Старшая группа (9-11 классы)

Задача 1.1.1 Найти наименьшее значение суммы 21•А + 14•В, если известно, что А•В = 6 и В > 0.

Задача 1.1.2 Найдите 2006 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного квадрата натурального числа.

Задача 1.1.3 Медианы треугольника имеют длины 9, 12, 15. Чему равна площадь этого треугольника?

Задача 1.1.4 Слава сложил из одинаковых кубиков с ребрами, равными 1, прямоугольный параллелепипед. Затем записал на бумажке три числа - 42, 48 и 82 и, показывая ее друзьям, сказал, что это - объем, площадь поверхности и сумма длин всех ребер сложенного им параллелепипеда, но не сказал, где какое число. Чему равны длины ребер этого параллелепипеда?

Задача 1.1.5 На чудо-дереве Мичурина растут бананы и апельсины, бананов в два раза больше, чем апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте вырастает один новый, причем если он срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных, то вырастает банан. Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве?

Задача 1.1.6 Из четырех натуральных различных чисел, больших 1, составили всевозможные попарные суммы. Известно, что самая малая из этих сумм равна 11, а самая большая - 29. Кроме того, среди этих сумм есть равные 12 и 21. Найдите те четыре числа, из которых составлялись указанные суммы.

Задача 1.1.7 Можно ли числа 1, 2,.., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

Задача 1.1.8 Известно, что в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АВ и А1В1, углы ÐАВС и углы ÐА1В1С1 и суммы длин сторон ВС + СА и В1С1 + С1А1. Докажите, что тогда равны и сами треугольники АВС и А1В1С1.

Задача 1.1.9 Дан треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. В него вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная большей стороне. Эта касательная отсекла от исходного треугольника меньший треугольник. В этот треугольник тоже вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная первой. Получился новый треугольник, в который снова вписана окружность и проведена касательная, параллельная предыдущим. Такие построения можно продолжать неограниченно долго (бесконечно). Чему равна сумма радиусов всех окружностей?

Задача 1.1.10 На каждой из планет некоторой системы находится ровно один астроном, и он наблюдает ближайшую планету. Расстояния между планетами попарно различны. Есть ли две планеты этой системы, астрономы которых наблюдают друг друга? Докажите, что если число планет нечетно, то какую-нибудь планету никто не наблюдает.

 

Средняя группа (6-8 классы)

Задача 1.2.1 В шахматном однокруговом турнире каждые два участника встречались между собой один раз. Сколько человек участвовало в турнире, если после его окончания оказалось, что всего было сыграно 78 партий?

Задача 1.2.2 На столе лежат 2006 камешков. Двое играющих берут поочередно с этого стола камешки, причем за один раз не более 10 камешков. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Кто должен наверняка выиграть: начинающий или его соперник? Как надо ему играть, чтобы наверняка выиграть?

Задача 1.2.3 Будем называть натуральное число "замечательным", если оно - самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных "замечательных" чисел? Выпишите их все.

Задача 1.2.4 Саша отпил 1/6 чашечки черного кофе и долил ее молоком. Затем он выпил 1/3 той же чашечки и снова долил ее молоком. После этого он выпил уже полчашечки смеси и снова долил ее молоком. Наконец, он выпил все содержимое чашечки. Чего Саша выпил больше - кофе или молока?

Задача 1.2.5 В тетради в клеточку нарисован квадрат 5x5 клеток. Разрежьте этот квадрат по линиям клетчатой бумаги на семь прямоугольников, среди которых нет одинаковых. Какие размеры полученных прямоугольников?

Задача 1.2.6 Можно ли в клетках таблицы 4 x 4 расставить числа 2005 и 2006 так, что для любой клетки этой таблицы сумма чисел в ней и всех ее соседях будет нечетной? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону или вершину.

Задача 1.2.7 У Дениса есть рыболовная леска длиной 192 см и ножницы. Он желает отрезать от нее кусок в 90 см. Сможет ли он это сделать, если у него нечем отмерить указанную длину? Если да, то, каким образом? Если нет, то обоснуйте почему?

Задача 1.2.8 Можно ли произвольный квадрат разрезать на 6 меньших, необязательно равных, квадратов? А на 2006 можно?

Задача 1.2.9 Поезду-экспрессу требуется три секунды на то, чтобы войти в туннель длиной в один километр. За какое время (в секундах) он пройдет весь туннель, если идет со скоростью 120 км/ч?

Задача 1.2.10 Вова задумал целое положительное число. Дима умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Димы то ли 5, то ли 6. Витя отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число мог задумать Вова?

Младшая группа (2-5 классы)

Задача 1.3.1 Имеется восемь шариков для подшипника. Один шарик оказался, при равных размерах с остальными, сделанным из более легкого сплава. Можно ли найти этот "легкий" шарик с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

Задача 1.3.2 За завтраком Дюймовочка съела два лепестка розы, два кукурузных зёрнышка и запила тремя каплями росы. Мальчик-с-пальчик съел четыре лепестка розы, три кукурузных зёрнышка и выпил шесть капель росы. После этого Дюймовочка стала весить на 14 граммов больше, а Мальчик-с-пальчик - на 25 граммов. Сколько граммов весит зёрнышко кукурузы?

Задача 1.3.3 В одном учебнике по математике для начальных классов есть такая задача: "Как 12 разделить, чтобы получилось две семерки?". Ясно, что ее нельзя решить стандартно. А вообще можно ли ее решить и как?

Задача 1.3.4 а) Можно ли 44 монеты расположить в десяти кошельках так, чтобы любые два из них содержали различное число монет? (Считаем, что два пустых кошелька содержат одинаковое число монет - нуль, и один кошелек в другой вкладывать нельзя). б) Та же задача, но теперь разрешается некоторые кошельки вкладывать в другие.

Задача 1.3.5 Имеются три сосуда емкостей 3 л, 3 л и 7 л. Можно ли, пользуясь этими сосудами, налить в большой сосуд ровно 5 л воды?

Задача 1.3.6. Три кренделя, пять коврижек и шесть баранок стоят по целому числу монеток, а все вместе 24 монетки. Что дороже: крендель или баранка?

Задача 1.3.7. Старинная задача: "В жаркий день шесть косцов выпили бочонок кваса за восемь часов. Нужно узнать, сколько косцов за три часа выпьют такой же бочонок кваса".

Задача 1.3.8. Есть 2003 монеты, одна из которых фальшивая, отличающаяся от остальных по весу. Выясните, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая, при помощи двух взвешиваний.

Задача 1.3.9. На столе лежат помидоры, огурцы и зеленые мячики. Зеленых предметов 8, круглых - 12, а съедобных - 14. Сколько помидоров лежит на столе?

Задача 1.3.10. На столе лежат три кучки камешков. В одной кучке один камешек, в другой - два, в третьей - три. Двое играющих берут поочередно эти камешки, причем за один раз можно взять любое число камешков из одной кучки. Выигрывает тот, кто забирает последний камешек. Что можно сказать об игре начинающего: он наверняка проигрывает или выигрывает?

 

1.4 Дополнительные вопросы

 

1. Кто ввел в математику термины "инвариант" и "дискриминант", и что эти термины означают?

2. Когда и в чьих работах впервые появились матрицы? Является ли матрицей таблица Д.И. Менделеева?

3. Кем впервые решена (сначала на основе механических соображений, а потом и строго геометрически) известная задача о точке пересечения медиан треугольника?

4. Какие окружности и почему называют окружностями Аполлония?

5. Что утверждает теорема Стюарта, и где она обычно применяется?

6. Давид Гильберт говорил, что тот, кто может решить следующую задачу в уме без вычислений, - тот прирожденный математик. Задача: "Из чашки с кофе в чашку с молоком перелили ложку кофе, затем такую же ложку смеси перелили обратно. Чего больше: молока в чашке с кофе или кофе в чашке с молоком?" Решите эту задачу и ответьте на вопрос: что вам известно о Д. Гильберте?