Арифметические действия в формате с плавающей запятой и правила их выполнения.

Сложения и вычитания чисел с плавающей запятой

1. Производится выравнивание порядков чисел. Порядок меньшею (по модулю) числа принимается равным порядку большего числа, а мантисса меньшего числа сдви­гается вправо на число S-ичных разрядов, равное разности порядков чисел.

2. Производится сложение (вычитание) мантисс, в ре­зультате чего получается мантисса суммы (разности).

3. Порядок результата принимается равным порядку большего числа.

4. Полученная сумма (разность) нормализуется.

Умножение чисел с плавающей запятой

Определение знака произведения путем сложения по модулю два знаковых цифр мантисс сомножителей.

Перемножение модулей мантисс сомножителей по правилам для дробных чисел с фиксированной запятой.

Определение порядка произведения путем алгебраического сложения порядков сомножителей с использованием либо дополнительного, либо обратного модифицированного кода.

Нормализация результата и округление мантиссы в случае необходимости. Поскольку сомножители обязательно являются нормализованными числами, то де нормализация произведения возможна только на разряд и только вправо.

Деление по такому же принципу.

5.1.понятие системы счисления. системы счисления-это совокупность приёмов и правил наименования и обозначения чисел,позволяющих установить взаимодействие назначенных соответствий между числом и его представлением в виде конечного числа символа. 5.2.алфавит, число, цифра. в любой системе счисления выбирается алфавит,представляющий собой совокупность некоторых символов,с помощью которых можно представить любое количество.изображение этого количества называется числом,а символ алфавита-цифрой. 5.3.наиболее известные системы счисления. десятичная,в 12веке перенесена арабами в Европу);-двенадцатиричная(родилась на Древнем Востоке);двоичная. 5.4.непозиционные системы счисления, примеры. Непозиционные системы счисления - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания.Позиция цифр в числе значения не имеет. Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.примеры:-алфавитная система записи чисел(каждой цифре ставится в соответствии буква алфавита);-римская система записи чисел(XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818). Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века. 5.5.существенные недостатки непозиционных систем счисления. существенно поставленная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;-невозможно представлять дробные и отрицательные числа;-сложно выполнять арифметические операции,так как не существует алгорифмов их выполнения.6)позиционная система счисления-значение цифры определяется её местоположением(позицией).ПСС:-простота выполнения арифметических операций;-ограниченное количество символов(цифр)необходимых для записи числа. 5.6.Позиционные СС. В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман. Под позиционной системой счисления обычно понимается b -ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b: , где a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству . Каждая степень b^k в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_{n − 1} в b -ричном представлении x была также ненулевой. Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде: Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: 1 — единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.); 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании); 3 — троичная; 4 — четверичная; 10 — десятичная (используется повсеместно); 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами); 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах^{[ источник не указан 69 дней ]}); 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты). Обобщением b -ричных систем счисления являются комбинированные системы счисления, в которых может использоваться несколько оснований. 5.7.алфавит, основание системы счисления. Афавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.(десятичная, двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная) 5.8.формы записи чисел в позиционных системах счисления. Свернутой формой записи числа называется запись в виде A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой. Пример. Десятичное число 4718,63 двоичное число 1001,1 восьмеричное число 7764,1 шестнадцатеричное число 3АF16 Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде: Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m) Здесь А — само число, q — основание системы счисления, ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n — число целых разрядов числа, m — число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа - сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления Пример Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так: А10=4•103+7•102+1•101+8•100+6•10-1+3•10-2 Двоичное число А2=1001,1 А2=1•23+0•22+0•21+1•20+1•2-1 Восьмеричное число А8=7764,1 А8=7•83+7•82+6•81+4•80+1•8-1 Шестнадцатеричное число А16=3АF16 А16= 3•162+10•161+15•160 5.9.перевод целых, дробных и смешанных чисел из 1 позиционной СС в другую. При переводе целого числа (целой части числа) из одной системы счисления в другую исходное число (или целую часть) надо разделить на основание системы счисления, в которую выполняется перевод. Деление выполнять, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат перевода определяется остатками от деления: первый остаток дает младшую цифру результирующего числа, последнее частное от деления дает старшую цифру. При переводе правильной дроби из одной системы счисления в другую систему счисления дробь следует умножать на основание системы счисления, в которую выполняется перевод. Полученная после первого умножения целая часть является старшим разрядом результирующего числа. Умножение вести до тех пор пока произведение станет равным нулю или не будет получено требуемое число знаков после разделительной точки. Например, 1) перевести дробное число 0.243 из десятичной системы счисления в двоичную. 0.243(10) ---> 0.0011111(2). Проверка: 0.0011111 = 0*2^(-1) + 0*2^(-2)+1*2^(-3) + 1*2^(-4)+1*2^(-5) + +1*2^(-6)+1*2*(-7) = 0,2421875 2) перевести целое число 164 из десятичной системы счисления в двоичную систему. 164(10) ---> 10100100(2) Проверка: 10100100 = 1*2^7 + 0*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 128+32+4=164 При переводе смешанных чисел целая и дробная части числа переводятся отдельно. 5.10.перевод чисел из 1ССв другую через двоичную СС, правила и примеры. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012. Имеем: 0,11012 = 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 +1*2-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125. Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана. Таким образом, 0,11012 = 0,8125. перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. При переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления, нужно это число влево и вправо от запятой разбить на триады символов (группы по три символа) и каждую триаду записать в виде символа восьмеричной системы счисления. В том случае, если крайняя левая или правая триады получаются неполными, нужно в этих триадах слева добавить недостающее количество до полной триады нулей. Таблица Для восьмеричной 000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7 Пример: преобразуем 1011002 восьмеричная — 101 100 → 548 Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. При переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления, нужно это число влево и вправо от запятой разбить на тетрады символов (группы по три четыре) и каждую тетраду записать в виде символа шестнадцатеричной системы счисления. В том случае, если крайняя левая или правая тетрада получаются неполными, нужно в этих тетрадах слева добавить недостающее количество до полной тетрады нулей. Например, переведём число 1101111100, 111001112=37С,Е7(16) в шестнадцатеричную систему счисления. Для шестнадцатеричной 0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F Пример: преобразуем 1011002 шестнадцатеричная — 0010 1100 → 2C16 5.11.арифметические операции в позиционных СС. сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим 110(2) и 11(2)=1001(2) Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой: 0-0=0 0-1=_11 1-0=1 1-1=0 Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел: 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. 110(2) * 11(2)=10(2) 5.12.построение таблиц арифметических действий в позиционных системах счисления. Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110₂ и 11₂:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110₂ = 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 6₁₀;

11₂ = 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 3₁₀;

6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀.

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001₂ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 9₁₀.

Сравним результаты - сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110₂ на 11₂:

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатерич-ной системах счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:

 

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

 

6.1.понятие как форма мышления, его содержание и объем.

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множество. Например, понятие “компьютер” объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой.

Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. (Например, содержание понятия “персональный компьютер” можно раскрыть следующим образом: “Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя”).

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется.