Доказательство зеркального эффекта.

В начале главы упоминалось о том, что в результате ДПФ гармонической функции на практике получаются две гармоники. Однако этот эмпирический факт не доказывался. Докажем теперь строго, какие гармоники дает произвольная гармоническая функция f(t) = A cos(2πtm / T + φ) при целочисленном m [0, N[.

Напомним формулу прямого ДПФ:

В данном случае

x_n = f(t_n) = f(Tn / N) = A cos(2πTnm / NT + φ) = A cos(2πnm / N + φ)

Введем обозначения:

w_n = 2πn / N

Z_k,n = (f(t_n) / A) e^{-j2πkn / N} = cos(w_nm + φ) e^-jw_n^k

В результате формула прямого ДПФ упрощается до:

X_k = A Z_k,n

Теперь преобразуем Z_k,n:

Z_k,n = cos(w_nm + φ) e^-jw_n^k =
применяем формулу Эйлера:
= cos(w_nm + φ) (cos(-w_nk) + j sin(-w_nk)) =
= cos(w_nm + φ) (cos(w_nk) - j sin(w_nk)) =
раскрываем скобки:
= cos(w_nm + φ) cos(w_nk) - j cos(w_nm + φ) sin(w_nk) =
применяем формулы произведения косинусов и синуса на косинус:
= (1/2)[cos((w_nm + φ) - w_nk) + cos((w_nm + φ) + w_nk)] -
= - (j/2)[sin(w_nk - (w_nm + φ)) + sin(w_nk + (w_nm + φ))] =
перегруппировываем слагаемые:
= (1/2)[cos((w_nm + φ) - w_nk) + cos((w_nm + φ) + w_nk) -
- j sin(w_nk - (w_nm + φ)) - j sin(w_nk + (w_nm + φ))] =
= (1/2)[cos((w_nm + φ) - w_nk) + cos((w_nm + φ) + w_nk) +
+ j sin((w_nm + φ) - w_nk) - j sin((w_nm + φ) + w_nk)] =
= (1/2)[cos(w_nm + φ - w_nk) + j sin(w_nm + φ - w_nk) +
+ cos(w_nm + φ + w_nk) - j sin(w_nm + φ + w_nk)] =
применяем формулу Эйлера (только наоборот):
= (1/2)[e ^j(w_n^{m + φ - w}_n^k) + e ^-j(w_n^{m + φ + w}_n^k)] =
и выносим за скобки все, что можно:
= (1/2)[e ^jφe ^jw_n^{(m - k)} + e ^-jφe ^-jw_n^{(m + k)}]

Теперь подставляем полученные величины в сумму ДПФ и преобразуем:

X_k = A Z_k,n =
= A (1/2)[e ^jφe ^jw_n^{(m - k)} + e ^-jφe ^-jw_n^{(m + k)}] =
= (A/2)e ^jφ e ^jw_n^{(m - k)} + (A/2)e ^-jφ e ^-jw_n^{(m + k)} =
подставляем w_n:
= (A/2)e ^jφ e ^{j2πn(m - k) / N} + (A/2)e ^-jφ e ^{-j2πn(m + k) / N} =
вводим обозначения для сумм:
= (A/2)e ^jφS₁ + (A/2)e ^-jφS₂

Легко видеть, что суммы S₁ и S₂ являются геометрическими прогрессиями, а формула суммы геометрической прогрессии нам известна:

S_N = a₀(q^N - 1) / (q - 1), q ≠ 1 (34)

Первый элемент прогрессии в обоих случаях равен a₀ = 1.

Знаменатели прогрессий равны

q₁ = e ^{j2π(m - k) / N} для S₁

и

q₂ = e ^{-j2π(m + k) / N} для S₂.

Условие q ≠ 1 вынуждает нас решить уравнения:

e ^{j2π(m - k) / N} = 1,

и

e ^{-j2π(m + k) / N} = 1,

Учитывая Теорему 0, получим, что условие q ≠ 1 не выполняется при k = m для S₁ и при k = (N - m) для S₂.

В случае, когда выполняются оба условия: k = m и k = (N - m), то есть k = m = N /2 обе суммы нельзя считать по формуле геометрической прогресии.

В случае k = m для S₁ придется выполнить небольшие дополнительные преобразования:

S₁ = e ^{j2πn(m - m) / N} = 1 = N

Аналогично в случае k = N - m для S₂:

S₂ = e ^{-j2πn(m + N - m) / N} = e ^-j2πn = 1 = N

В случае k = m = N / 2 имеем:

X_k = (A/2)Ne ^jφ + (A/2)Ne ^-jφ =
= (A/2)N(e ^jφ + e ^-jφ) =
= (A/2)N(cos φ + j sin φ + cos φ - j sin φ) =
= (A/2)N(2 cos φ) =
= ANcos φ

В случае k = m = 0 имеем:

X_k = (A/2)e ^jφN + (A/2)e ^-jφN = (A/2)N(e ^jφ + e ^-jφ) =

= (A/2)N(cos φ + jsin φ + cos φ - jsin φ) = ANcos φ

Наконец, получаем формулу для X_k:

Для k = m = N / 2 или k = m = 0:
X_k = ANcos φ
Для k = m ≠ N / 2:
X_k = (A/2)Ne ^jφ + (A/2)e ^-jφ(e ^-j4πm - 1) / (e ^{-j4πm / N} - 1)
Для k = (N - m) ≠ N / 2:
X_k = (A/2)e ^jφ(e ^j4πm - 1) / (e ^{j4πm / N} - 1) + (A/2)Ne ^-jφ
Для остальных k:
X_k = (A/2)e ^jφ(e ^{j2π(m - k)} - 1) / (e ^{j2π(m - k) / N} - 1) +
+ (A/2)e ^-jφ(e ^{-j2π(m + k)} - 1) / (e ^{-j2π(m + k) / N} - 1) (35)

Заметим, что эта формула получена без использования факта целочисленности m и k.

Теперь учтем целочисленность. Для этого применим Теорему 0 и заменим в формуле (35) экспоненты на 1 везде, где выполняется это условие:

Для k = m = N / 2 или k = m = 0:
X_k = ANcos φ
Для k = m ≠ N / 2:
X_k = (A/2)Ne ^jφ + (A/2)e ^-jφ(1 - 1) / (e ^{-j4πm / N} - 1)
Для k = (N - m) ≠ N / 2:
X_k = (A/2)e ^jφ(1 - 1) / (e ^{j4πm / N} - 1) + (A/2)Ne ^-jφ
Для остальных k:
X_k = (A/2)e ^jφ(1 - 1) / (e ^{j2π(m - k) / N} - 1) +
+ (A/2)e ^-jφ(1 - 1) / (e ^{-j2π(m + k) / N} - 1)

Сокращаем везде, где получаются нули, и приходим к формулам:

Для k = m = N / 2 или k = m = 0:
X_k = ANcos φ
Для k = m ≠ N / 2:
X_k = (A/2)Ne ^jφ
Для k = (N - m) ≠ N / 2:
X_k = (A/2)Ne ^-jφ
Для остальных k:
X_k = 0 (36)

Вывод: