Из 15 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 10 билетов выигрышным является один.

15=2выигр+13простых→1выиг+9простых

C¹₂=2!/(2-1)11!=2

C⁹₁₃= 13!/(13-9)19! = (9!*10*11*12*13)/(9!*4*3*2*1)=17160/24=715

C¹⁰₁₅=15!/(15-10)!10!=(10!*11*12*13*14*15)/(10!*1*2*3*4*5) = 360360/120=3003

P(A)=m/n= (C¹₂* C⁹₁₃) / C¹⁰₁₅=2*715/3003=1430/3003=0,476

58. Готовясь к вступительному экзамену по математике, абитуриент должен подготовить 20 вопросов по элементам математического анализа и 25 по геометрии. Однако он успел подготовить только 15 вопросов по элементам математического анализа и 20 по геометрии. Билет содержит 3 вопроса, 2 из которых по элементам математического анализа и 1 по геометрии. Какова вероятность, что: а) студент сдаст экзамен на отлично (отвечает на все три вопроса); б) на хорошо (отвечает на любые два вопроса)?

На стеллаже 15 учебников, 5 из них в переплете. Наудачу выбирают 3 учебника. Какова вероятность того, что хотя бы один из них будет в переплете?

P(A) – сумма вероятностей a+b+c, где a-из 3х взятых все 3 в переплете, b- из 3х-2 в переплете, с-из 3х – 1 в переплете.

a= C³₅ = 5!/3!*2! = 10

C³₁₅ = 15!/3!(15-3)! = 455

b= C²₅* C¹₁₀ =10*10=100

c= C¹₅ * C²₅ = 5!/4! *10! / 2!*8! = 5*(9*10)/2 = 225

P(A) = C³₅ * C²₅* C¹₁₀ * C¹₅ * C²₅ / C³₁₅ = 0,736

Ответ: P(A) = 0,756.

60. Из 5 винтовок, из которых 3 снайперские и 2 обычные, наудачу выбирается одна, и из неё производится выстрел. Найти вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки - 0,95, а из обычной 0,7.

61.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено 3 выстрела. Какова вероятность, что будет: а)про попадания, б) один промах, в) хотя бы одно попадание.

Решение: а) P₃(3) = C³₃ * p³ *q⁶ = C³₃ (0,7)³ *(0,3)⁶ = 0,343

б) P(2) = С²₃ * p²* q^3-2 = 3*0,72*0,3 = 0,441

в) A1A2^—A3 + A1^---A2A3+ ^---A1A2A3+A1^----A2^----A3+^---A1^---A2A3+^---A1A2^---A3+A1A2A3=0,441 + 0,189+0,343=0,973

Ответ: а) 0,343, б) 0,441, в)0,973.

62. На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена 0,5, для второго 0,3, для третьего 0,1. Какова вероятность того, что: а) рекорд будет установлен одним спортсменом; б) рекорд будет установлен хотя бы одним спортсменом; в) рекорд не будет установлен.

Решение:

а) P(A1 ^---A2^---A3) = P(A)* P(^---A2)*P(^---A3) 0,5*0,7*0,9 = 0,315

P(^---A1A2^---A3) = P(^---A1)*P(A2)*P(^---A3) = 0,5*0,3*0,9 = 0,135

P(^---A1^---A2A3) = P(^---A1)*P(^---A2)*P(A3) = 0,5*0,7*0,1 = 0,035

P(^---A1^---A2A3) + P(^---A1A2^---A3) + P(^---A1^---A2A3)=0,315+0,135+0,035=0,485

в) P(^---A1^---A2^---A3) = P(^---A1)* P(^---A2)* P(^---A3)= 0,5*0,7*0,9=0,315

б) 1- P(^---A1^---A2^---A3) = 1- 0,315 = 0б685

63. В первой урне из 10 шаров, 6 черного и 4 белого цвета, во второй 3 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что вынуты: а) 2 белых шара; б) хотя бы один шар черный; в) белый и черный в любой последовательности.

Решение:

64.Вероятность того, что хотя бы один из трех покупателей купит определенный товар, равна 0,784. Вероятность покупки товара покупателями одинаковы. Определить вероятность того, что: а) два покупателя совершат покупки, б) три покупателя совершат покупки.

Решение: 0,784 = ppq + pqp +qpp + pqq +qpq + qqp + ppp

q= ³√0, 216

q=0,6

p=0,4

для 2х покупателей: ppq + pqp +qpp = (0,4)² * 0,6 *3=0,288

для 3х покупателей: ppp= (0,4)³ = 0,064

Ответ: 0,288; 0,064.

65.В коробке находятся жетоны с цифрами от 1 до 10. Наудачу извлекаются 2 жетона. Какова вероятность того, что будут вынуты: а)оба жетона с нечетными номерами; б)хотя бы один жетон с нечетным номером; в)один жетон с четным номером.

Решение: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 четных+5 нечетных = 10 жетонов

А) P = m / n; P = 10/45 = 2/9 – вероятность того, что будут вынуты оба жетона с нечетными номерами.

n= C²₁₀ = 10! / (10*2)! 2! = 10! / 8!*2! = 8!*9*10 / 8!*1*2 = 90/2 = 45 –число всех равновозможных случаев.

m= C²₅ = 5! / (5-2)!*2! = 5! / 3!*2! = 3!*4*5 / 3!*2! = 20/2 = 10 –число благоприятствующих случаев.

б) P = m / n

n=45

m= C²₅ +C¹₅ * C¹₅ = 10 + (5! / (5-1)! 1!)* (5! / (5-1)! * 1!) = 10 + ((4!*5) / 4!*1) *((4!*5)/4!*1) = 10+25 = 35

P = 35/45 = 7/9 –вероятность того, что будет хотя бы один жетон с нечетным номером из 2-х вытянутых.

в) P= m/n

n = 45

m = C¹₅ * C¹₅ = 25

P = 25/45 = 5/9 – вероятность того, что из двух вынутых жетонов один с четным номером

Ответ: а) 2/9; б) 7/9; в) 5/9

66. В двух группах обучается по 25 студентов. В первой группе сессию на «отлично» сдали 7 человек, во второй 4 человека. Из каждой группы наудачу вызывают по одному студенту. Какова вероятность того, что: а) оба студента отличники; б) только один отличник; в) хотя бы один отличник.

Решение: A1 – выбор из 1ой группы отличников.

А2 – из 2ой.

P(A1) = 7/25 => P(^---A1) = 18/25,

P(A2) = 4/25 => P(^----A3) = 21/25.

а) B- выбор из 2х групп 2х отличников.

P(B) = P(A1)* P(A2) = 7/25 * 4/25 = 21/625.

б) C – выбор из 2х 1 отличника

P(C) = P(A1^---A2 + ^----A1*A2) = 7/25 * 21/25 + 4/25 * 18/25 = 147/625 + 72/625 = 219/625

в) D - хотя бы 1 отличник

P(D) = 1- - P (^---A1 * ^---A2) = 1 – 18/25 * 21/25 = 247/625

Ответ: 21/625; 219/625; 247/625

67. В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6-1.Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Определить вероятность того, что а)оба исправны, б)хотя бы один исправен, в) только один исправен

P(A1)=6/8=3/4

P(A2)=5/6

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

б)P(A) = 1-P(^---A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: а) двое мужчин и одна женщина; б) только женщины; в) хотя бы один мужчина.

Решение: а) A-1 мужчина

B- 2 мужчины

С- 1 женщина

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) A-1 женщина

B-2 женщины

С-3 женщины

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) A-хотя бы 1 мужчина

^---A все женщины

P(A)=1- P(^---A)

P(^---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

P(A) = 1- 0,049

69. Из 25 работников, предприятия 10 имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют; а) три человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.

Решение:

70. На карточках написаны буквы «К», «А», «Р», «Т», «О», «Ч», «К», «А». Карточки перемешивают и кладут в порядке их вытаскивания. Какова вероятность того, что получится: а) слово «КАРТОЧКА»; б) слово «КАРТА»; в) слово «ТОК».

71. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.

Решение:

72. Бросается три игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на одной из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры

73. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар извлеченный после этого из первого ящика - черный.

74. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а)Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии.

Решение:

75. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и третьей по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из третьей урны?

Решение: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – вероятность вытащить белый шар.

Если выбирается 1ая урна P(A/H1) = 3/5

2ая P(A/H2) = 4/7

3я P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Ответ: 1/3

76. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства 90%, второго 85%, третьего 95%. а) Определить вероятность того, что наудачу 'взятое семя не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства?

77. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.

Решение: H1-выбор студента который выучил все, H2 – выбор студента, который выучил 25 вопросов, H3 – выбор студента, который выучил 20 вопросов, H4 – выбор студента, который выучил 10 вопросов.

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-те кто выучил все вопросы, n- все студенты.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(H4) = 1/20

P(A/H1) = 1 – Вероятность того, что студент, который выучил всё,ответил на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятность того, что студент ответит на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятность того, что студент, который выучил 20 вопросов ответит на 2 вопроса билета.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятность того, что студент, который выучил 10 вопросов, ответит на 2 вопроса билета.

Используя формулу полной вероятности найдем вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на 2 вопроса билета:

P(A) = ∑ P(H_i) P(A/H_i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Ответ: 5/6

78. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки 99%, необработанных 85%. А) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? Б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того,что оно выращено из обработанного семени?

Решение: H1-обработанные семена, H2 – необработанные семена, A – семя взошло.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 –веротность того,что случайно взятое семя взойдет,если оно обработано.

P(A/H2) = 0,85 – Вероятность того,что случайно взятое семя взойдет, если оно необработанно.

А) по формуле полной вероятности найдем вероятность, что случайно взятое семя взойдет:

P(A) = ∑ P(H_i) P(A/H_i) = ∑ P(H_i)P(A/H_i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)

P(A) = 0,95* 0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Ответ: 0,983

79. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из - строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

80. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, втором 0,6 и третьем 0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине.