Глава 5. Первоклашки, которым нужны дроби

Известно, что одна из первых проблем, на которых ломается сознание ребенка, переходящего на уровень среднего звена обучения, это проблема восприятия дробного числа. Нетрудно заметить, однако, что проблема эта в значительной степени искусственно предуготавливается всем процессом преподавания математики в начальных классах средней школы.

В самом деле, три года им усиленно объясняли, что один - это один, и только один. И вдруг выясняется, что "один" содержит в себе... бесконечно много. Что один может содержать в себе сто, тысячу, миллион частей - столько, сколько будет угодно. Весь трехлетний опыт освоения математики оказывается в одночасье перечеркнут... Но, может быть, иначе и нельзя? Может быть, абстракция дроби настолько сложна, что ее просто не имеет смысла вводить раньше, чем в пятом классе?

Одна из парадоксальных вещей, к которой мы пришли в результате наших экспериментов, состоит в том, что наиболее целесообразно начинать обучение математике не с операции сложения, а с операции... деления. Именно графическая работа с операцией деления в течение первых двух четвертей первого класса позволяет ребенку выйти на качественное понимание и феномена сложения, и феномена "вычитания", и феномена умножения. Но что самое удивительное, оказалось, что в результате систематической графической работы с операцией деления обыкновенные семилеточки и восьмилеточки легко и непринужденно выходят на идею дробного числа и начинают осуществлять операции с дробями, демонстрируя отчетливое понимание сущности дроби и удерживая в своем сознании абстракцию дробного числа как части целого.

Но как это возможно уже в первом классе, когда даже у пятиклассников идея дробного числа вызывает нередко тяжелые приступы головной боли?

Начнем с того, что сама операция деления вводится во втором классе традиционной школы наиболее абсурдным способом из всех, которые можно себе вообразить. Словно сам методический замысел заключается в том, чтобы разрушить у ребенка весь его жизненный опыт, который он накопил к семи годам по поводу того, что есть деление. Буквально с самого момента введения операции деления в программу второго класса ребенка начинают последовательно убеждать, что арифметическая операция деления не имеет ровным счетом никакого отношения к тому делению целого на равные части, коим каждый ребенок к семи-восьми годам неоднократно и с успехом занимался.

В самом деле, много ли найдется детей, которые к восьми годам ни разу не решали задачу деления, скажем конфеты или шоколадки напополам или ни три или на четыре равные части? Следовательно, им превосходно известно, и они чувствуют этот образ "на кончиках пальцев", что есть деление целого на части, и что получается в результате этого деления. А, значит, они находятся в полушаге от идеи дроби.

"Ты разделил шоколадку на две равных части. Что у тебя оказалось в каждой руке?" "По половинке!" "Из скольких половинок состоит ОДНА целая шоколадка?" "Из двух!". И ни для одного ребенка нет никакой сложности в том, что один состоит из двух. Все прекрасно понимают.

Или дайте семилетнему ребенку, не прошедшему еще никакой школьной премудрости, двадцать одну конфету, и предложите разделить эти конфеты на три равных части. И он с уверенностью произведет это деление и скажет вам, сколько у него оказалось конфет в КАЖДОЙ части, а, следовательно, снова успешно выполнит все ту же операцию деления целого на равные части, не зная еще никакой таблицы умножения.

А вот что касается третьеклассника, то он безусловно и твердо знает, что, если 21 разделить на три, получится семь. Однако для него это - просто заученное предложение. И если попросить его представить эту задачу предметно, с помощью конфет, то чаще всего его предметное решение этой задачи будет выглядеть следующим образом: он разложит двадцать одну конфету на кучки по... три конфеты в каждой! То есть к концу третьего класса он уже принципиально не слышит разницы между выражениями "разделить НА три" и "разделить ПО три". Для него это уже - что в лоб, что по лбу.

И корень этого смешения в том, как операция деления вводится во втором классе: будто по специальному умыслу, делается все возможное, чтобы внимание детей не фиксировалось на принципиальной разнице между двумя операциями: делением НА и делением ПО.

Открываем учебник для второго класса на 41й странице - именно там, где операция деления впервые появляется перед глазами изумленного второклассника. В качестве примеров, которые должны пояснить второкласснику смысл операции деления, здесь сразу же предлагаются задачи на деление по группам (разбиение по группам), и лишь спустя 20 страниц впервые появляется задача, которую можно было бы охарактеризовать как задачу деления на части. Однако ни слова про принципиальную разницу двух этих типов задач не говорится. А непрерывно проводится мысль, что, мол, нет разницы: что в лоб, что по лбу.

"8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по два апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?" - это как раз та задача, на которой детям объясняют суть операции деления. И далее по тексту: "Такие задачи решают действием деления. Две точки (:) - знак деления. Решение задачи можно записать так: 8:2=4. Ответ: 4 тарелки".

И на протяжении последующих трех страниц операция деления последовательно представляется как операция разбиения по группам, по схеме: есть некоторое количество чего-то, и это "что-то" требуется разбить на равные группы определенного объема. Требуется определить, сколько групп или сколько частей при этом образуется.

В сущности говоря, если быть филологически точным, это есть задача группировки, а вовсе не задача деления" Фактически в такого рода задачах к детям обращаются вовсе не с просьбой разделить, а с просьбой сгруппировать, и определить, сколько в результате образуется групп или частей.

Как раз обратной к задаче группировки выступает задача деления, суть которой заключается в том, что некоторое целое надо разделить на некоторое количество частей, и определить, чему будет равна каждая отдельная часть. То есть, что будет из себя представлять частное от целого, после того, как целое будет разделено на равное количество частей.

Иначе говоря, только в результате операции деления на части получается то, что можно было бы охарактеризовать словом частное. А что касается операции разбиения на группы или группировки, то там результатом является, разумеется, никакое не частное от целого, а нечто прямо противоположное, а именно: количество частей.

Увы, ни о чем таком второкласснику не говорится. На протяжении десятков страниц авторы учебника снова и снова предлагают задачи на группировку множеств, называя их задачами... деления, и, утверждая, что в результате этих задач дети получают, якобы, частное. А когда на страницах учебника появляются-таки время от времени действительные задачи на деление, это никоим образом не комментируется как появление совершенно нового типа задач.

Разумеется, что посредством такого рода введения в деление в сознании ребенка провоцируется жесточайшая сшибка. Здравый смысл, который позволяет ребенку, не прошедшему обучение в школе, с легкостью осуществлять практическую задачу деления на части, разрушается, и ребенок, вместо того, чтобы попытаться понять смысл предлагаемых ему задач и операций, начинает их учить наизусть и тупо запоминать.

Немудрено, что, когда настает время изучения дробных чисел, он никак не может постичь их смысл, потому что сама операция деления на части оказывается совершенно не представлена в его сознании, и оттого выражения типа 2:5=2/5 совершенно им не воспринимаются. Ведь за два года он совершенно не сумел постичь смысл операции деления в отличие от операции разбиения по группам, и это становится одним из непреодолимых барьеров на пути вхождения в мир дробных чисел.

Другим не менее коварным барьером оказывается то, в течение трех лет у него формировали искаженный, штучный образ числа, в соответствии с которым один никак не может состоять из двух, из трех, или четырех, а, следовательно, и выражение типа 1/4+1/4+1/4+1/4=1 должно выглядеть в глазах вполне успешного ученика третьего класса, перешедшего в среднее звено, сущим абсурдом, который противоречит всему предварительному опыту его знакомства с математикой.

Где же выход? Возможно ли такое построение математического обучения в начальной школе, которое бы не вступало в жесточайший конфликт с программой среднего звена, и в то же время было бы доступно сознанию любого младшего школьника?

В данном разделе вниманию читателя предлагается целый класс задач на графическую интерпретацию математических действий, что позволяет сформировать у ребенка-семилетки глубокое понимание идеи деления и идеи дробного числа и позволяет уже на самых ранних ступенях математического обучения вводить операции с дробями.

 

Глава 6. Вселенная сложения

Впрочем, если кто-то думает, что сложение для детей, освоивших идею дробного числа, не составляет никаких трудностей, глубоко ошибается. Совсем напротив, в рамках своего эксперимента мы пришли к выводу, что операция сложения - это фантастически сложная операция - конечно, если относиться к ней всерьез, а не на том поверхностном уровне, на котором эту операцию (в виде ничего не говорящего уму и логическим способностям счетного навыка) преподносят в обычной начальной школе.

Ну, во-первых, операция сложения оказывается возможной в нашей системе лишь постольку, поскольку произведена предварительная операция разложения целого на части. Или, скажем иначе: операция деления целого на части (при том деление на равные части, под коим обычно младший школьник только и подразумевает операцию деления вообще, оказывается всего лишь частным случаем деления вообще!).

Итак, коль скоро мы научились делить целое на равные и на неравные части, - мы можем осуществлять обратную операцию, операцию сложения частей или операцию восстановления целого.

Конечно, все описываемые логические построения обычно совершенно чужды сознанию младшего школьника. Он складывает не потому, что этого требует какая-то логика, а потому, что его научили: если к двум прибавишь два, получится нечто, что мы назовем четыре. А что есть это "нечто", ему, в общем-то, абсолютно все равно. Он заучивает наизусть множество "примеров на сложение" (как потом - примеров на вычитание или на деление и умножение), потому что это требует школьная программа. И он научается считать, совершенно не понимая при этом, что он делает.

А стоит ему - уже к концу третьего класса! - предложить произвольное число - скажем, число 89 - разложить на произвольное количество частей, как он теряется. А предложение решить задачу 89=44+_5+2_, где каждый пропуск нужно заменить одним знаком, вызывает у него чувство невыносимого напряжения, и он ломается на этой задаче, оказываясь неспособным вообще понять, что от него требуется. А ведь это вариант все той же задачи на сложение - просто представленный в нестандартном для младшеклассника виде!

Потому-то и оказывается операция сложения более сложной, что она требует больших степеней абстракции, ибо обратной операцией для нее оказывается, конечно же, отнюдь не операция вычитания, а операция разложения на части. Частным случаем операции разложения на части (в случае разложения на равные части) оказывается то, что традиционно именуется операцией "деления".

Сложение неравных частей в целое, восстановление целого - это вообще крайне сложная в логическом отношении операция, и оттого целесообразно отработать эту операцию в графических формах, чему посвящена целая группа задач, разработаннных авторами данной системы обучения.

Еще одна группа крайне сложных задач на сложение, группа задач, требующая развития высокого уровня абстрагирующей способности - это задачи на сложение с отрицательными числами, что в традиционной школе обычно подменяется некоей операцией, именуемой вычитанием. Вычитание в младшешкольном смысле тоже ведь можно натренировать без малейшего привлечения каких бы то ни было умственных способностей. Но при чем здесь, однако, математика? Хорошие счетные способности - это повод выступать в цирке, но никак не основание для занятий математикой. А ведь детям после начальной школы - не в цирк, а в пятый класс идти...

А там на них обрушивается бред отрицательных чисел, который противоречит всему их опыту трехлетнего освоения математики, в котором их настойчиво учили, что есть некое "уменьшаемое", "вычитаемое" и некая "разность". И попробуйте теперь сознанию, в которое вбито такое представление, объяснить суть выражения типа 5-6=-1. Шесть - это что? "Вычитаемое" из пяти? Какой бред! Из пяти нельзя вычесть шесть, поскольку в пяти нет шести, которые из него можно было бы вычесть!.. А пять - это что? Уменьшаемое? Но уменьшить нельзя более, чем до ничего!

Кстати сказать, что касается слова "разность", то оно появляется в школьной трактовке операции вычитания вообще из другой оперы. Ведь что такое разность? Само слово разность несет на себе нагрузку действия, вообще не имеющего отношения ни к уменьшению, ни к вычитанию. Определение разности - это по сути своей есть определение разницы двух чисел в числовом выражении, а, следовательно, есть по своей сути результат не операции вычитания, но операции сравнения величин. Скажем, ребенку предлагаются два числа: число 5 и число 6 и предлагается ответить на вопрос, какова их количественная разница, или, другими словами, какова их разность. И ребенок отвечает: "разность между числами пять и шесть составляет один!".

Ну, а что же операция вычитания? Ее что - вообще не существует?

Существует. Но не как "операция, обратная сложению", а как операция количественного сравнения величин.

Даны два числа: минус восемь и десять. Нужно определить между ними разность, т.е. количественную разницу. Как это сделать? Очевидно, в два приема. Во-первых, определяем, какое из этих двух чисел больше. А, во вторых, вычитаем из большего меньшее. Вот так: 10-(-8)=18. И тогда все встает на свои места. Мы получаем разность, вычитая не из уменьшаемого вычитаемое, а из большего меньшее.

Однако это - существенно не то, чему учат первоклассника с их уменьшаемым и вычитаемым.

Давайте будем элементарно последовательны. Раз уж уменьшаемое - значит, что-то требуется уменьшить. Но после того как что-то уменьшили - единственный здравый вопрос, который можно поставить, это сколько осталось после уменьшения? И, следовательно, если первое число называется уменьшаемым, результат данной операции по уменьшению следует назвать - в согласии со здравым смыслом - остатком. Но в арифметической модели мира для младшеклассника слово остаток употребляется совершенно в другом месте - когда остается что-то лишнее при делении на равные части. И тогда дошлые методисты начального обучения совершают изящный филологический кульбит: дети, вы уменьшаете, но результатом этого вашего уменьшения оказывается... разность. Ну, и так далее.

И этим бредом три года отравляют сознание детей, чтобы в пятом классе обрушить на него нечто, прямо противоположное всему предыдущему!

А ведь говорить о математической операции вычитания немногим менее странно, чем говорить, скажем, об операции… отнимания. Понятно, что формулировка "отнять пять от десяти" в младшешкольной программе не прижилась: она звучит как своеобразный факт математического экспроприаторства, и слишком явно заимствована из сферы не математической, а, так сказать, социально-психологической: "мама! он опять у меня игрушку отнял!" "Ну-ка, сосчитай, доченька! Было у тебя пять игрушек, одну мальчик у тебя отнял, сколько осталось?..."

Однако по сути своей операция вычитания, как она принята в младших классах, это и есть не что иное, как все та же операция отнимания. "Было десять морковок, пять морковок убрали, сколько морковок осталось?" Именно так трактуется вычитание в первом классе, и это нацеливает сознание ребенка на то, что суть операции вычитания - это поиск остатка. Ни один ребенок, решая задачи на вычитание, не ищет никакую разность, а отвечает внутри себя совсем на другой вопрос: сколько останется, если значение первого числа уменьшить на значение второго числа. А если учителю почему-то нужно назвать получающийся остаток разностью, - что ж, наш первоклассник с легкостью назовет это разностью, однако на уровне внутреннего, неявного образа будет все же именовать получившийся результат остатком. Спросите ребенка-первоклассника: так что же такое разность в твоих примерах на вычитание? И он с уверенностью ответит: "ну как что? То, что остается после вычитания!"

А теперь представьте, пройдет немного времени, и ребенку придется "делить с остатком". И главное, что в итоге останется у ребенка в голове - это представление о совершенно удручающей путанице в вопросе, что есть что в математике.

Где же выход? Думается, что выход в самой математике. Но не в той выморочной псевдоматематике, которую сочинили методисты специально для младшеклассников, а в математике взрослой. Той математике, в которой знак «минус» означает никакое не вычитание, а отрицание. Той математике, в которой наряду с числами положительными абсолютно равноправно существуют числа отрицательные. Той математике, в которой ни один здравомыслящий человек не прочитает выражение 4-х=6 как "пример на вычитание": мол, мы из четырех вычли икс и у нас получилось шесть... Той математике, в которой не существует операции вычитания, а существует операция сложения с отрицательными числами.

Понятен недоуменный вопрос, который тут же возникает: а как же донести до сознания семилеточки-первоклассника идею отрицательного числа? Реально ли это, когда даже в пятом классе работа с абстракцией отрицательного числа вызывает у детей огромные затруднения?

В том-то и состоит суть дела, что, если сознание ученика еще не затуманено преподаванием традиционной арифметики с ее «вычитанием", сформировать абстракцию отрицательного числа у ребенка 7-8 лет оказывается вполне возможным. В нашем эксперименте создан целый цикл упражнений, позволяющих успешно решить эту задачу по формированию у ребенка абстракции отрицательного числа, а, следовательно, и абстракции модуля числа. В этом случае дети не просто научаются решать задачи на сложение с отрицательными числами, но и демонстрируют высокий уровень понимания самой сути отрицательного числа. И тогда то, что традиционно именуется операцией вычитания, оказывается для них всего лишь частным случаем сложнейшей операции сложения. И выражение типа 4-2=2 они с легкостью расшифровывают как задачу на сложение числа 4 с числом -2. Разработаны и проверочные эксперименты, которые доказывают, что дети на самом деле понимают суть и логику происходящего при этом процесса.

В главе представлена целая система задач, которая позволяет сформировать у младшего школьника глубинное понимание операции сложения с отрицательными числами, и, следовательно, способна подготовить его к вхождению в мир "большой математики".