E =1. ►
Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной или неособой. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы A-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.
Теорема 11.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)-1 = B-1A-1.
◄ В соответствии с определением 11.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства: (AB)B-1A-1 = E, (B-1A-1)(AB) = E. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем
(AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E,
(B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1EB = B-1B = E. ►
Теорема 11.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица AT имеет обратную, причем (AT)-1 = (A-1)T.
Нужно убедиться, что и . Используя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем
|
AT(A-1)T = (A-1A)T = ET = E, (A-1)TAT = (AA-1)T = ET = E.
Лемма
1) Произведение обратимых матриц - обратимая матрица
2) Если А - обратима, то обратная к ней, , обратима, и .
3) Единичная матрица Е обратима, и .
Обозначение. Множество всех обратимых матриц порядка n над полем Р обозначается
П.2. Элементарные матрицы.
Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров.
Определение. Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы Е в результате одного из следующих элементарных преобразований:
1) Умножение одной строки(столбца) матрицы Е на скаляр ≠0.
2) Прибавление к какой-либо строке матрицы Е другой строки, умноженной на скаляр .
Обозначение. - элементарная матрица, полученная умножением на стоки (столбца) матрицы Е.
- элементарная матрица, полученная прибавлением к i -ой строке (столбцу) матрицы Е j -ой стоки(столбца), умноженной на .
Пример. Элементарные матрицы порядка
n=2:
Обозначение. - элементарная матрица, полученная из Е элементарным преобразованием .
Свойства элементарных матриц.
1) Любая элементарная матрица обратима.
2) Произведение элементарных матриц является обратимым.
Доказательство. Очевидно: элементарная матрица являются обратимой, а произведение обратимых матриц - обратимо.
3) Пусть -элементарное преобразование 1-го или 2-го вида, . Если матрица В получается из матрицы А элементарным преобразованием , то
4) Если матрица С получена из матрицы А цепочкой элементарных преобразований вида 1 и 2 , то С = .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!