Перевод записи числа из одной системы счисления в другую

В практике компьютеризации используются две основные системы счисления (обозначения) целых чисел без знака: десятичная и двоичная. Существуют достаточно простые алгоритмы перевода записи числа из одной системы счисления в другую.

Алгоритм 1. Перевод В-ной ® 10

Перевод В-ичной записи числа в десятичную запись числа

Для получения записи (d)₁₀ числа d из записи (d)_в, следует построить в системе с основанием В соответствующее каноническое выражение [е] _в, представляя основание как 10;

Представляя элементы этого каноническое выражения [е]_в в десятичной системе, перевести его в неканоническое выражение (е)₁₀ десятичной системы;

Вычислить неканоническое выражение (е)₁₀ и получить десятичную запись числа (d)₁₀.

Примеры.

Перевод (запись числа)₈ ® (запись числа)₁₀

(d)₈: запись - 8-й системы

[e]₈: каноническое выражение 8-й системы

(e)₁₀: выражение 10-й системы

(d)₁₀: запись - 10-й системы

(125)₈ =[1*10²+2*10¹+5*10⁰]₈=(1*8²+2*8¹+5*8⁰)₁₀ =(85)₁₀

Перевод (запись числа)₁₆ ® (запись числа)₁₀

(d)₁₆: запись - 16-й системы

[e]₁₆: каноническое выражение 16-й системы

(e)₁₀: выражение десятичной системы

(d)₁₀: запись - десятичной системы

(125)₁₆ =[1*10²+2*10¹+5*10⁰]₁₆=(1*16²+2*16¹+5*16⁰)₁₀=(293)₁₀

Алгоритм 2. Перевод 10 ® В

Для перевода десятичной записи числа в В - ичную используются операции целочисленного деления, рис.1.6:

X mod Y - результатом является остаток от деления X на Y, X div Y - результатом является целая часть от деления X на Y.

В результате получается запись числа в системе с основанием В, записанная в обратном порядке.

Примеры.

Представить число 56 десятичной системы счисления в двоичной и 125 десятичной системы в восьмеричной системе счисления:

Перевод (запись числа)₁₀ ® (запись числа)₂

 

Рисунок 1.1 - Перевод десятичной записи числа в В-ичную запись того же числа

 

Перевод (запись числа)₁₀ ® (запись числа)₁₆

125½ 16 Ответ: [125]₁₀ = [7D]₁₆

112 7

13

Несмотря на достаточную простоту алгоритмов перевода чисел из одной системы кодирования в другую, “ручное” их выполнение при вводе (выводе) данных в память (из памяти) компьютера неприемлемо для человека. Поэтому используются программы, выполняющие эти действия без вмешательства человека. И рядовой пользователь компьютера, вводя и читая десятичные числа с использованием экрана дисплея, может даже не подозревать о существовании двоичной системы кодирования этих чисел.

Методика и порядок выполнения работы

 

1. Перевести числа из одной системы счисления в другие системы счисления:

 

Вариант	Из 10-СС в 2 и 8 и 5 и 16-СС	Из 10-СС в 2 и 8 и 5 и 16-СС	Из 2-СС в 8 и 16-СС	Из 10-СС в 2-СС
	17510	0,175910	1000001012	12,33510
	20910	0,209710	110010002	234,25410
	31610	0,316110	11001012	1,45310
	15510	0,155610	10111002	22,64610
	20710	0,207110	11000012	106,36710
	40110		100100002	26,02610
	26110	0,261210	1100100012	2,20710
	20010	0,200310	11100112	110,12310
	10110	0,101510	110010102	20,58910
	9210	0,927810	11110112	211,112110
	9710	0,978410		311,32110
	14410	0,144910		16,458110
	11510	0,115710		103,09810
	20210	0,202410		250,65310
	12310	0,123910		1,289910
	23410	0,234610		110,65410
	14510	0,145710		17,50910
	22610	0,226610		209,870410
	10610	0,106510		316,376510
	26010	0,260410		155,93210
	22010	0,220110		207,23410
	11010	0,110210		4,01510
	20510	0,205910		26,18410
	21110	0,211310		200,21310
	31110	0,311210		101,375410
	16110	0,161310		9,217510
	10310	0,103410		97,75610
	25010	0,250710		144,94110
	12910	0,129610		115,86310
	11010	0,110810		20,83210

2. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления, а из двоичной – в десятичную систему счисления.

 

Вариант	8-СС	16-СС	Вариант	8-СС	16-СС
		1АЕ2			7D5A
		1С1С			A1B2D
		2АВ5			6F15
		34Е6			ACDF
		2FBD1			1F45
		1375BF			EDAB5
		34FC1			253FA
		24FD			1657FD
		FDFF			FFFFE
		D3BF			DDFDF
		164F			BFDE
		FEDC			ABDF3
					642FD
		AC43			F53D7
		FCA4			26ABC

 

Вопросы для защиты работы

1. Дайте определение системе счисления. Какие системы счисления вы знаете? Охарактеризуйте их.

2. Как представляются целые неотрицательные числа?

3. Запишите алгебраическое выражение в инфиксной, префиксной, постфиксной формах.

4. Что называется разрядом числа?

5. Какие алгоритмы перевода записи числа из одной системы счисления в другую вы знаете? Сформулируйте правила перевода для каждой из них.

6. Выполните задание согласно вашему варианту.

 

Лабораторная работа № 2

Арифметические основы ЭВМ

Цель занятия:

1. Изучить машинные коды, нашедшие применение в вычислительных машинах.

2. Закрепить знания по выполнению арифметических операций над числами в ПК.

 

Теоретическое обоснование

Машинные коды

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложения и сдвиг. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Во всех без исключения ЭВМ все операции над числами выполняются с использованием специальных машинных кодов. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения. Различают прямой код (П), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДП) двоичных чисел.

Прямой код. Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единицы) перед его старшим числовым разрядом.

Применение прямого кода.

В информатике прямой код используется главным образом для записи неотрицательных целых чисел. Его легко получить из представления целого числа в любой другой системе счисления. Для этого достаточно перевести число в двоичную систему счисления, а затем заполнить нулями свободные слева разряды разрядной сетки машины.

Однако у прямого кода есть два недостатка:

· В прямом коде есть два варианта записи числа 0 (например, 00000000 и 10000000 в восьмиразрядном представлении).

· Использование прямого кода для представления отрицательных чисел в памяти компьютера предполагает или выполнение арифметических операций центральным процессором в прямом коде, или перевод чисел в другое представление (например, в дополнительный код) перед выполнением операций и перевод результатов обратно в прямой код (что неэффективно).

Выполнение арифметических операций над числами в прямом коде затруднено: например, даже для сложения чисел с разными знаками требуется кроме сумматора иметь специальный блок-«вычитатель», сложность реализации которого, такая же, как и обычного сумматора. Кроме того, при выполнении арифметических операций требуется особо обрабатывать значащий разряд, так как он не имеет веса. Также требуется обработка «отрицательного нуля». Таким образом, выполнение арифметических операций над числами в прямом коде потребует сложной архитектуры центрального процессора и в общем является неэффективным.

Гораздо более удобным для выполнения арифметических операций является дополнительный код.

 

Пример: Представить десятичные числа +10 и –15 в двоичной системе счисления и записать их соответствующие прямые коды.

Знаковый разряд имеет значение

0 – для положительных чисел;

1 – для отрицательных чисел.

 

Решение:

А₁₀ = +10, А₂ = 1010, [A₂]_п=0:1010;

B₁₀ = -15, B₂ = -1111, [B₂]_п=1:1111.

Точечной вертикальной линией (:) здесь отмечена условная граница, отделяющая знаковый разряд от значащих разрядов двоичного числа.

 

Обратный код. Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа меняются на инверсные, то есть нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Пример: Представить десятичные числа +5 и –13 в двоичной системе счисления и записать их соответствующие обратные коды.

 

Решение:

А₁₀=+5,®А₂ =+101, [A₂]_п=[A₂]_ок=0:101;

В₁₀=-13®В₂ =-1101, [B₂]_ок =1:0010.

Свое название обратный код чисел получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Укажем наиболее важные свойства обратного кода чисел:

• сложение положительного числа С с его отрицательным значением в обратном коде дает так называемую машинную единицу МЕок = 1: 1 111...11, состоящую из единиц в знаковом и в значащих разрядах числа;

• нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть как положительным числом — 0: 00...0, так и отрицательным — 1: 111…11. Значение отрицательного нуля совпадает с МЕок. Двойственное представление нуля явилось причиной того, что в современных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополнительным кодом.

Дополнительный код. Дополнительный код (англ. two’s complement, иногда twos-complement) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, чем упрощает архитектуру ЭВМ. Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2° - для целых чисел, 2^-k - для дробных чисел).

Преимущества и недостатки.

Преимущества.

Один и тот же регистр может хранить как n-битовое положительное число, так и (n−1)-битовое число со знаком, с общими для обоих форматов операциями сложения, вычитания и левого сдвига.

Более удобная упаковка чисел в битовые поля.

Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки.

Дополнительный код неочевиден для новичков.

В сложных форматах (таких, как плавающая запятая или двоично-десятичный код) большинство преимуществ аннулируются.

Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Пример: знаковое целое 1-байтовое. Максимальное число: 127₁₀ == 7F₁₆ == 01111111₂. Минимальное число: -128₁₀ == 80_{16,дополнительный код} == 10000000_{2,дополнительный код}. Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака требует дополнительной проверки.

Пример: Найти дополнительный код -7₁₀

-7₁₀=111₂

Прямой код: 1: 111

Обратный код: 1: 000

Дополнительный код: 1: 001 (1: 000+1)

Пример: Представить десятичные числа +19 и –13 в двоичной системе счисления и записать их соответствующие дополнительные коды.

Решение:

А₁₀ = + 19, ® А₂ = + 10011, [A₂]_п = [A₂]_ок = [A₂]_дк = 0: 10011;

В₁₀ = -13, ® В₂ = - 1101, [B₂]_дк = [B₂]_ок + 2⁰ = 1: 0010 + 1 = 1: 0011.

Укажем основные свойства дополнительного кода:

• сложение дополнительных кодов положительного числа С с его отрицательным значением дает так называемую машинную единицу дополнительного кода: МЕдк = МЕок + 2° = 10: 00...00, то есть число 10 (два) в знаковых разрядах числа;

• дополнительный код получил такое название потому, что представление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы МЕдк.

В табл. 1 представлены прямые, обратные и дополнительные коды чисел от –7₁₀до +7₁₀.

Таблица 1

Десятичное число х	Рпр(х)	Робр(х)	Рдоп(х)
	0: 000	0: 000	0: 000
	0: 001	0: 001	0: 001
	0: 010	0: 010	0: 010
	0: 011	0: 011	0: 011
	0: 100	0: 100	0: 100
	0: 101	0: 101	0: 101
	0: 110	0: 110	0: 110
	0: 111	0: 111	0: 111
-0	1: 000	1: 111	-
-1	1: 001	1: 110	1: 111
-2	1: 010	1: 101	1: 110
-3	1: 011	1: 100	1: 101
-4	1: 100	1: 011	1: 100
-5	1: 101	1: 010	1: 011
-6	1: 110	1: 001	1: 010
-7	1: 111	1: 000	1: 001

Модифицированные обратные и дополнительные коды. Модифицированные обратные и дополнительные коды двоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак «-» — двумя единичными разрядами.

Пример: Представить десятичные числа +9 и -9 в двоичной системе счисления и записать их соответствующие прямые, обратные, дополнительные, модифицированные обратные и дополнительные коды.

Решение:

А₁₀=9,®А₂ =+1001, [A₂]_п =[A₂]_ок=[A₂]_дк =0:1001,

[A₂]_мок = [A₂]_мдк = 00: 1001;

 

В₁₀=-9,®В₂=-1001, [В₂]_ок =1:0110, [В₂]_дк =1:0111,

[В₂]_мок = 11: 0110, [В₂]_мдк = 11: 0111.

 

Пример:

(+49)₁₀→(+110001)₂ [A]_п→0:110001. Дополнительный код [A]_дк→0:110001.

Модифицированные обратные и дополнительные коды [A]_мок = [A]_мдк =00:110001,

(-70)₁₀→(-1000110)₂ [В]_п→1:1000110. Дополнительный код [В]_дк→1:0111001

Модифицированные обратные и дополнительные коды [В]_мок =11:1000110;

[В]_мдк =11:1000111,

 

Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение случаев получения неправильного результата, когда значение результата превышает максимально возможный результат в отведенной разрядной сетке машины. В этом случае перенос из значащего разряда может исказить значение младшего знакового разряда. Значение знаковых разрядов «01» свидетельствует о положительном переполнении разрядной сетки, а «10» - об отрицательном переполнении. В настоящее время практически во всех моделях ЭВМ роль удвоенных разрядов для фиксации переполнения разрядной сетки играют переносы, идущие в знаковый и из знакового разрядов.