Глава 1. Технологические размерные расчеты

Размерные цепи

(основные соотношения)

Если известна размерная цепь (рис.1.1), то уравнение такой цепи запишется в виде

А + N₁ + N₂ - Р₁ - Р₂ - Р₃ = 0,

или относительно замыкающего (исходного) звена в виде

А = Р₁ + Р₂ + Р₃ - N₁ - N₂ .

 

Рис.1.1. Схема размерной цепи

В самом общем виде уравнение замыкающего (исходного) звена записывается в виде [1, 2]

А = Р₁ + Р₂ + … + Р_i – N₁ - N₂ - … - N_j, (1.1)

где P_i – увеличивающие звенья,

N_j – уменьшающие звенья в размерной цепи.

Или можно записать

. (1.2)

Предельные значения замыкающего звена (максимальное и минимальное) можно вычислить по формулам:

; (1.3)

. (1.4)

Если из выражения (1.3) вычесть (1.4), получим зависимость для определения рассеяния исходного (замыкающего) звена

. (1.5)

Выражение (1.5) позволяет сделать весьма важный вывод: рассеяние замыкающего звена равно сумме рассеяний составляющих звеньев в размерной цепи.

При решении проектных задач звено А есть исходное звено; это чертежный размер (номинальное значение и допуск), исходя из величины которого решается уравнение, определяется составляющее звено - операционный размер с допуском в технологии. В этой связи выражение (1.5) может быть представлено в виде

, (1.6)

т.е. допуск исходного звена А равен сумме допусков составляющих звеньев. Но поскольку допуски операционных размеров (среди P_i и N_j) могут по обстоятельствам проектирования уточняться, то в зависимости (1.6) и поставлен знак «больше или равно».

При решении поверочных задач допуски составляющих звеньев (операционных размеров в технологии) определены, поэтому звено А является замыкающим звеном в цепи и его рассеяние равно сумме допусков составляющих звеньев:

. (1.7)

Способы расчета размерных цепей

Существует три способа расчета размерных цепей.

Способ предельных значений. Этим способом определяется допуск - по формуле (1.6), предельное максимальное значение звена – по формуле (1.3) и предельное минимальное значение - по формуле (1.4).

Способ средних значений. Этим способом определяется среднее значение звена:

(1.8)

и среднее значение допуска

. (1.9)

Способ отклонений. Этим способом определяется номинальное значение звена по зависимости:

 

(1.10)

Верхнее отклонение замыкающего звена А определяется по формуле

(1.11)

где вР_i – верхние отклонения увеличивающих звеньев;

нN_j – нижние отклонения уменьшающих звеньев.

Нижнее отклонение замыкающего звена А определяется по формуле

. (1.12)

Зависимости (1.10), (1.11), (1.12) используются для решения поверочных задач. Для решения проектных задач используются следующие зависимости[1]. Номинальное значение звена определяется по формуле

. (1.13)

В этой зависимости L _ном – неисходное звено; исходное звено находится среди P_i или N_j.

Верхнее вL и нижнее нL отклонения размера L определяются по формулам

(1.14)

Значения вL' и нL' определяются по формулам (1.11) и (1.12) из предположения, что этот размер является замыкающим звеном;

- сумма допусков известных составляющих звеньев (P и N), кроме одного (того, которое рассчитывают).

Последний метод – метод отклонений – нашел самое широкое распространение в практике институтов, проектных организаций и заводов. Ниже, при выполнении технологических размерных расчетов, рекомендуется пользоваться именно этим способом. Однако для упрощения вычислений и при осуществлении их «столбиком» (как обычное арифметическое действие) необходимо выполнение следующих формальных правил:

1. Размеры, имеющие два отклонения одинакового знака, должны быть преобразованы в размеры, имеющие одно отклонение, например:

или 44,16 ^{+ 0,17}.

2. Если замыкающее звено представляет собой сумму размеров, то нужно сложить между собой отклонения, имеющие одинаковые знаки.

3. Если замыкающее звено представляет собой разность размеров, то предварительно меняются знаки отклонений у вычитаемых размеров на обратный, затем производят суммирование отклонений всех размеров.

Например, при решении поверочной задачи, имея размерную цепь

по найденным и уточненным операционным размерам (составляющие звенья) необходимо определить рассеяние замыкающего звена. Учитывая вышеприведенные правила, решение выполняем столбиком:

А = 70 ± 0,4 =	70 ± 0,4	= 70 ± 0,4
	- 44,33 - 0,17	- 44,33 (+) 0,17
- 16 - 0,12	- 16 - 0,12	- 16 (+) 0,12

Видно, что на первом этапе был преобразован размер (правило 1), а далее был изменен знак отклонений у вычитаемых размеров на обратный (правило 3).

4. Для проектных задач дополнительно необходимо от верхнего отклонения полученного размера вычесть, а к нижнему прибавить сумму допусков известных составляющих звеньев - .

Например, при решении проектной задачи, имея размерную цепь

40 ^{+ 0,34} = 60 _{- 0,2} – N,

где 40 ^+0,34 – исходное звено (чертежный размер), определяем операционный размер N. Решение осуществляем столбиком:

N =	60 - 0,2 =	60 - 0,2
-	(40) + 0,34	= - (40) (-) 0,34

В этом уравнении = Т (60) = 0,2. Размер 40 взят в круглые скобки, чтобы подчеркнуть, что это исходное звено.

Здесь же уместно заметить, что в технологии принято указывать допуск в «тело», в «металл». Поэтому найденное значение операционного размера в конкретной технологии будет указано в виде

или 19,66^+0,14.

Вопросы для самопроверки

1. Уравнение размерной цепи – структура, составляющие.

2. При решении каких задач пользуются выражением – замыкающее звено, исходное звено?

3. При решении проектных задач чему будет равен допуск исходного звена?

4. При решении поверочных задач чему будет равно рассеяние замыкающего звена?

5. При решении размерных цепей какие размеры выступают в роли исходных звеньев?

6. Сколько замыкающих (исходных) звеньев может быть в размерной цепи?

7. Сколько способов расчета размерных цепей?

8. В чем суть формальных правил, которых следует придерживаться при решении размерных цепей способом отклонений?

 

1.2. Размерный анализ технологического процесса

на основе теории графов

Размерные (геометрические) связи у детали или в технологическом процессе у заготовки имеют место в неявном виде. Можно сделать зрительную оценку размеров чертежа или размеров на эскизах технологического процесса. Выявить все размерные связи и представить их в виде размерных цепей при большом количестве чертежных и операционных размеров – задача достаточно сложная и требует профессиональных навыков.

Вместе с тем задача эта существенно упрощается, если технологический процесс представить в виде абстрактного математического образца или графа – графа потому, что этот математический образ (модель) представляется графически в виде некоторой геометрической фигуры [1]. Для технологических размерных расчетов применим так называемый граф–дерево. Дерево потому, что ребра не образуют замкнутых контуров.

При геометрическом представлении технологического процесса в виде графа в свою очередь выделяют два графа–дерева. Один граф образован чертежными размерами и припусками. Он называется исходным графом; параметры графа – чертежные размеры и припуски – всегда известны, и исходя из этих данных находятся неизвестные операционные размеры. Другой граф образуется операционными размерами и размерами заготовки и называется производным графом.

Всю методику размерного анализа (для определения длинновых, осевых размеров) технологического процесса с построением графа, выявлением размерных цепей в виде системы уравнений и их решение рассмотрим на конкретном примере. Исходными данными для размерного анализа технологического процесса (ТП) являются чертеж детали и план обработки (рис.1.2).

 

 

Рис.1.2. Чертеж (эскиз) детали[2]

Рассматривая данную задачу, в качестве примечания можно заметить, что допуски размеров на чертеже детали достаточно «свободные»; в этой связи операции ТП (рис.1.3) основаны на процессе точения – токарной обработке. Иными словами, заданная точность в чертеже согласуется c методами обработки в технологии. Задача, как правило, сводится к следующему: представить ТП в виде математической модели (в графической и аналитической формах) и определить операционные размеры l ₁, l ₂, l ₃, l ₄, l ₅.

Основные этапы работы при решении таких задач сводятся к следующему:

1. Составляется так называемая совмещенная схема.

2. Осуществляется преобразование совмещенной схемы в граф ТП (ТП представляется математической моделью в графической форме).

3. На основании графа выявляются все размерные связи с написанием системы уравнений (ТП представляется математической моделью в аналитической форме).

4. Решается система уравнений и определяются операционные размеры.

Построение совмещенной схемы заключается в следующем: на эскизе детали со всеми чертежными размерами на каждой поверхности указываются припуски, снимаемые на операциях при обработке. Ниже такого «одетого» припусками эскиза детали указывают операционные размеры в порядке принятой последовательности обработки. Рекомендуется на каждой размерной линии ставить: у обрабатываемой поверхности стрелку, у поверхности, являющейся исходной базой, – точку.

 

Операция 5. Токарная (на токарном полуавтомате)

 

Операция 10. Токарная

 

 

Рис. 1.3. План обработки

 

При таком обозначении легко контролируется, какая поверхность получается при обработке, какой припуск снимается, от какой поверхности координируется обрабатываемая часть детали. На совмещенной схеме все поверхности готовой детали, все промежуточные поверхности, связанные со снятием припусков, и поверхности заготовки обозначаются, как это указано на рис.1.4. Выбирается также некоторое положительное направление обозначения поверхностей (как правило, это слева направо).

Из рис.1.4 также следует: чертежные размеры указываются без допусков (для упрощения) в скобках – с тем чтобы потом при расчетах не спутать их с составляющими звеньями. Припуск обозначается буквой Z с указанием номера операции. Видно, что заготовка в значительной степени несовершенна, поэтому обработка большинства торцовых поверхностей осуществляется не при снятии припуска, а при удалении так называемого напуска.

Информация, содержащаяся на совмещенной схеме ТП, является необходимой и достаточной для построения производного и исходного графов.

Порядок преобразования схемы в производный граф заключается в следующем. За начальную точку (поверхность), от которой строится граф-дерево, принимается поверхность, являющаяся базой при обработке первой поверхности в ТП. В нашем примере это поверхность 5₀, от которой выдерживают первый размер l ₁ при

 

 

 

Рис.1.4. Совмещенная схема ТП

 

 

обработке поверхности 4₀. Такая начальная точка (поверхность) называется корнем графа (следует отметить, что в качестве корня может быть принята любая поверхность; однако при указанном выборе корня на производном графе-дереве можно по направлению стрелок определить, какая поверхность обрабатывается, и какая при этом служит исходной базой). В построении производного графа участвуют только операционные размеры. Производный граф строится с помощью прямых линий – стрелок, указывающих в направлении от корня последовательную обработку всех поверхностей (рис.1.5).

 

51

 

 

Рис.1.5. Производный граф-дерево

 

Аналогичным образом, с корнем в той же вершине строится исходный граф, но в этом случае с помощью дуг окружностей. В построении этого графа участвуют размеры чертежа и операционные припуски (известные звенья в размерных цепях) (рис.1.6).

Примечание: Как следует из рис.1.4 (совмещенная схема) поверхность 5₁ в данной технологии не обрабатывается – нет ни одного операционного размера, который бы определял ее положение. Поэтому и припуск Z ₅ в данной операционной технологии не определяется. В этой связи на графах (рис.1.5 и 1.6) вершина 5₁ оказалась как бы изолированной. Положение поверхности 5₁ и величина припуска Z ₅ обеспечиваются не собственно технологией, а зависят от настройки оборудования – токарного полуавтомата на пятой операции (рис.1.3).

 

(10,5)

(20)

30

40

(5)

 

 

Рис.1.6. Исходный граф – дерево

 

После построения производного и исходного графов производится так называемая операция «замыкания». Она заключается в том, что один граф совмещается с другим таким образом, чтобы вершины с одинаковыми номерами совпали (рис.1.7).

 

		(5)

 

Рис.1.7. Математическая модель технологического процесса в виде графа

 

Как видно из рис.1.7, граф ТП содержит все размеры чертежа, все операционные размеры и припуски на обработку. На графе информации достаточно, чтобы выявить все размерные связи и написать уравнения размерных цепей. При этом следует придерживаться следующих правил:

1. Конкретному варианту технологии (рис. 1.3) и координации размеров на чертеже (рис. 1.2) соответствует один и единственный вариант графа ТП.

2. В размерной цепи одно замыкающее (исходное) звено (чертежный размер или припуск), все остальные звенья составляющие (операционные размеры).

3. Размерных цепей столько, сколько замыкающих звеньев.

4. Написание размерной цепи начинается с замыкающего (исходного) звена со знаком плюс (согласно выбранному направлению, рис. 1.4). Далее на графе легко обнаруживается тот контур, двигаясь по которому, можно записать уравнение размерной цепи. Звену присваивается знак плюс, если вершина (номер) чередуется от меньшей к большей, и знак минус, если наоборот.

Если придерживаться этих правил, то на основании графа ТП (рис.1.7) легко выявить следующие размерные цепи:

1. (10,5) – l ₁ = 0;

2. (20) – l ₂ = 0;

3. (5) – l ₄ = 0; (1.15)

4. (32,5) – l ₂ – l ₅= 0;

5. Z ₁₀ + l ₅+ l ₂– l ₃= 0.

 

Уравнений столько, сколько замыкающих (исходных) звеньев. Данная система уравнений представляет собой математическую модель ТП, записанную в аналитической форме.

Как видно из приведенных данных, представление ТП в виде графа имеет значительные преимущества при выявлении размерных связей и написании уравнения размерных цепей:

1. Выявление размерных связей (цепей) формализуется (упрощается);

2. Есть возможность быстрого и простого изменения варианта простановки размеров в технологии;

3. Обнаруживаются ошибки простановки размеров в технологии и в чертеже (по разрывам и замкнутым контурам на производном и исходном графах).

Система уравнений (1.15) используется для определения номинальных значений операционных размеров. Допуск на этот размер может быть определен в соответствии с ранее найденным выражением (1.6), поэтому, наравне с системой уравнений (1.15), записывается система неравенств допусков (1.16):

1а.	Т(10,5)	³ Tl 1;
2а.	Т(20)	³ Tl 2;
3а.	Т(5)	(1.16) ³ Tl 4;
4а.	Т(32,5)	³ Tl 2 + Tl 5;
5а.	w Z 10	= Tl 5 + Tl 2+ Tl 3.

 

В системе (1.16) рассеяние припуска Z ₁₀ будет складываться из допусков на размеры l ₂, l ₅и l ₃. При наличии выражений (1.15) и (1.16) придерживаются следующей последовательности решения задачи:

1. Решая в первую очередь систему неравенств допусков, находят допуски составляющих звеньев.

1.1. В первую очередь рассматриваются неравенства допусков размерных цепей, где исходными звеньями являются чертежные размеры, а среди них те, которые содержат наибольшее число составляющих звеньев.

Допуск исходного звена определенным образом (в соответствии с методом обработки) распределяется между составляющими звеньями, например

	0,4
		0,2

.

Здесь допуск на размер А, равный 0,4, распределен между размерами l ₁(0,2) – на первой операции возможна лезвийная обработка (точение), далее допуск 0,12 на размер l ₃ – предварительное шлифование или чистовое точение и допуск 0,08 на размер l ₄ – операцию шлифования.

Допуски составляющих звеньев должны соответствовать экономически целесообразной точности метода. Если допуск мал, то меняют метод обработки, меняют простановку размеров и др.

1.2. Цепи, где замыкающим звеном является припуск, допуск на составляющие звенья, которые на вошли в другие цепи, можно назначать достаточно широким. Это приводит лишь к колебанию припуска.

2. Определяют номинальные значения составляющих звеньев – операционных размеров. Система уравнений (1.15) решается как обычная система линейных уравнений. Припуск является величиной известной, например, для операции 30:

, где .

Значения и – высота неровностей и дефектный слой – известны и берутся из справочной литературы (для предыдущей операции). Рассеяние wZ ₃₀ находится из уравнения размерной цепи.

Значения операционных размеров должны быть приведены к нормальному окончанию и стандартному допуску.

3. Проводится поверочный расчет: подтверждаются исполнения размеров чертежа, доказываются достаточность припусков и соответствие их методам обработки.

Реализуем вышеприведенную методику к рассматриваемой задаче.

В соответствии с п.1 рассмотрим систему неравенств (1.16) – неравенства 1а ¸ 5а. Анализируя систему, видим, что цепи (1.1) и (1.3) обособленные, т.е. составляющие звенья не входят в другие цепи, поэтому относительно допусков на размеры l₁ и l₄ можно принять решение, ориентируясь на допуски исходных звеньев. Тогда из выражения 1а Tl ₁ = T (10, 5) = 0,12, из выражения 3а Tl ₄ = T (5) = 0,16, т.е. допуски на операционные размеры равны допускам на размеры в чертеже.

Цепи 2 и 4 связанные, т.е. содержат одни и те же звенья. Ориентируясь на выражение 2а, предварительно можно принять допуск на размер l ₂равным 0,28, как у чертежного размера 20. Тогда, решая выражение 4а, можно оценить допуск на размер l ₅:

Tl ₅ = T (32,5) – Тl ₂= 0,34 – 0,28 = 0,06.

Полученное значение допуска 0,06 на операционный размер l ₅ слишком мало, поскольку реализуется на операции 10 токарная обработка (см.рис.1.3).

Выход может быть найден путем «ужесточения» допуска на размер l ₂. Приемлемый для точения допуск на размер l ₂может быть принят 0,14. Тогда снова

Tl ₅ = T (32,5) – Тl ₂ = 0,34 – 0,14 = 0,2.

Такой допуск на размер l ₅для токарной обработки вполне приемлем.

В системе уравнений (1.16) остался неизвестным допуск на размер l ₃, не входивший ранее ни в одно из уравнений (неравенств). В соответствии с приложениями 4.1 и 4.2 по нормативам для токарной обработки назначим Тl ₅= 0,34.

Таким образом, решение системы (1.16) позволило для всех операционных размеров найти допуски, по величине достаточные для токарной обработки поверхностей.

Реализуя второй этап и решая систему уравнений (1.15), находим номинальное значение составляющих звеньев – операционных размеров.

Из уравнения (1.1) системы (1.15) получим

l ₁= 10,5 _{– 0,12} = 10,38 ^{+ 0,12};

здесь по сравнению с чертежным размером технологический размер имеет допуск «в металл».

Из выражения (1.2) l ₂ = 20 ^{+ 0,14},

из выражения (1.3) l ₄= 5 _{– 0,16}.

Решаем столбиком уравнение (1.4) и находим размер l ₅:

l ₅= (32,5) = (32,5) _{– 0,34}

^– l ₂ ^– 20 _{(–) 0,14}

- 0,34

+ 0,14

12,5 _{– 0,48} ^{– 0,14} =12,5 ^{– 0,14} = 12,36 _{– 0,2}.

 

Допуск указываем в «тело» детали, в металл.

Здесь и далее в подобных расчетах целесообразно убедиться в том, что полученный допуск равен допуску, ранее найденному на этот размер; это свидетельствует об отсутствии ошибки в расчетах. В данном примере это условие выполняется.

Согласно рекомендациям, полученный операционный размер следует привести к нормальному окончанию и стандартному допуску. Это, как правило, выполняется для промежуточных операционных размеров (размер не для окончательно готовой детали) и для размеров, измерение которых возможно осуществить стандартными мерительными средствами.

Покажем эту процедуру для найденного операционного размера l ₅ = 12,36 _{– 0,2}. Для наглядности эту «модернизацию» размера можно показать графически (рис. 1.8).

На рис. 1.8 показан максимальный операционный размер l _max = 12,36, минимальный l _min = 12,16 и допуск 0,2 – таковы результаты расчета размерной цепи. Допустим, что при рассмотрении таблицы нормальных окончаний размер 12,36 должен быть принят как 12,3, т.е. шесть сотых должны быть «отброшены». На рис.1.8 этот новый максимальный размер на l ₅ показан; допуск 0,2 не может быть оставлен без изменения, так как размеры «уйдут» за границу минимального размера. Допуск 0,2 должен быть уменьшен на 0,06 и в этом случае составит 0,14 мм (см. рис. 1.8). Допустим для данного метода обработки и габаритных размеров детали стандартный допуск составляет 0,12. Тогда минимальный размер должен быть увеличен с 12,16 мм до 12,18 мм. Таким образом, первоначальный результат размера l ₅ = 12,36 _{– 0,2} сначала преобразовался в размер 12,3 _{– 0,14} и окончательно в размер 12,3 _{– 0,12}.

 

 

 

Рис. 1.8. К методике приведения операционного размера

к нормальному окончанию и стандартному допуску

 

Такие изменения операционного размера естественно повлияют на рассеяние исходного звена. В этой связи необходимо решение поверочной задачи с определением фактических размеров исходного звена по известным составляющим звеньям. Решаем столбиком уравнение 4 в системе (1.15) относительно замыкающего звена:

(32,5) = l₂ = 20 ^+0,14

⁺ l₅ ⁺ 12,3 _{- 0,12}

= 32,44 _{– 0,26}.

По чертежу разрешенное колебание размера составляет 32,5 ¸ 32,16 (допуск 0,34). При исполнении технологии рассеяние этого размера составит от 32,44 до 32,18 (w = 0,26). Максимальное значение исходного звена уменьшилось на 0,06 вследствие уменьшения исходного звена l ₅ при приведении его к нормальному окончанию, а минимальное значение увеличилось на 0,02 вследствие принятия стандартного допуска (0,12 вместо 0,14).

В данной задаче не найденным остается размер l ₃. Его можно найти из выражения 5 системы уравнений (1.15). Но для того чтобы решить это уравнение, необходимо решить вопрос с припуском. Следует иметь в виду, что в общем виде величина минимального припуска на данной операции должна быть достаточной для снятия дефектов предыдущей операции (это высота неровностей и дефектный слой). В нашем случае предыдущей операцией была отрезка резцом заготовки от прутка. Учитывая достаточно сложные условия работы отрезного резца, примем Z _10min= 0,5 мм. Рассеяние припуска складывается из допусков операционных размеров в размерной цепи (см. выражение 5 в системе уравнений (1.15)):

wZ₁₀= Tl ₅+ Tl ₂+ Tl ₃= 0,12 + 0,14 + 0,34 = 0,6,

тогда .

Решаем столбиком размерную цепь относительно l ₃:

l ₃ = l ₂ = 20 ^{+ 0,14}

+ +

l ₅12,3 _{– 0,12}

+ +

Z ₁₀ (0,5) ^{+ 0,6}

+ 0,26

+ 0,14

– 0,12

32,8 ^{+ 0,74 – 0,26} = 32,8 ^{+ 0,48} = 33,28 _{– 0,34}.

 

 

Далее может быть выполнено уточнение окончания размера и приведение его к стандартному допуску.

Таким образом, найдены все операционные размеры и припуски. На стадии проектирования технологии доказано исполнение размеров чертежа, доказана применимость методов обработки.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что собой представляет граф исходный?

2. Что собой представляет граф производный?

3. Что собой представляет граф технологического процесса?

4. Что значит представить технологический процесс в виде математической модели?

5. Назовите основные этапы работы по размерному анализу технологического процесса на основе теории графов?

6. Что такое совмещенная схема? На основе каких данных она (схема) строится и для чего?

7. Порядок преобразования совмещенной схемы в производный граф.

8. Порядок преобразования совмещенной схемы в исходный граф.

9. В чем заключается операция «замыкания» производного и исходного графов?

10. Что содержит в себе граф технологического процесса?

11. Сколько вариантов графов могут отображать вариант технологического процесса?

12. Сколько замыкающих (исходных) звеньев может быть в размерной цепи?

13. Какие размеры играют роль замыкающего (исходного) звена?

14. Какие размеры представляют собой составляющие звенья в размерной цепи?

15. Сколько размерных связей (размерных цепей) следует выявить на основе графа ТП?

16. Какими правилами следует руководствоваться при написании уравнения размерной цепи на основе графа ТП?

17. На основании каких данных возможно обнаружение ошибок простановки размеров на чертеже деталей или простановки операционных размеров в технологии?

18. Что собой представляет система неравенств (или равенств) допусков?

19. Каковы основные этапы работы при решении системы уравнений размерных цепей?

20. Каким образом находятся допуски на операционные размеры?

21. Как находится минимально необходимая величина припуска?

22. Как находится рассеяние припуска?

23. В каких случаях операционный размер должен быть приведен к нормальному окончанию и стандартному допуску?

24. В чем заключен поверочный расчет?

25. В чем состоит процедура приведения найденного операционного размера к нормальному окончанию и стандартному допуску?