Опыт с неоднозначными исходами. Случайное событие

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие опытам с неоднозначными исходами. Так называют опыты, результаты которых невозможно безошибочно предсказать. Например, при игре в рулетку шарик, брошенный на вращающееся колесо, может остановиться в любой из 37 пронумерованных лунок (0, 1, 36), но до остановки колеса номер лунки остается неизвестным.

Опыт и его исходы:

Понятия «опыт» и «исход» являются первичными понятиями теории вероятностей.

Опыт - это некоторая последовательность действий, которые выполняются при соблюдении определенных условий.

Исход - это то, что непосредственно получается в результате опыта.

В медицинских исследованиях опыт - это любое обследование пациента, например, определение содержания глюкозы в крови, взятой из вены. Исходом является результат обследования.

Случайное событие Отдельные исходы опыта, как правило, не имеют самостоятельной значимости. Практический интерес представляют некоторые их совокупности, которые называют событиями четного числа, и «проигрыш» - выпадение нечетного числа. Все остальное - не важно.

Исходы медицинских исследований тоже группируют в значимые события. Например, при определении содержания глюкозы в крови рассматриваются 3 события: данный показатель в норме (3,9-6,4 ммоль/л); ниже нормы; выше нормы. А вот конкретная величина показателя (например, 5,18 ммоль/л) практического значения не имеет. В этом примере событие «в норме» - совокупность всех чисел из интервала (3,9-6,4 ммоль/л).

Случайным событием или просто событием называется некоторая совокупность исходов опыта, имеющая практический интерес. Такие исходы называются благоприятствующими этому событию (или благоприятным для него).

Событие наступает, если результатом опыта является один из благоприятствующих исходов. В теории вероятностей случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами (А, В, С...).

ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ. ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ СОБЫТИЕ.

НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ

Пример, поясняющий технику выполнения операций сложения и умножения событий. Бросается игральный кубик. Событие А - выпадение четного числа: А = {2, 4, 6}. Событие В - выпадение числа, кратного трем: B = {3, 6}.

• Сложение: А + В - это выпадение числа, которое или является четным, или делится на 3: А + В = {2, 3, 4, 6}.

• Произведение: АВ - это выпадение числа, которое является и четным, и делится на 3: АВ = {6}.

Несовместные события

Важное место в теории вероятности занимают несовместные события.

Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно (при выполнении одного опыта).

4. Случайные величины: Под случайной величиной (СВ) понимается величина, значение которой зависит от исходов опыта со случайными исходами, обязательно одно.

Случайные величины обозначают большими буквами (X, К..), а их значения - малыми буквами (x, y...).

Пример. Однократное бросание игральной кости. Возможные события заключаются в том, что на верхней грани выпадает Z: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.

Из множества всех случайных величин выделяют два наиболее часто встречающихся вида: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина - такая СВ, которая может принимать только конечное (или счетное) множество значений.

Эти значения нумеруются х1, х2, х3..., а вероятности их появления обозначаются p1, p2, p3...

Примеры дискретных величин с конечным множеством значений: число букв на случайно выбранной странице книги, энергия электрона в атоме, число зерен в колосе пшеницы и т.п.

Непрерывная случайная величина - такая СВ, которая может принимать любое значение в некотором определенном интервале (а, b)..

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины

Ряд распределения:

Дискретная случайная величина считается заданной, если известны ее возможные значения х1, x2...xNи соответствующие им вероятности p1, p2...pN. Совокупность значений СВ и их вероятностей, заданная в виде таблицы, называется рядом распределения, или распределением дискретной случайной величины:

Сумма всех вероятностей равна единице:

Ряд распределения является самой полной характеристикой дискретной СВ.

Общие свойства функции распределения:

Кроме этого универсального, существуют также частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) и плотность распределения (только для непрерывных случайных величин).

Основные свойства плотности распределения: