Ускорение при криволинейном движении.

Рассматривая криволинейное движение тела, мы видим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда величина скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и величина, и направление скорости.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении.

Таким образом, в криволинейном движении всегда имеется изменение скорости, т. е. это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по величине и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. требуется найти изменение величины и изменение направления скорости.

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость v₁ а через малый промежуток времени — скорость v₂. Изменение скорости есть разность между векторами v₁ и v₂. Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Изменение скорости выразится вектором w, изображаемым стороной параллелограмма с диагональю v₂ и другой стороной v₁. Ускорением мы называем отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло. Значит, ускорение а равно

и по направлению совпадает с вектором w.

Выбирая t достаточно малым, придем к понятию векторного мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном t вектор а будет представлять среднее ускорение за промежуток времени t.

Направление ускорения криволинейного движения не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают. Чтобы найти направление вектора ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение при криволинейном движении всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках АВ и ВС всегда направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от A к С или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости страектории.

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения.

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это — ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения А и В движущейся точки, соответствующие малому промежутку времени t (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в А и В равны по величине, но различны по направлению.

Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники ОАВ и О'А'В' подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны А'В', изображающей приращение скорости за промежуток времени t, можно положить равной at, где а — величина искомого ускорения. Сходственная ей сторона АВ есть хорда дуги АВ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т. е. vt. Далее, 0'A'=0'B'=v; ОА= OB=R, где R — радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим искомое ускорение по величине:

(27.1)

Направление ускорения перпендикулярно к хорде АВ. Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, найденное ускорение можно считать направленным перпендикулярно («нормально») к касательной к траектории, т. е. по радиусу, к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория — не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет нормально к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по величине и направлению, его можно найти как отношение приращения вектора скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае вектор ускорения можно найти по векторной формуле

(27.2)

аналогичной формуле (18.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь v₀ — вектор скорости тела в начальный момент промежутка времени t, a v — вектор скорости в конечный момент этого промежутка.

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор:

Для этого проведем перпендикуляр через точки М и М1 к касательным к траектории (рис. 1.4) Точку пересечения обозначим через О. При достаточно малом участок криволинейной траектории можно считать частью окружности радиуса R. Треугольники МОМ1 и МВС подобны, потому, что являются равнобедренными треугольниками с одинаковыми углами при вершинах. Поэтому:

или

Но , тогда:

Переходя к пределу при и учитывая, что при этом , находим:

,

(1.17)

Так как при угол , направление этого ускорения совпадает с направлением нормали к скорости , т.е. вектор ускорения перпендикулярен . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального нормального ускорений (1.15). Так как векторы этих ускорений взаимноперпендикулярны, то модуль полного ускорения равен:

(1.18)

Направление полного ускорения определяется углом между векторам и :

Кривизна траектории показывает, какова форма движения в пространстве. Чтобы определить кривизну траектории, измеряют радиус кривизны. Если траектория является дугой окружности, радиус кривизны постоянный. С увеличением кривизны ее радиус уменьшается, и, наоборот, с уменьшением кривизны, радиус увеличивается.

Кривизна траектории и/или непостоянство скорости являются необходимым, но недостаточным аргументом в пользу утверждения о том, что на движущееся по ней тело действуют внешние силы, которые в конечном случае могут быть объяснены гравитационными или электромагнитными полями.

 

6 Динамика материальной точки

Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета Масса и импульс тела Второй закон Ньютона Третий закон Ньютона

В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г. Эти законы во­зникли как результат обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их для очень обширного (но все же ограниченного) круга явлений подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают. Ньютоновская механика достигла в течение двух столетий огромных успехов. Еще в 19 веке многие ученые считали, что можно объяснить любое физическое явление, если свести его к механическому процессу, подчиняю­щемуся законам Ньютона. Однако далее физики обнаружили новые факты, не укладывающиеся в рамки классической меха­ники. Эти факты получили свое объяснение в новых теориях - специальной теории относительности (СТО) и квантовой механике. В СТО, созданной Эйнштейном в 1905 г., подверглись радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени. Этот пересмотр привел к созданию релятивистской механики (механики больших скоростей). Однако новая механика не привела к полному отрицанию ньютоновской механики. Уравнения релятивистской механики для скоростей, малых по срав­нению со скоростью света, переходят в уравнения классической механики. Т.о., классическая механика вошла в релятивистскую как частный случай и сохранила свое преж­нее значение для описания движений, происходящих со скоростями, значительно меньшими скорости света. В этом случае справедлив принцип соответствия, сформулированный Бором. Аналогично обстоит дело и с соотношением между классической и квантовой механикой, возникшей в 20-х годах нашего века в ре­зультате развития физики атома. Уравнения квантовой механики также дают в пределе (для масс, больших по сравнению с массами атомов) уравнения классической механики. Следовательно, класси­ческая механика вошла и в квантовую механику в качестве ее пре­дельного случая. Таким образом, развитие науки не перечеркнуло классическую механику, а лишь показало ее ограниченную применимость. Клас­сическая механика, основывающаяся на законах Ньютона, явля­ется механикой тел больших (по сравнению с массой атомов) масс, движущихся е малыми (по сравнению со скоростью света) скоро­стями.

 

Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета Формулировка первого закона Ньютона такова: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямо­линейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния отличаются тем, что ускорение тела равно нулю. Поэтому формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость любого тела остается постоянной, пока воздействие на это тело других тел не вызовет ее изменения. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно, очевидно, будет двигаться с ускорением. Следовательно, первый закон Ньютона не может выполняться одновременно в обеих системах. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной, поэтому первый закон называют иногда законом инерции. Система отсчета, в которой первый закон Ньютона не выполняется, называется неинерциальной системой отсчета. Инерциальных систем существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно, будет также инерциальной. Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, является инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической (гелиос - по-гречески солнце). Любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, будет инерциальной. Земля движется относительно Солнца и звезд по криволинейной траектории, имеющей форму эллипса. Криволинейное движение всегда происходит с некоторым ускорением. Кроме того, Земля совершает вращение вокруг своей оси. По этим причинам система отсчета, связанная с земной поверхностью, движется с ускорением относительно гелиоцентрической системы отсчета и не является инерциальной. Однако ускорение такой системы настолько мало, что в большом числе случаев ее можно считать практически инерциальной. Но иногда неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, оказывает существенное влияние на характер рассматриваемых относительно нее механических явлений.

 

Масса и импульс тела Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т. е. сообщает данному телу ускорение. Опыт показывает, что одинаковое воздействие сообщает разным телам разные по величине ускорения. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела. Чтобы определить массу некоторого тела, нужно сравнить ее с массой тела, принятого за эталон массы. Можно также сравнить массу данного тела с массой некоторого тела, уже определенной путем сравнения с эталоном. Операцию сравнения масс m1 и m2 двух материальных частиц можно осуществить следующим образом. Поставим эти частицы в такие условия, чтобы их взаимодействием с другими телами можно было пренебречь. Система тел, взаимодействующих только между собой и не взаимо­действующих с другими телами, называется замкнутой. Если заставить эти частицы взаимодействовать (например, столкнуть), их скорости изменятся на величины . Опыты показывают, что эти изменения всегда имеют противоположные направления, т. е. отличаются знаком. Отношение же модулей изменения скоростей не зависит от способа и интенсивности взаимодействия данных двух тел. Это отношение принимается равным обратному отношению масс рассматриваемых тел:   (1) т.е. более инертное тело (с большей массой) претерпевает меньшее изменение скорости. Приняв во внимание противоположное направление векторов изменения скорости, соотношение (1) можно написать в виде:   (2) В классической механике масса тела считается постоянной величиной, не зависящей от скорости тела. При скоростях, малых по сравнению со скоростью света с=3.108 м/с, это предположение практически выполняется. Воспользовавшись постоянством массы, представим (2) как:   (3) Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела (по-старому - количество движения). Обозначив импульс буквой р, получим:   (4) Определение (4) справедливо для материальных точек и протяженных тел, движущихся поступательно. В случае протяженного тела, движущегося непоступательно, нужно представить тело как совокупность материальных точек с массами , определить импульсы этих точек и затем сложить эти импульсы векторно. В результате получится полный импульс тела:   (5) При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы, и (5) переходит в (4). Заменив в (3) произведения массы на скорость импульсами, придем к соотношению , или . Если изменение какой-то величины равно 0, это означает, что величина остается постоянной. Т.о., мы пришли к выводу, что полный импульс замкнутой системы двух взаимодействующих частиц остается постоянным:   (6) закон сохранения импульса. В релятивистской механике выражение для импульса имеет более сложный вид, чем (4):   (7) В (7) под массой подразумевается так называемая масса покоя тела, с – скорость света. Т.е. (7) можно истолковать так, что масса тела в релятивистской механике не остается постоянной, как в классической, а меняется с ростом скорости как   (8) Определяемая по формуле (8) масса называется релятивистской.

 

Второй закон Ньютона Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе:   (9) и уравнение (9) называется уравнением движения тела. Заменив согласно (4) импульс тела и учтя, что в классической механике масса предполагается постоянной, можно записать, что   (10) Т.о., более распространенная формулировка закона Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе. Соотношение (10) вызывает достаточно много споров, и общепринятого толкования этого соотношения до сих пор нет, потому что не существует независимых способов определения массы и силы, входящих в выражение (10). Например, в книге С. Э. Хайкина «Физические основы механики» сказано: «Так как для установления способа измерения массы тела используется тот же второй закон Ньютона (величина массы тела определяется одновременным измерением силы и ускорения), то второй закон Ньютона содержит, с одной стороны, утверждение, что ускорение пропорционально силе, а с другой — определение массы тела как отношения силы, действующей на тело, к сообщаемому этой силой ускорению». Известный американский физики Р. Фейнман по поводу смысла второго закона Ньютона говорит следующее: «Спросим же: в чем смысл... формулы F=mа? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также определить ускорение. Поэтому сосредоточимся на новом понятии силы. И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит, на него действует сила... Истинное же содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону F=mа; но характерные независимые свойства сил не описал полностью ни Ньютон, ни кто-нибудь еще...» (Р. Фейман «Фейнмановские лекции по физике»).

 

Второй закон Ньютона Второй закон Ньютона (также как и два других) является экспериментальным. Он возник в результате обобщения опытных данных и наблюдений. В частном случае, когда равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю, (т. е. при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел), ускорение, как следует из (10), также равно нулю. Этот вывод совпадает с утверждением первого закона Ньютона. Поэтому первый закон входит во второй как его частный случай. Несмотря на это, первый закон формулируется независимо от второго, так как в нем заключен постулат (утверждение) о существовании инерциальных систем отсчета. Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: Если тело 1 действует на тело 2 с силой F21, то тело 2 также действует на тело 1 с силой F12.

 

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.

(11)

Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу.

 

полагаясь на абсолютную достоверность второго закона Ньютона в интегральной форме и применяя к нему математические выводы анализа бесконечно малых величин, классическая механика утверждает основное уравнение движения тела в дифференциальной форме:

Соотношение (1) представляет собой дифференциальную форму второго закона Ньютона, оно утве­рждает пропорциональность уско­рения тела действующей силе в лю­бой момент времени действия этой силы. Как интегральная, так и диф­ференциальная формы второго за­кона Ньютона непогрешимы по от­ношению к идеальным телам (абстракциям), с которыми имеет дело современная классическая механика и которые обладают толь­ко массой, но не обладают време­нем задержки (Δtз) начала измене­ния состояния движения тела как целого. Как указывалось в первой части статьи, для любого реального тела, обладающего массой, сущест­вует время задержки Δtз начала из­менения состояния движения его как целого. Это значит, что два ме­ханических процесса (процесс из­менения состояния движения тела как целого и процесс действия на тело силы), взаимосвязанных вто­рым законом Ньютона, протекают во времени не однозначно, т.е. пока тело массой (m) как целое приобре­тёт ускорение (w), пропорциональ­ное некоторому значению действу­ющей силы, проходит время Δtз с момента достижения действующей силой этого значения. Этот фактор является аргументом, который даёт основание сомневаться в безоши­бочности второго закона Ньютона в его обеих формах.

Уравне́ние движе́ния (уравнения движения) — уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени^[1].

Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и начальными условиями.

Уравнение движения Ньютона

(1)

где сила F в общем случае может зависеть от:

— координат частицы r (колебания груза на пружине, F = – kx, движение Земли вокруг Солнца, F ~ 1/ r ²),

— скорости частицы v (сила трения: при больших скоростях ~ υ ², а при малых ~ υ),

— времени t (переменное во времени воздействие).

Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит:

Закон сохранения импульса. Импульс изолированной или замкнутой системы 2-х материальных точек сохраняется, т. е. оста?ьтся неизменным во времени, каково бы ни было взаимодействие между нимим. Это утверждение справедливо также и для изолированной с. м. т., состоящей из сколь угодно большого числа м. т.

Запишем третий закон Ньютона для замкнутой системы, состоящей из произвольного числа материальных точек.

F1(i)+F2(i)+?+Fn(i)=0, (1)

где Fn(i)? полная внутренняя сила., действующая на n-ную точку. Обозначим далее символами F1(e),F2(e),? внешние силы, действующие на материальные точки системы. Тогда на основании второго закона Ньютона можно записать

 

Сложив почленно эти уравнения и приняв во внимание соотношение (1) найдем

(2)

где р- импульс всей системы,F(e)-равнодействующая всех внешних сил, действующая на нее. Пусть теперь геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (Например замкнутая система). Тогда (dp/dt)=0, или p=const.

Закон сохранения импульса является отражением фундаментального св-ва пространства - его однородности.

Теорема о движении центра масс. Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка с массой m под действием таких же по величине и напр. сил. На ускорение ц. м. влияют только внешние силы.

Теорема о движении центра масс. В нерелятивистской механики импульс системы р может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор R которой выражается через радиусы-векторы r1,r2,? материальных точек по формуле

R=(m1r1+m2r2+?)/m, где m=m1+m2+?.Если продифф. Выражение по времени и умножить на m то получится:, -скорость центра масс системы. Таким образом, p=mV. Подставив это в (2): Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила - геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. В релятивистском случае потятие ц. м. не является инвариантным понятием, не зависящем от выбора системы координат, и поэтому не применяется. Для материальной точки з. с. импульса означает, что в отсутствии внешних сил она движется с постоянной скоростью по прямой линии. Для СМТ в нерелятивистском случае закон утверждает, что ц. м. движется равномерно и прямолинейно.

Под однородностью пространства понимается эквивалентность всех точек пространства друг другу. Это означает, что если имеется некоторая изолированная система, то развитие в ней не зависит от того, в точках какой области пространства эта система локализована. Если все точки системы сместить на?r, то в состоянии системы ничего не изменится, т. е. работа внутренних сил системы =0.?r. Ввиду независимости взаимодействий каждой из пар точек друг с другом? Fij+Fji=0.? закон созранения импульса изолированной системы материальных точек обусловлен фундаментальным свойством пространства в ИСО?? его однородности. Отсюда можно заключить, что с однородностью пространства связан и принцип относительности.

Центр масс

центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами

,

или для тела при непрерывном распределении масс

где m_к — массы материальных точек, образующих систему, x_k, у_к, z_k — координаты этих точек, М = Σ m_к — масса системы, ρ — плотность, V — объём. Понятие о Ц. м. отличается от понятия о центре тяжести (См. Центр тяжести) тем, что последнее имеет смысл только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести; понятие же о Ц. м. не связано ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой механической системы. Для твёрдого тела положения Ц. м. и центра тяжести совпадают.

При движении механической системы её Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную массе системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к системе. Кроме того, некоторые уравнения движения механической системы (тела) по отношению к осям, имеющим начало в Ц. м. и движущимся вместе с Ц. м. поступательно, сохраняют тот же вид, что и для движения по отношению к инерциальной системе отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта). Ввиду этих свойств понятие о Ц. м. играет важную роль в динамике системы и твёрдого тела.

Закон движения центра масс.

Воспользовавшись законом изменения импульса, получим закон движения центра масс:

dP/dt = M∙dV_c/dt = ΣF_i

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

В частности, центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится. Изменение импульса центра масс происходит за счет внешних сил.

Внутренние силы не влияют на характер его движения, если внешнее воздействие на систему постоянно и однородно. Например, во время салюта движение центра масс разорвавшегося пиротехнического снаряда в постоянном однородном поле силы тяжести происходит по параболе.

Если внешнее воздействие изменяется, то на различные части системы начинают действовать разные силы и характер движения центра масс меняется. В качестве примера рассмотрим движение системы, состоящей из одного тела - снаряда. В случае падения одной из частей разорвавшегося в воздухе снаряда на землю в системе появится новая внешняя сила - сила реакции опоры. Характер движения центра масс системы (осколков снаряда) при этом изменится. Наличие внутренних сил в этом примере является необходимым условием изменения характера движения центра масс системы. Без этих сил, обусловивших распад снаряда на части, не произошло бы изменения траектории его движения вплоть до падения снаряда на землю.