Взаимное расположение плоскостей

 

1. Пересекающиеся, если имеют общую точку.

2. Параллельными, если не имеют общих точек.

 

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

 

 

Свойства

Теорема 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

Теорема 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны.

 

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

 

1. Прямая лежит в плоскости.

2. Прямая пересекает плоскость в точке.

3. Прямая параллельна плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая параллельна какой-либо прямой лежащей в плоскости, то эта прямая параллельна плоскости.

Свойства

Теорема 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

 

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в данной плоскости.

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

 

Определение 1 Перпендикулярными называются прямые, между которыми угол равен 90⁰ (пересекающиеся или скрещивающиеся).

Определение 2 Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

 

Свойства

Теорема 1 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Теорема 2 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к плоскости и притом только одна.

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

H a A M

АН – перпендикуляр, Н – основание перпендикуляра. АМ – наклонная, М – основание наклонной. Наклонная больше перпендикуляра, проведенного из одной точки. Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость *НМ – проекция наклонной на плоскость *АН – расстояние от А до плоскости α. ÐAMH- угол между прямой MA и плоскостью α.

 

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

 

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

 

Двугранный угол – это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащих одной плоскости.

 

Измерение двугранного угла

CD – ребро двугранного угла, О принадлежит CD; точки А и В лежат в разных полуплоскостях, АО перпендикулярно CD; BO перпендикулярно CD. Угол АОВ называется линейным углом двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Может быть прямым, острым, тупым.

Признак перпендикулярности дух плоскостей

Если одна из плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

 

 

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ

1. Квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм изображают параллелограммом.

2. Любой треугольник (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный и т.д.) изображаются как разносторонний остроугольный треугольник.

3. Трапеция – трапеция.

4. Круг (окружность) – эллипс.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

А С В D F	№ 1 Даны точки А, В, С и D не лежащие на одной плоскости. Указать: 1) плоскости, которым принадлежит прямая АВ, точка F, точка С; 2) прямую пересечения плоскостей (АВС) и (АСD), (АВD) и (DCF).
С •   a b a	№ 2 Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Может ли точка С принадлежать плоскостям?
С A E D B	№ 3 Точка D лежит вне плоскости (АВС). Пересекаются ли прямые DE и ВС?
a b m n	№ 4 Плоскости α и β пересекаются по прямой n. Прямая m принадлежит плоскости α. Построить точку пересечения прямой m и плоскости β.
a b A a B C	№ 5 Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Точки А и В принадлежат плоскости α, а точка С плоскости β. Построить прямые пересечения плоскости (АВС) с плоскостями α и β.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
a A B C D	№ 6 ABCD – параллелограмм. Точки A, B и D лежат в плоскости α. Доказать, что точка С лежит в плоскости α.
A K N D	№ 7   Точка А лежит вне плоскости DNK. Доказать, что прямые AD и NK - скрещивающиеся.
B A C a b	№ 8   Прямая b параллельна ВС. Прямая а пересекает плоскость (ABC). Доказать, что прямые а и b скрещивающиеся.
A A1 B1 C1 C D B D1	№ 9 Дан куб. Для прямой А1С1 найти параллельную, пересекающуюся и скрещивающуюся прямые, параллельную плоскость. Найти yна чертеже: 1) пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) скрещивающиеся прямые; 4) параллельные плоскости; 5) параллельную прямую и плоскость.
A D C K B	№ 10   Точка К лежит вне плоскости трапеции ABCD. Доказать, что CD параллельна плоскости (АКВ).
A C1 B1 B C	№ 11 Плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках В1 и С1 соответственно. В1С1 параллельна ВС, В1С1=6. АС1 : С1С = 3: 4. Найти ВС.
C1 A A1 C B B1	№ 12 Прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны. АА1 = ВВ1 = СС1. Доказать параллельность плоскостей (АВС) и (А1В1С1).
A1 B1 C1 B A C	№ 13   АА1С1В и СС1В1В- параллелограммы. Доказать параллельность плоскостей (АВС) и (А1В1С1).
A C A1 B B1 D C1	№ 14   DA1 = AA1, DC1 = CC1, DB1 = BB1. Доказать параллельность плоскостей (АВС) и (А1В1С1).
C B D E A B1 A1 C1	№ 15 ABDE – параллелограмм. А1 - середина СЕ, С1 – середина CD, В1 - cередина BD. Доказать параллельность плоскостей (АВС) и (А1В1С1).
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
C B A M	№ 16   АВ ^ АС, АМ ^ АС. Доказать, что АВ ^ (АМС).
B A M D C	№ 17 MDCB – прямоугольник. Доказать, что CD^(ABC).
M A B D C	№ 18   ABCD – прямоугольник. Доказать, что AD ^ AM.
M B C A D E	№ 19 МС = МВ, АС = АВ, MD ^ CB. Доказать, что ВС ^ DE
C M O B A D	№ 20   ABCD – параллелограмм. АМ = МС, ВМ = MD. Доказать МО ^ (АВС).
C M O B A D	№ 21 ABCD – ромб. ВМ = MD. Доказать, что BD^(AMC).
D A B M C	№ 22 Прямая МС^(АВС), CD^AB. < АСВ = 90°. АС = 4, МD= 3. AD=DB. Найти МС.
B M D C A	№ 23   MD^(ABC). Треугольник АВС - равносторонний. АВ = 2, МD = 4. AD = DB. Найти МС.
B M C A	№ 24   МВ^(АВС). <АСВ = 90°, <МАВ = 60°, <ВАС = 30°. Найти МВ.
B M A C D	№ 25 MB^(ABC). ABCD- прямоугольник, МD = AD = 8. <МАВ=45°, <MDА = 60°. Найти АВ и ВС.
B A1 C A a	№ 26 АА1- перпендикуляр, АВ и АС - наклонные. АВ = 17, АС= 10, ВА1= 15. Найти СА1.
A A1 C B	№ 27   АА1- перпендикуляр, АВ и АС –наклонные. АА1 = 8, ВС = 12, <САА1 = 60°, <АСВ = 90°. Найти ВА1.
A A1 C B	№ 28 АА1- перпендикуляр, АВ и АС – наклонные. АА1 = 6, <АВА1 = <АСА1 = 60°, <САВ = 120°. Найти ВС.
A A1 C B	№ 29   АА1- перпендикуляр, АВ и АС – наклонные. <ВАС = 90°, <АВА1 = 30°, <АСА1 = 60°, СА1 = 4. Найти ВС.
A A1 C B	№ 30   АА1- перпендикуляр, АВ и АС – наклонные. АС = 12, ВС = 5, <АСВ = 90°, <АВА1 = 60°. Найти АА1 и СА1.
ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
C O D A M B	№ 31   MC^(ABC), ABCD – ромб. Доказать, что МО ^ BD.
D B M A C	№ 32   МА ^ (АВС). MD ^ BC, BD=DC. Доказать, что АВ = АС.
A D M C B	№ 33   MB^(ABC), MA^AD, ABCD - параллелограмм. Доказать, что ABCD – прямоугольник.
B C A M	№ 34   МА ^ (АВС), <АСВ = 90°, <СМВ = 30°, АС = 8, АВ = 17. Найти МВ.
M B A C	№ 35   МВ^(АВС), МВ = т, ВС = а, <ВСА = a. Найти расстояние от точки М до прямой АС.
C M A B O	№ 36 МО ^ (АВС), АО = ОВ, ОМ = 12, АС = 18, СВ = 10. Найти расстояние от точки М до прямых АС и ВС.
A D M C B	№ 37 МВ ^ (АВС), АВ = 12, ВС = 30, МВ = 8, <ВСD = 30°. АВСD- параллелограмм. Найти расстояние от М до АD и DC.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
A D M C B	№ 38   ABCD–прямоугольник. МВ ^ (АВС). Доказать (АМВ) ^ (МСВ).
O D A B C M	№ 39   АВСD – квадрат. <МВО = <MDO = <МСО = <МАО. Доказать (АМС) ^ (АВС), (АМС) ^ (ВМD)
E F A B D C	№ 40 ABCD и BCFE – прямоугольники. Найти расстояние между прямой ВС и плоскостью (ADF), между прямыми EF и AD, если FC = 20, DC = 15 (АВС) ^ (ВСF).
A B M C	№ 41 МВ^(АВС), ВС = 10, <ВСА = 60°. Найти расстояние между прямыми МВ и АС.
C A K B	№ 42   КВ^(АВС), АВ = 15, ВС = 20, <АВ = 90°. Найти расстояние между АС и КВ.
A a B M	№ 43 МА ^ a, АВ = 5, МВ = 10. Найти угол между МВ и a.
A a B M	№ 44   МА^a, АВ = 5, МА = . Найти угол между МВ и a.
B C A M	№ 45   МА ^ (АВС). <МСА = 30°, МС = 8, МВ = . Найти угол между МВ и (АВС).
A C M B	№ 46 МА ^ (АВС), <ВАС = 120°, МС = 4, ВС = 6, AC = AB. Найти угол между МВ и (АВС).
A M B D C	№ 47 ACBD – квадрат. МА ^ (АСВ). AD = AM. Найти угол между МВ и (АВС).

 

 

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1. Точки А и В лежат в плоскости a, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости a.

2. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая СD параллельна плоскости АВМ.

3. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и P – середины отрезков DA, DB, DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: ND и AB; PK и BC; MN и AB; MP и AC; KN и AC; MD и BC.

4. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости. Выяснить взаимное расположение прямых СD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см.

5. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной плоскости a, а точки О, В, С и D лежат в плоскости a. Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, DАМ, DОА, ВМО?

6. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = в.

7. В треугольнике АВС дано: <С = 90°, АС = 6см, ВС = 8см, СМ-медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к (АВС), причём СК = 12см.. Найти КМ.

8. Прямая СD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК // СD. Известно, что АВ = см, ОК = 12см, СD = 16см. Найдите расстояние от точек D и К до вершин А и В.

9. Прямая PQ параллельна плоскости a. Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a, которые пересекают эту плоскость в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

10. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие её в точках P₁, Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ =15см, PP₁ = 21,5cм, QQ₁ = 33,5см.

11. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой АС.

12. В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90°. Прямая ВD ^(АВС). Докажите, что СD ^ АС.

13. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая МО так, что МА = МС, МВ = МD. Доказать, что ОМ ^ (АВС).

14. Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что ВD^(АМО) и МО ^ ВD.

15. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что <МВА = <МВС = 90°, МВ = m, AB = n. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата, до прямых АС и ВD.

16. Из точки А, не принадлежащей плоскости a, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что <ОАВ = <ВАС = 60°, АО = 1,5см. Найти расстояние между основаниями наклонных.

17. Один конец отрезка лежит в плоскости a, а другой находится от неё на расстоянии 6см. Найти расстояние от середины этого отрезка до плоскости.

18. Концы отрезка отстоят от плоскости a на расстояниях 1см и 4см. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости.

19. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4см. Найти расстояние от точки М до (АВС), если АВ = 6см.

20. Из точки М проведён перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.

21. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ^ ВС.

22. Отрезок АD перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника АВС. АВ = АС =5см, ВС =6см, АD = 12см. найти расстояние от концов отрезка АD до прямой ВС.

23. Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК ^ (АВС). КD =6см, КВ = 7см, КС = 9см. Найти: расстояние от точки К до (АВС), расстояние между прямыми АК и СD.

24. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF= 8дм, АВ = 4дм.

25. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. ВD = 9см, АС = 10см, ВС = ВА = 13см. Найти: расстояние от D до прямой АС, площадь треугольника АСD.

26. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4см, СМ = см..

27. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ^(АВС). Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ=25см, <ВАD=60°, ВМ=12,5см.

28. Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости a, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ₁. Найти расстояние от точки В до прямой АС и до a, если АВ=2см, <ВАС=150° и двугранный угол ВАСВ₁ равен 45°.

29. Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости a, а угол между плоскостями a и (АВС) равен 60°. Найти расстояние от точки В до a, если АС=5см, АВ=13см.

30. Ребро СD тетраэдра АВСD перпендикулярно к плоскости АВС, АВ =ВС =АС =6см, ВD = см. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

31. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 8см, 9см, 12см.

ПРИЗМА

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁ А₂…..А _п и В₁ В₂…..В _п, расположенных в параллельных плоскостях, и п параллелограммов называется призмой.

Многоугольники А₁ А₂…..А _п и В₁ В₂…..В _п называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы, отрезки А₁В₁, А₂В₂…А _п В _п называются рёбрами.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все ее боковые грани – равные прямоугольники (объясните почему).

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

S_пол = 2S_осн + S_бок

Теорема

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S_бок = Р× h

Теорема

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

V = S_осн × h

 

 

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
A A1 B1 D1 B C C1 D	№ 1 Дана прямая призма. АВСD- прямоугольник. АВ = 3, ВС = 5 АА1 = 7. Найти Sпол и Sбок
A A1 B1 B C C1 M	№ 2 Прямая призма. АС = АВ, СВ =6, С1М = МВ1, А1М = 4<АСА1 = 60°. Найти Sпол и Sбок.
A A1 B1 B C C1 M	№ 3   Прямая призма. Sпол = 378. Найти высоту призмы, если АВ = 13, АС = 14, СВ = 15.
A A1 B1 D1 B C C1 D	№ 4 Правильная призма. АА1=5, АВ=3. Найти Sпол и Sбок.
C1 D1 A1 A B1 B D C	№ 5   Дана прямая призма. ABCD - равнобедренная трапеция. CD=4, АВ = 14, <АСА1 = 30°, АА1 = . Найти Sпол.
C1 A1 C A B B1	№ 6   Правильная призма. ВС=4, АА1=3. Найти Sпол и Sбок.
D D1 A1 B1 C C1 B A	№ 7 Правильная призма. AC=12, DB1=15. Найти Sпол и Sбок.
D D1 A1 B1 C C1 B A	№ 8   Правильная призма. BD1 = 12. <DBD1 = 30°. Найти Sпол и Sбок.
D D1 A1 B1 C C1 B A	№ 9   Правильная призма. AB=AA1, BD1= . Найти Sпол и Sбок.
A B F N O B1 C A1 C1	№ 10   Наклонная призма. NO=6, OF=5, NF=8. <OFB=90°, AA1=4. Найти Sбок.
A1 C1 B1 A B C	№ 11   Наклонная призма. Треугольник АВС– правильный. АВ = 4см. <СВВ1 = <АВВ1 = 60°, <A1AC = 90o АА1=5см. Найти Sбок.
D1 D A B C1 C B1 A1	№ 12   Параллелепипед. <DB1D1 = 45°, <B1D1C1 = 30°, BD= . Найти V.
B1 C1 A1 C B A	№ 13   Призма. АВ = 13, ВС = 14, АС = 15, СС1 = 10, <A1AB = 90o. Найти V.
D1 A1 B1 C1 C D B A	№ 14   Призма. Основание-трапеция. DB=4, <BDB1=60°, <BDC=30°, D1A1 = A1B1. <A1AB = <BCC1 = 90o. Найти V.

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПРИЗМЫ

 

O

C

P

K

R

C

C

G

F

 

 

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найти боковое ребро.

2. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10см и 24см а высота призмы 10см. Найти большую диагональ призмы.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы 8см, боковое ребро 6см. Найти площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

4. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого см². Найти ребро куба и его диагональ.

5. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найти угол между диагональю и плоскостью основания.

6. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5см и 3см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35см². Найти площадь боковой поверхности призмы.

7. Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 8см и 15см и углом между ними в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь поверхности параллелепипеда.

8. Найти объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если: а) <ВАС=120°

9. АВ=5см, АС=3см и наибольшая из площадей боковых граней 35см²; б) <АВ₁С=60°, АВ₁=3см, СВ₁=2см и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

10. Найти объём правильной п -угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) п = 3, б) п = 4, в) п = 6.

11. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найти объём призмы.

 

ПИРАМИДА

Многогранник, составленный из n – угольника и n – треугольников с общей вершиной называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники– боковые грани пирамиды.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основание– правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

S_бок = ½Р_осн·ℓ

S_пол = S_бок + S_осн

V = ⅓S_осн · h

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду. Проведем плоскость параллельно плоскости основания пирамиды и пересекающую боковые ребра пирамиды. Эта плоскость разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, заключенный между параллельными плоскостями, является усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды являются многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Боковые грани