Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2019-07-12 | 183 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема Кэли-Гамильтона: матрица A удовлетворяет собственному характеристическому уравнению. Этот результат можно записать в виде:
На основе этой теоремы можно представить многочлен n-го порядка от матрицы A в виде линейной комбинации I, A, A2, …, An-1 или многочлена n-й степени относительно A.
Теорема Сильвестра: если N(A) – матричный многочлен от A и если квадратная матрица A содержит n различных характеристических чисел, то многочлен от A можно записать в виде
Можно показать, что
где P(l) – характеристический многочлен A, а потому теорема Сильвестра может быть записана в виде
Если матрица A содержит кратные характеристические корни, то необходимо использовать так называемую вырожденную форму теоремы Сильвестра. Пусть характеристический корень имеет порядок s. Тогда член суммы, соответствующий кратному корню li, можно представить в виде
Квадратичная форма
Квадратичной формой называется выражение:
Этой квадратичной форме соответствует матрица
Сделаем следующее преобразование с каждым членом квадратичной формы:
a12x1x2+a21x2x1=x1x2(a12+a21)=0.5(a12+a11)x1x2+0.5(a12+a11)x1x2
Как видно, матрица, соответствующая этой квадратичной форме, является симметрической. Квадратичную форму можно представить в матричном виде:
Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных, то есть
Ей соответствует диагональная матрица A=diag(lI). Следовательно, чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить над ней такое преобразование, которое приведет матрицу, соответствующую ей, к каноническому виду, например, диагонализацию матрицы.
Если над квадратичной формой сделано некоторое линейное преобразование, то первоначальная и полученная квадратичные формы называются конгруэнтными.
|
Пусть над квадратичной формой сделано преобразование вида:
или короче Y=BX, где B=[bij]. Тогда квадратичная форма после преобразования принимает вид
F(Y)=YTAY
F(X)=(BX)TABX=XTBTABX=XTCX, где C=BTAB.
Квадратичная форма в независимости от выбора базиса в каноническом виде имеет одинаковое количество положительных и отрицательных коэффициентов.
Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого xÎR
F(X, X)>0
и отрицательно определенной, если для любого xÎR
F(X, X)<0.
В случае нестрогого неравенства квадратичная форма называется положительно полуопределенной и отрицательно полуопределенной соответственно.
Чтобы определить положительность квадратичной формы, служит критерий Сильвестра: квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы, соответствующей этой квадратичной форме, положительны. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда угловые миноры матрицы, соответствующей этой квадратичной форме, будут чередоваться по знакам, начиная с отрицательного.
Список литературы
1. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатомиздат, 1987.
2. Деруссо, Рой, Клоуз. Пространство состояний в теории систем.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!