Оптимизация структуры и параметров приборов по критериям динамической точности

 

Рассмотрим некоторые методы синтеза" оптимальных структуры и параметров приборов по критериям динамической точности. В связи с интенсификацией производственных процессов измерительные приборы, контролирующие эти процессы, обладают динамическими погрешностями. Синтез оптимальных характеристик таких приборов как раз и преследует цель минимизировать эти погрешности.

Рассмотрим методы синтеза приборов, основанных на близости передаточных функций и частотных характеристик [3].

В целях общности рассуждений будем считать, что прибор является сложной системой, имеющей матричную передаточную функцию. Введем следующие обозначения: матричная передаточная функция идеального прибора — размерности и реального (синтезируемого) прибора — размерности .

Синтез характеристик приборов проведем в два этапа: 1) синтез структуры; 2) синтез параметров — пользуясь в обоих случаях теорией приближения функций.

При синтезе структуры приборов теория приближения функций строится на операциях с порядками полиномов передаточных Функций (или частотных характеристик). Синтез структур по рассмотрению порядков передаточных функций предложен и разработан Ф. А. Шаймардановым [3].

Представим элементы матриц и в виде дробно-рациональных функций, причем степени полиномов числителей равны или меньше степеней полиномов знаменателей. Порядки полиномов характеризуют сложность структуры приборов, поэтому, синтезируя простую передаточную функцию, мы синтезируем прибор с простой (несложной) структурой. В качестве критерия близости передаточных функций реального и идеального приборов возьмем критерий их точного совпадения при максимальной простоте структуры.

Возьмем элементы матриц и в виде [3]

, (5.96)

где — соответственно полиномы от р порядков .

Условия наилучшего (точного) приближения передаточных матриц и можно представить в виде

; , (5.97)

где — подмножество, точками которого является k пар индексов приближаемых функций. Подставляя (5.96) в (5.97), найдем

(5.98)

Для выполнения условия (5.98) необходимо чтобы

. (5.99)

Структура этих условий указывает на то, что выражения (5.98) можно представить в виде

(5.100)

где индексы , , и являются порядками полиномов.

Из выражения (5.100) следует, что наилучшее приближение функций и достигается за счет компенсации части полюсов функции ее нулями, причем

(5.101)

Эти уравнения связывают искомые параметры синтезируемого прибора с известными параметрами идеального прибора. Для удовлетворения уравнениям (5.101) необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях р полиномов в левых и правых частях. В результате получаем следующее количество алгебраических уравнений (К.У), связывающих параметры приборов:

, (5.102)

где k — число приближаемых передаточных функций

Количество неизвестных параметров (КП) реального прибора, подлежащих определению из уравнений (5.101), будет

, (5.103)

Для определенности системы уравнений (5.102) необходимо, чтобы количество неизвестных параметров КП было равно или больше количества уравнений КУ, т. е.

. (5.104)

Подставляя (5.102) и (5.103) в (5.104), получим

. (5.105)

При синтезе структуры прибора необходимо выбрать функцию цели (критерий оптимальности), характеризующий сложность структуры. В качестве функции цели можно взять линейную форму вида

. (5.106)

К соотношениям (5.105) необходимо добавить условия физической реализуемости

. (5.107)

Таким образом, задача синтеза оптимальной структуры прибора формулируется следующим образом: найти такие неотрицательные целочисленные значения неизвестных и , которые удовлетворяют неравенствам (5.105) и (5.107) и минимизируют линейную форму (5.106). Эта задача решается методами линейного программирования, причем полученные значения и округляются до ближайших целочисленных значений.

Задачу синтеза параметров можно сформулировать следующим образом: при выбранной структуре синтезируемого прибора и заданных характеристиках идеального прибора необходимо найти коэффициенты передаточных функций при условии и при соблюдении условий физической реализуемости (5.107).

Рассмотрим возможные решения этой задачи. Возьмем передаточные функции и в виде

(5.108)

(5.109)

где — коэффициенты, зависящие от параметров синтезируемого прибора; — коэффициенты идеального прибора.

Синтез параметров будем проводить при выполнении условий физической реализуемости

(5.110)

точного приближения

(5.111)

и существования решения

(5.112)

Рассмотрим методы решения этой задачи: метод разложения в ряды и метод деления полиномов передаточных функций.

Идея метода разложения в ряд Маклорена разности при сводится к следующему:

. (5.113)

Для выполнения условия точного приближения необходимо, чтобы

(5.114)

Если передаточные функции имеют вид (5.108) и (5.109), то уравнения (5.114) запишутся в следующем виде:

(5.115)

Эта система имеет уравнений, поэтому из нее можно Определить не менее независимых параметров прибора. Если то приближение к будет неточным; оценку его можно произвести по специальному интегральному критерию

(5.116)

Метод деления полиномов можно представить в виде

(5.117)

где — частное от деления на , а — остаток от деления.

Аналогичное выражение можно получить и для полиномов (5.109). Приравнивание соответствующих членов в выражениях типа (5.117), позволяет получить систему алгебраических уравнений (5.115).

Уравнения (5.115) можно получить также из условия приближения

(5.118)

путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях р.

Пример 5.5. Дана передаточная функция синтезируемого прибора

(5.119)

которую нужно приблизить к передаточной функции идеального прибора

(5.120)

Подставляя (5.119) и (5.120) в (5.118), найдем после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях

(5.121)

Если система (5.119) содержит не менее четырех независимых параметров, то можно осуществить точное приближение. Решение уравнений (5.121) позволяет получить искомые параметры.

При синтезе приборов по методу приближения передаточных функций происходит частичная компенсация нулей числителя полюсами знаменателя передаточной функции . Такая компенсация не опасна, если нули и полюсы лежат в левой полуплоскости комплексного переменного. В противном случае могут возникнуть неустойчивые режимы. Поэтому при синтезе приборов необходимо устранять элементы, порождающие нули и полосы в правой полуплоскости.

Применим методы теории приближения функций в частотной области, для чего рассмотрим частотные характеристики. Амплитудно-частотную характеристику реального прибора приблизим к характеристике идеального прибора . Рассмотрим в качестве идеального прибор, частотная характеристика которого параллельна оси частот, т. е. . В целях простоты рассмотрим .

Разлагая в ряд по , получим

(5.122)

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях

(5.123)

получим приближение к . Очевидно, из системы (5.123) необходимо взять столько уравнений, сколько независимых параметров в функции .

Применим полученные результаты к прибору, имеющему передаточную функцию вида (5.108). Полагая в (5.108) и возводя в квадрат, получим

(5.124)

где …;

…;

Производные по при будут

Приравнивая четные производные нулю, получим

(5.125)

Для дробно-рациональной функции (5.124) число уравнений (5.124) конечно. Если, в частности, все , то из (5.124) следует

(5.126)

Пример 5.6. Возьмем частотную характеристику колебательного звена

(5.127)

или

Полагая , получим .

Другими словами, условие близости частотной характеристики к прямой, параллельной оси частот, приводит к относительному затуханию , что совпадает с полученным выше значением.