Определение компартментальной модели

При описании биологических систем оказывается, что в них можно выделить некоторые относительно независимые количества или объемы вещества, участвующие в кинетических процессах как некое целое, легко выделяемое из остальной системы.

При математическом описании предполагается, что эти количества вещества равномерно распределены в некоторых объемах пространства, так что их концентрация постоянна, т. е.

где с — концентрация рассматриваемого вещества, х_i‚ i = 1, 2, 3, пространственные координаты. Удобным способом изучения таких систем стал компартментальный анализ, основным элементом которого является понятие компартмента.

Обычно компартментом называется некоторое количество вещества, выступающее в процессах транспорта и обмена как самостоятельная единица. В общем случае компартментом можно назвать «вещество, характеризующееся некоторой количественной мерой». Как правило, компартмент описывается массой или концентрацией рассматриваемого вещества или объемом, который оно занимает в пространстве.

Модели биологических систем, в которых используется представление о компартментах, называются компартментальными моделями. Такие модели, как правило, используются для исследования процессов переноса вещества и энергии внутри живой системы и обмена их со средой. В этом случае компартментам приписывается пространственная характеристика: компартменту соответствует некоторая область или объем в биосистеме.

Так, в физиологических системах организма можно выделить области, различающиеся по концентрации каких-либо веществ или энергии (в модели системы дыхания Ф. Гродинза таких областей две — легочный и тканевый резервуары, отличающиеся концентрацией кислорода и т.д.). В других случаях в качестве компартментов рассматриваются взаимодействующие друг с другом вещества (или другие компоненты биосистемы)‚ находящиеся в одном и том же объеме. Тогда кинетика реакций также описывается с помощью компартментальных моделей, а различным компартментам отвечают количества или концентрации различных веществ в одной и той же пространственной области. Так, в тканях и жидкостях тела происходят многочисленные реакции между химическими веществами, и участвующие в них субстраты, ферменты и продукты могут рассматриваться как различные компартменты.

В моделях наземных экологических систем часто делается допущение, что все исследуемые процессы происходят на некоторой ограниченной территории (иногда, как в классической модели экологических систем—модели Вольтерра, такое допущение делается неявно), и в качестве компартментов выступают численности или плотности различных видов или возрастных групп животных.

В общем случае компартментальная модель содержит несколько связанных между собой компартментов, в которых протекают три типа процессов - обмен компонентами между отдельными компартментами, а также между компартментами и средой, превращение компонент друг в друга и, наконец, разнообразные процессы, приводящие к исчезновению рассматриваемых компонент или веществ. Процессы последнего типа обозначаются общим термином «утилизация».

Примерами процессов первого типа являются на организменном и суборганизменных уровнях физические процессы - диффузия, перенос веществ и энергии различного рода носителями (кровь, воздух в легких), излучение энергии, испарение воды с кожи и т. д. На уровне экосистем — миграции животных, перенос биомассы потоком воды в проточном культиваторе‚ перемещение биомассы растительных и "животных видов в водных экосистемах под действием течений и т. д.

К процессам превращения компонент относятся различного рода химические реакции (в биосистемах от клеточного до организменного уровня), взаимодействия типа «хищник-жертва». На уровне популяций (когда одна компонента служит пищей для другой), переход особей из одной возрастной группы в другую в экологических моделях, где различаются половозрастные группы.

Приведем и пример утилизации. Если в некоторой биосистеме рассматриваются только процессы поступления и распределения кислорода, то окислительные процессы, в результате которых кислород переходит в молекулы СО₂ и Н₂О, можно рассматривать как процесс утилизации кислорода. Утилизация происходит в тех компартментах, где протекают соответствующие процессы.

Подобные ситуации часто встречаются в физиологических системах, когда в относительно небольшом числе пространственных областей происходят перемещение и химические превращения большого числа веществ. Легко видеть, что при таком подходе число компартментов равно количеству дифференциальных уравнений, описывающих модель, или порядку уравнений системы. Во многих работах, однако, разница между компартментом и пространственной областью отсутствует. Так, компартмент рассматривается как определенное физиологическое пространство, в котором имеется то или иное количество вещества, участвующего в процессах транспорта и обмена.

При описании экосистем компартментом считается обычно любой элемент системы, с которым связано накопление биомассы. Так, в обзоре по моделированию экосистем рассматривается компартментальная модель популяции коловраток, в которой роль компартментов играют следующие величины: количество молодых диплоидных самок, количество взрослых диплоидных яиц, количество гаплоидных яиц и т. д.

Если некоторое вещество в компартментальной системе перемещается из одного компартмента в другой, темп изменения количества этого вещества , для i-го компартмента определяется уравнением

где — количество вещества в i-м компартменте, y_ij — темп потока вещества из j-го компартмента в i-й, y_i0 и у_0i — темпы потоков вещества из окружающей среды в i-й компартмент и из компартмента в среду соответственно, g_i и d_i— темпы возникновения и исчезновения вещества вi-м компартменте.

Развитие компартментального анализа систем в течение длительного времени было связано почти исключительно с изучением так называемых индикаторных методов исследования физиологических систем. Эти методы заключаются в том, что для анализа потоков вещества в некоторой системе в нее вводится извне специфическое вещество—индикатор, движение которого легко регистрируется. Обычно это радиоактивные или окрашивающие вещества.

Процессы в компартментальных моделях описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, что позволяет широко использовать при их исследовании методы пространства состояний. Если система описывается дифференциальными уравнениями в частных производных (например, если предполагается непрерывное изменение плотности распределения каких-либо веществ в пространстве), то модель не относится к компартментальным. Поскольку уравнения в частных производных используются для описания потоков вещества и энергии в пространстве, такие системы — в противовес компартментальным моделям — иногда называют потоковыми моделями. Таковы, например, модель биоакваценоза, в которой рассматривается непрерывное изменение характеристик системы—освещенности и концентраций биомассы по глубине, модель терморегуляции в организме человека‚ где потоки тепла описываются уравнениями теплопроводности. Однако компартментальные модели и в этом случае могут служить хорошим приближенным описанием системы.